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1、3.33.3直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3.3.13.3.1两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？ 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.几何概念与代数表示几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示点点A A直线直线l点点A A在直线在直线l上上直线直线l1 1与与l2 2的交点是的交点是A AA A的坐标满足方程的坐标满足方程A A的坐标是方程组的解的坐标是方程组的解 对于两条直线 和 , 若方程组 有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的
2、有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？位置关系如何？两直线有一个交点， 重合、平行例1. 求下列两条直线的交点坐标当当 变化时，方程变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？表示什么图形？图形有何特点？表示的直线包括过交点表示的直线包括过交点M M（-2-2，2 2）的一族直线）的一族直线 例例2 2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标求出其交点的坐标. （1 1）（2 2）（3 3） 例例3 3 求经过两直线求经过两直线3x+2y+1=0 3x+2y+1=0 和和 2x-3y+5=02x-3y+5=0的交的交点，且斜率为点
3、，且斜率为3 3的直线方程的直线方程. . 例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.x xy yo oB BA AP P小结 1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能没有公共点（平行） 3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能： 1）有惟一解 2）无解 3）无数多解 4.直线族方程的应用3.3.23.3.2两点间的距离两点间的距离 已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，如何，如何点点P P1 1和和P P2 2的
4、距离的距离|P|P1 1P P2 2| |？xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)O两点间距离公式推导xyP1(x1,y1)P2(x2, y2)Q(x2,y1)Ox2y2x1y1两点间距离公式特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为 一般地，已知平面上两点P1(x1， )和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1和P2的距离为 例例1 1 已知点已知点 和和 , , 在在x x轴上轴上求一点求一点P P，使，使|PA|=|PB|PA|=|PB|，并求，并求|PA|PA|的值的值. . 例例2 2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和角
5、线的平方和. .xyA(0,0)A(0,0)B(a,0B(a,0) )C C (a+b,c)(a+b,c)D (b,c)D (b,c) 证明：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系.则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)建立坐标系，用坐标表示有关的量。xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c) 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和线的平方和. . 用用“坐标法坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：解决有关几何问题的基本步骤：第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量第二步：进行有关代数运算第三
6、步：把代数运算结果“翻译”成几何关系小结1.两点间距离公式2.坐标法第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系拓展 已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？ 例3 设直线2x-y+1=0与抛物线相交于A、B两点，求|AB|的值.3.3.3点到直线的距离点到直线的距离 已知点已知点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )和直线和直线l：Ax +By +C=0Ax +By +C=0，如，如何求点何求点P P到直线到直线 l 的距离？
7、的距离？ x xo oP P0 0Q Qly y 点点P P到直线到直线 l 的距离，是指从点的距离，是指从点P P0 0到直线到直线 l 的的垂线段垂线段P P0 0Q Q的长度，其中的长度，其中Q Q是垂足是垂足分析思路一：直接法分析思路一：直接法直线直线 的方程的方程直线直线 的斜率的斜率直线直线 的方程的方程直线直线 的方程的方程点点 之间的距离之间的距离 （点（点 到到 的距离）的距离）点点 的坐标的坐标直线直线 的斜率的斜率点点 的坐标的坐标点点 的坐标的坐标x xy yO OxyO面积法求出面积法求出P0Q 求出点求出点R 的坐标的坐标求出点求出点S 的坐标的坐标利用勾股定理求出
8、利用勾股定理求出SR 分析思路二：用直角三角形的面积间接求法RSd求出求出P0R 求出求出P0S xyP0 (x0,y0)Ox0y0SRQd点到直线的距离公式点到直线的距离公式点点P(xP(x0 0，y y0 0) )到直线到直线 l ：Ax +By +C=0Ax +By +C=0的距离为：的距离为： 特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0xyP0 (x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|x0y0y1x1点到坐标轴的距离xyP0 (x0,y0)O|y0|x0|x0y0 例例1.1.求点求点 到直线到直线 的距离的距离解：解：思考：还有其他解法
9、吗？ 例例2 2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积分析：如图，设 边上的高为 ，则y1234xO-1123 边上的高边上的高 就是点就是点 到到 的距离的距离y1234xO-1123即：即： 点点 到到 的距离的距离因此因此解：解： 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：小结点到直线的距离公式的推导及其应用点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为： 3.3.4两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两两条平行直线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长条平行线间公垂线段的长两平行线间的距离处处相等两平行线间的距离处处相等1.怎样判断两条直线
10、是否平行？怎样判断两条直线是否平行？2.2.设设l1 1/l2 2，如何求，如何求l1 1和和l2 2间的距离？间的距离？1 1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？2) 2) 如何取点，可使计算简单？如何取点，可使计算简单？例例1 1 已知直线已知直线 和和 l1 1 与与l2 2 是否平行？若平行是否平行？若平行, ,求求 l1 1与与 l2 2的距离的距离. .例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.两平行线间的两平行线间的距离处处相等距离处处相等在在l2 2上任取一点，如上任取一点，如P(3,0)P(3,0)P P
11、到到l1 1的距离等于的距离等于l1 1与与l2 2的距离的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离解：解：例例3. 3. 求证：两条平行直线求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和和Ax+By+C2=0间的距离为间的距离为解：设解：设P(P(x x,0),0),根据根据P P到到l1、 l2距离相等，列式为距离相等，列式为所以所以P P点坐标为：点坐标为： 例例4 4 已知已知P P在在x 轴上轴上, P, P到直线到直线l1: x- y +7=0与直线与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等的距离相等, , 求求P P点坐标。点坐标。小结1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离转化为点到直线的距离2. 2. 两条平行直线间距离公式
