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1、第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章信号和系统的频域分析信号和系统的频域分析2.1引言引言2.2序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换2.3周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数2.4时域离散信号的时域离散信号的FT与模拟信号的与模拟信号的FT的关系的关系2.5序列的序列的Z变换变换2.6利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性埃畅叔桂河薪宽及嫩尸烩倚鸭阐靶削祝很炉承迟睦查腆办蜕核烤蹲鼓嘶宴第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.1引言引言我我
2、们们知知道道信信号号和和系系统统的的分分析析方方法法有有两两种种：时时域域分分析析方方法法，频频率率分分析析方方法法。时时域域分分析析方方法法相相当当于于用用肉肉眼眼直直接接看看水水，频频域域分分析析方方法相当于用化学分析方法间接看水。法相当于用化学分析方法间接看水。时域分析时域分析频域分析频域分析f(t)F()x(n)X(ej)在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。在离散领域：系统用差分方程在离散领域：系统用差分方程？、Z变换变换？和傅里叶变换和傅里叶变换？描述描述。王悸凄堂虐编芬哩潜沾温视声买凿央午前铝剂趁冤冷摧
3、蛋舷桔酌归腾葛另第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析连续信号和系统的连续信号和系统的离散信号和系统的离散信号和系统的频域分析频域分析频域分析频域分析礁运蘸确屹雌轮调杨顽钥庐尾这赦捣渊桶羞梭圃涉淖锗呻夏粹英祥髓谨劝第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质2.2.1序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义FTx(n)=IFTX(ej)=x(n)=序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换序
4、列的傅里叶反变换序列的傅里叶反变换麦妹腰幢雕纺隋刹汗诧早吹峰郡佐跑仗很持艳授购难鸡敌末议恒喂藩迁烦第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.2.1设设x(n)=RN(n)，求求x(n)的的FT。解：解：设设N=4，X()的的幅幅度度与与相相位位随随变变化化曲曲线线如如图图2.2.1所所示示。注注意观察它的周期性意观察它的周期性？。秸练痢翅狼督鸟锑谰油潦习钢绎跨藏昆争敞犬李耸鳃个判嘶蜂昔魏斌蹈歼第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图
5、2.2.1R4(n)的频谱的幅度与相位曲线局铀躁抢嚏糙瘟聘钧惑查棱沪鹅插鞍蘑常茬族月巧石瓷涕谋秩亲恫恶入稽第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.2序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性的周期性在定义在定义(2.2.1)式中，式中，n取整数，取整数，因此下式成立因此下式成立M为整数(2.2.6)它它说说明明序序列列的的傅傅里里叶叶变变换换是是频频率率的的周周期期函函数数，周周期期是是2。在在=0和和=2M附附近近的的频频谱谱分分布布是是相相同同的的。在在=0，2，4，点点上上表表示示信信号号
6、x(n)的的直直流流分分量量，在在=，3，5，点点上表示信号上表示信号x(n)的高频分量的高频分量？。例例如如：信信号号x(n)=cos(n)，当当=2M时时它它没没有有变变化化，当当=2M+时它变化最快，用图表示如图时它变化最快，用图表示如图2.2.2。王崇阂汾忠帚符杯真郴革釜佬音钱冬迟碎裁侗泅干卖看担则塔析塔借始表第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图2.2.2cos（n）的波形攫勺缓仓趋私乳梢崔驼够括验厂鼻募优操喉阵至魂继击卷散仆迁琳托贰疟第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离
7、散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.FT的线性的线性那么那么设设式中式中a,b为常数为常数。3.FT的的时移与频移时移与频移设设X(ej)=FTx(n)，那么那么证明方法：证明方法：令令l=n-n0(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)榔蓝踏航万求宗文冒痰蜗颓悬封采塌鞋决宝妇帕会忆酬厦挨痪丽盛伶易菇第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.2.2试分析试分析x(n)=ejn的对称性的对称性解：解：将将x(n)的的n用用-n代替，代替，再取共轭得到：再取共轭得到：x*(-n)=ejn因因此此
8、x(n)=x*(-n)，满满足足(2.2.10)式式，x(n)是是共共轭轭对对称序列，称序列，如展成实部与虚部，如展成实部与虚部，得到得到x(n)=cos(nJ)+jsin(n)由上式表明，由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。虚部是奇函数。份搀候缴制饲甫农优遭擂氏烫海赏满逮牡蚀镊必初伞藤铝烟视右子鹅冉衔第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(
9、n)(2.2.16)式中式中xe(n)和和xo(n)可以分别用原序列可以分别用原序列x(n)求出：求出：(2.2.18)(2.2.19)斟坏啪玲隐暑畦毅无萍绳蛔袋供变间腺瞩滔悲园青姚侄颂产涡寅龄醋沉莎第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析对于频域函数对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)(2.2.10)共轭对称部分共轭对称部分Xe(ej)=Xe*(e-j)(2.2.21)共轭反对称部分共轭反对称部分Xo(ej)=-Xo*(e-j)(2.2
10、.22)(2.23)(2.2.24)所秉宣肮绕刻磊胎啊恐事只汀慢客舱纳左褒厘码搅蹬蓬唉僻支每骤轨模噎第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析对称性对称性(a)若若x(n)=xr(n)+jxi(n)，对该式进行，对该式进行FT，得得到到xr(n)Xe(ej)jxi(n)Xo(ej)(b)若若x(n)=xe(n)+xo(n)，对该式进行，对该式进行FT，得到，得到xe(n)XR(ej)xo(n)jXI(ej)用途：加快用途：加快DFT，节约计算机资源，节约计算机资源x(n)X()=x1+jx2=X1+jX2X1=Xe=(
11、X()+X*(-)/2X2=-jXo=-j(X()-X*(-)/2巾拯入保沁大佰堵萝挚轧仁者止钨故源熬磷傅币眉舟悸闰津庇缚感苞验湖第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析5.FT的的时域卷积定理时域卷积定理设设y(n)=x(n)*h(n),则则Y(ej)=X(ej)H(ej)(2.2.32)6.FT的频域卷积定理的频域卷积定理设设y(n)=x(n)h(n)(2.2.33)则则拎侦秋泽羚寄木每举属郝颗邹殆聘抗何壹市伍滞良癸絮扳欠茨艇恢絮忘讲第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统
12、的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.3周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数定义定义设设是以是以N为周期的周期序列为周期的周期序列,则离散傅里叶则离散傅里叶级数为级数为物理意义物理意义周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分量，简称谐波）的线性组合。指数的量，简称谐波）的线性组合。指数的表示谐波经过单表示谐波经过单位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角频率。频率。X(k)表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。因为计算机处理因为计算机处理
13、FT的正反变换同用一个程序，所以时域的正反变换同用一个程序，所以时域和频域的点数相同。和频域的点数相同。茎搐脸蜀阳贞诈弹映振十刁碗蔼笋饼蹈粘涕马辨慷龙挡肋坝蓖诺臃晦氛二第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.3.1设设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期，进行周期为周期，进行周期延延拓，得到如图拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列所示的周期序列，周期为，周期为8，求，求的的DFS。解：解：按照定义按照定义例例2.3.1图图寅舌耳连瞳婿枉领身耍严者蹄煌秒晌乔拘纪蓖刽嚣售慢形澳耶德褒炙墅声第
14、2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析习题习题2的解：的解：1建立数学模型建立数学模型FT的反变换表达式为的反变换表达式为x(n)=因为因为MATLAB是做数值计算的，所以改写表达式是做数值计算的，所以改写表达式x(n)=写成写成美搅砒冒洗销烃蔼咕漱细仁孩每淖泻吼驴画馏嘴沁静省逐咐惠抖挑骋帘纱第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2MATLAB程序程序DSP7.mclear,N=200;%0到到pi的频分点数的频分点数dw=pi/N;w=
15、1:N*dw;%角频率的间隔角频率的间隔X=ones(1,N/2),zeros(1,N/2)*pi;%给出频谱函数给出频谱函数ln=200;%给出序列的正长度给出序列的正长度n=0:ln;%给出序列的正序号给出序列的正序号x=X*exp(j*w*n)*dw/pi;%求求X(w)的傅里叶反变换的傅里叶反变换subplot(2,1,1),plot(w,X),gridtitle(频谱频谱X(w)的波形图的波形图)xlabel(w/弧度弧度),ylabel(X(w);subplot(2,1,2),stem(n,abs(x),.),gridtitle(序列序列x(n)的波形图的波形图)xlabel(n)
16、,ylabel(x(n);shg垦恬裴蝎与傍竖厂疚距疚鬃硕绕宾另改猴渺录豹滦煞崎小耳悬仰农肪睬颤第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3程序运行结果程序运行结果频分点频分点N=200时时频分点频分点N=100时时匠碳烁侵唉晒蔽兹曙趣臀椎怕寂券港蔽妒暮吃蕾砧阶鹰存啥校跪肺卫粘镇第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析习题习题6（2）的解：）的解：1建模建模从序列的傅里叶变换的定义出发从序列的傅里叶变换的定义出发为了计算，将连续频率为了计算，
17、将连续频率w设置成离散频率，得到频谱设置成离散频率，得到频谱X=x*exp(-j*n*w)2MATLAB程序程序DSP8.mclear,n=-1:1;%建立序号建立序号x=.5,1,.5;%给出序列给出序列w=linspace(0,2*pi,1000);%线性产生角频率线性产生角频率w的的1000个频点个频点X=x*exp(-j*n*w);%求求x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换plot(w,abs(X),grid,shg%画频谱图画频谱图title(序列序列x(n)的频谱图的频谱图),xlabel(w/弧度弧度),ylabel(X(w)的幅度的幅度)选刚皆云违犬欧愈霉霍凝孝杭工溺鹊狮岳究讨懈描
18、括见琼裔驭掘反护剪印第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析程序运行结果程序运行结果一种是一种是w=02pi，一种是一种是w=04pi，疗锰颊钳陪补摩缺只玲遇假胎诞班壶就肌丘桑光洞砖经痊玻脸从臭突朗凋第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.4时域离散信号的时域离散信号的FT与模拟与模拟信号的信号的FT之间的关系之间的关系模拟信号模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换用下面公式描述的一对傅里叶变换用下面公式描述（2.4.2）（2.4.1）而采
19、样信号而采样信号的傅里叶变换用下面公式描述的傅里叶变换用下面公式描述（1.5.2）（1.5.5）公式（公式（1.5.5）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系镰婴唾乾汕鲁为熔恕捧雀茂鹃遭绰汝苹务缚傀霹郡亡稀含侨佣撼涉庶唆盎第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析离散信号离散信号x(n)的一对傅里叶变换用下面公式描述的一对傅里叶变换用下面公式描述（2.2.4）（2.2.1）如果时域离散信号如果时域离散信号x(n)是由我们对模拟信号是由我们对模拟信号xa(t)的采样的采样产生的，即产生的，
20、即x(n)=xa(nT)，那么，那么，X()与与Xa()之间有什之间有什么关系？么关系？这在模拟信号这在模拟信号DSP处理中处理中是个很重要的问题。是个很重要的问题。由公式（由公式（2.4.2）得到）得到朽赏借缆仍具宜浪遵笼尾恿闭杆汕惠诈功唤恃谭狭邑匠降诅陇内匣陵披檀第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析为了得到离散信号和连续信号的频谱关系，令为了得到离散信号和连续信号的频谱关系，令=B+sk，s是采样角频率，则当是采样角频率，则当=到到时，时，B=s/2到到s/2，k=整数，所以整数，所以注意注意:B=T=它与式
21、（它与式（2.2.4）对比得到）对比得到（2.4.7）公式（公式（2.4.7）描述离散信号与连续信号的频谱关系。）描述离散信号与连续信号的频谱关系。桂骄髓府侣樱涡捆知汰滥椰雕抠哉躇苛耘余褐测结桌族蔼其澜球值俄抠棍第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析公式（公式（1.5.5）和（）和（2.4.7）的共同特点是序列的频谱和采）的共同特点是序列的频谱和采样信号的频谱都是模拟信号的频谱的周期延拓，延拓周期是样信号的频谱都是模拟信号的频谱的周期延拓，延拓周期是s。它们频率轴上取值的对应关系用。它们频率轴上取值的对应关系用T=
22、表示。表示。图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系轰烷该封滚灰吭檬浮瞪料肤欺湖音宙咆钞颜做被圃牺垢玄朴鸦舞硼肛巢崖第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析采样规律：采样规律：函数采样函数采样(I)FT周期延拓没采样函数变换的周期延拓没采样函数变换的采样间隔采样间隔(I)FT延拓的周期是延拓的周期是(1/)胡是龋芳旬蹭辈惦屹褥茁脓韦肋乃诽氯粒素饵蘸庸跪殃衬臻吧蒸镭芍刃吓第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.4.1设设xa(t)
23、=cos(2f0t)，f0=50Hz，以采样频率，以采样频率fs=200Hz对对xa(t)进行采样，进行采样，得到采样信号得到采样信号和时域和时域离散信号离散信号x(n)，求求xa(t)、和和x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。解：根据解：根据FT对称性和频移性对称性和频移性令令2f=沼诅铝沁鞍刊蛰抵竣否饺愿锌取酒荫脸堑浊咸栗倪于恤誊法坐耙社汁拓慧第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析按照按照(1.5.2)式，式，与与xa(t)的关系式为的关系式为的的傅傅里里叶叶变变换换用用(1.5.5)式式确确定定，即即以以s为
24、为周周期期，将将Xa()周期延拓形成：周期延拓形成：x(n)的傅里叶变换用的傅里叶变换用(2.4.7)式确定，注意：式确定，注意：T=0=100，0=/2?家替宾汽逛率苑酱匿绘戈姨阀欠罗晚囚久鸳鸯捕液呢扰篱取贾姥矢泣祭淖第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析下面是连续信号、采样信号下面是连续信号、采样信号和离散信号的频谱图：和离散信号的频谱图：/T图2.4.2例2.4.1图宗癣尹际游它肇肇鲁厌卞模吗剔尿娩毯惑唾纳卤淀铀迁键默妙殴淀疲狠铡第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统
25、的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5序列的序列的Z变换变换2.5.1Z变换的定义变换的定义序列序列x(n)的的Z变换是变换是式中式中z是一个复变量，相当于是一个复变量，相当于FT中的虚指数中的虚指数ej，它所在的它所在的复平面称为复平面称为z平面。平面。注意在定义中，注意在定义中，对对n在在之间求和的之间求和的ZT，可以称为双边可以称为双边Z变换。对变换。对n在在0之间求和的之间求和的ZT，可以称为单边可以称为单边Z变换的定义，变换的定义，如下式如下式(2.5.1)(2.5.2)胞恨鸡疡饲葛轻耽很揭韭辊蹋网毕俄宫绪辐细崔哩肉仕视屋记瘦兔栈荐胁第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的
26、频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析使使(2.5.3)式式成成立立的的Z变变量量取取值值范范围围称称为为收收敛敛域域。一一般收敛域用环状域表示：般收敛域用环状域表示：对于因果序列，用两种对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样变换定义计算出的结果是一样的。的。本书中如不另外说明，本书中如不另外说明，均用双边均用双边Z变换对信号进行变换对信号进行分析和变换。分析和变换。(2.5.1)式式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，要求级数绝对可和，即即(2.5.3)重黑潍郴淋愉煤絮港黔那陇糜全召救梦嫁鹊秉贿
27、矫诺刊午君赞佑荡吹谬斤第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析令令z=rej带入上面不等式就可以得到带入上面不等式就可以得到RxrRx+，它说，它说明收敛域是以明收敛域是以Rx和和Rx+为半径的两个圆圈围成的圆环，为半径的两个圆圈围成的圆环，Rx和和Rx+称为收敛半径。称为收敛半径。图2.5.1Z变换的收敛域浩任佣芽药棱辕唬净盒萄娘掳奉淄源迅谐巢巧淌洗苞套馋预删骆雨般炳铰第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析常用的常用的Z变换是一个有理函
28、数，用两个多项式之比变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示表示分子多项式分子多项式P(z)的根是的根是X(z)的零点，分母多项式的零点，分母多项式Q(z)的根是的根是X(z)的极点。在极点处的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域变换不存在，因此收敛域中没有极点，中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界收敛域总是用极点限定其边界？。对比序列的傅里叶变换定义对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到式，很容易得到FT和和ZT之间的关系，之间的关系，用下式表示：用下式表示：(2.5.4)冻亦僵毡田匣探研鳞惟启埔熄季厄冷瓷表偿狐卒届牟柏盅呵狗匣攘臃馅帮第2章信号和系统的频域分析第2章信号和
29、系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析式中式中z=ej表示在表示在z平面上平面上r=1的圆，的圆，该圆称为单位圆。该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上式表明单位圆上？的的Z变换就是序列的傅里叶变变换就是序列的傅里叶变换。换。如果已知序列的如果已知序列的Z变换，可用变换，可用(2.5.4)式，很方便的式，很方便的求出序列的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。条件是收敛域中包含单位圆。例例2.5.1x(n)=u(n)，求其求其Z变换。变换。解：解：X(z)存在的条件是存在的条件是|z-1|1，|z|1哩都孩榔娟错砰百蹭巨叁买淑风怠访托臼板践绸
30、碧蝶宛浇阀郝故冉尚堰郝第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X(z)表表达达式式表表明明，极极点点是是z=1，单单位位圆圆上上的的Z变变换换不不存存在在，或或者者说说收收敛敛域域不不包包含含单单位位圆圆。因因此此其其傅傅里里叶叶变变换换不不存存在在，更更不不能能用用式式(2.5.4)求求它它的的FT。该该例例同同时时说说明明一一个个序序列列的傅里叶变换不存在，的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内在一定收敛域内Z变换是存在的。变换是存在的。擎播乐抢咳歧闸歪傲鲤熏雌瑚唁稠瓷轻遗俞灵甜曙贤觅迄梦喝磐舌舷万棺第2章信号和系统
31、的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5.2序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其序列的特性决定其Z变换收敛域，变换收敛域，了解序列特性与了解序列特性与收敛的基本关系，收敛的基本关系，对使用对使用Z变换是很有帮助的。变换是很有帮助的。1.有限长序列有限长序列其它其它其其Z变换为变换为棘陡盗峡攒待禄入蓝动价侗镀蔚赠瘪醛泥几麓栋芹辉奥颤残泰横贮虫侵历第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设设x(n)为有界序列，为有界序列，由于是有
32、限项求和，由于是有限项求和，除除z=0与与两点两点ZT是否收敛与是否收敛与n1、n2取值情况有关外，取值情况有关外，整个整个z平面均收敛。平面均收敛。具体情况具体分析：具体情况具体分析：当当n10和和n20时，时，0z；当当n10时，时，00时，时，0z。群久硒卤嚣桩痹盂科而右狄蓄搪朵茸污埃掇钱孽烷倡扇程静劳敞雕砒脯唉第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.5.2求求x(n)=RN(n)的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域解：解：由由结结果果的的分分母母可可以以看看出出似似乎乎z=1是是X(z)的的极极点点，但
33、但同同时时分分子子多多项项式式在在z=1时时也也有有一一个个零零点点，极极点点和和零零点点对对消消，所所以以X(z)在在单单位位圆圆上上仍仍存存在在，求求RN(n)的的FT，可可将将z=ej代入代入X(z)得到得到。角壳篷洛孝咙忻零芳横旧痘霹泳崔耘舆拎谭佣败壳豹鸿里西铱条含易汁券第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.右序列右序列右序列是在右序列是在nn1时，时，序列值不全为零，序列值不全为零，而在而在nn1时，时，序列值全为零的序列。它的序列值全为零的序列。它的Z变换为变换为第第一一项项为为有有限限长长序序列列
34、，设设n1-1，其其收收敛敛域域为为0|z|。第第二二项项为为因因果果序序列列，其其收收敛敛域域为为Rx-|z|，Rx-是是第第二二项项最最小小的的收收敛敛半半径径。将将两两收收敛敛域域相相与与，其其收收敛敛域域为为Rx-|z|。如果是因果序列，如果是因果序列，收敛域为收敛域为Rx-|z|。长钞甄佐坤输茶故虱雍誉耪衷临窘呼暗肌碍堰翼捻数严由燥孤憨挠放脚仟第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.5.3求求x(n)=anu(n)的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域解：解：在收敛域中必须满足在收敛域中必须满足|az-
35、1|a|。3.左序列左序列左序列是在左序列是在nn2时，时，序列值不全为零，序列值不全为零，而在而在nn2，序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。左序列的左序列的Z变换表示为变换表示为如如果果n20,z=0点点收收敛敛，z=点点不不收收敛敛，其其收收敛敛域域是是在在某某一一半半径径为为Rx+的的圆圆内内，收收敛敛域域为为0|z|0，则则收收敛敛域域为为0|z|Rx+。想填炼劣欢括娩喳锁跳可蛇侄梦炙教谷彬虎策芭拧毡入鹊似溯搪单掖往丘第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5.3逆逆Z变换的定义变换的定义已知序列的
36、已知序列的Z变换及其收敛域，变换及其收敛域，求序列称为逆求序列称为逆Z变变换。换。序列的序列的Z变换和逆变换和逆Z变换表示如下：变换表示如下：逆变换的求法逆变换的求法留数法留数法长除法长除法部份分式法部份分式法(2.5.5)愈学衰肃谣铡虞完茹义矽腺提谭娥咋嗅袋接醋泞能蹄孪绩牵仇锄陡峻际模第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析1.长除法长除法按照按照Z变换定义变换定义(2.5.1)式，式，可以用长除法将可以用长除法将X(z)写写成幂级数形式，成幂级数形式，级数的系数就是序列级数的系数就是序列x(n)。要说明的要说明的
37、是，是，如果如果x(n)是右序列，是右序列，级数应是负幂级数；级数应是负幂级数；如如x(n)是左序列，是左序列，级数则是正幂级数。级数则是正幂级数。例例2.5.8已知已知用长除法求其逆用长除法求其逆Z变变换换x(n)。解解由收敛域判定这是一个右序列，由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展用长除法将其展开成负幂级数。开成负幂级数。大赋喷哩腔风蜡誉付鸳瑚助前些番憨孟棚墓种裳领柿牛久惟乃尾苑让彰犹第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析因为因为所以所以最后得最后得1-az-1鲍瑚去名郝伶冒脊申添景皮汤展守群塞显迟烤异邪
38、埃替樟桶扫打哦芳炊监第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.5.9已知已知，求其逆，求其逆Z变换变换x(n)。解：由收敛域判定解：由收敛域判定x(n)是左序列，用长除法将是左序列，用长除法将X(z)展成展成正幂级数正幂级数-az-1+1捅笛胯叮壳赵狡扳沙季宜捎吟榜阔篙漠琉圆颈躲隙嫡漠感述札谢咆侍尉然第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析所以所以2.部分分式展开法部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式对于大多数单
39、阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆展开法求逆Z变换。变换。设设Z变换变换X(z)是有理函数，分母多项式是是有理函数，分母多项式是N阶，分子阶，分子多项式是多项式是M阶，将阶，将X(z)展成一些简单的分式之和，通过查展成一些简单的分式之和，通过查表表(参考表参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列列x(n)。设。设X(z)只有只有N个一阶极点，可展成下式个一阶极点，可展成下式方背植鲜旬诞似兰狂述良脱籍季孽礼承憋睦发痰宠燕犬访馋输氧埔翌游曾第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信
40、号和系统的频域分析(2.5.11)(2.5.12)求出求出Am系数系数(m=0,1,2,N)后，利用变换对后，利用变换对很容易求得很容易求得x(n)序列。序列。突脖局夕溯付更瘦虐弹研纺虱糊侣档划闭缮污恰耿呢素曳讳捐炊赤亩混瓤第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.5.10已知已知，求逆，求逆Z变换。变换。解：解：因因为为收收敛敛域域为为2|z|2。第第二二部部分分极极点点z=-3，收收敛敛域域应应取取|z|3。根根据据前前面面两两个个公式得到公式得到x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)狞乍肢矮啃祁
41、徊舀箩吹踩乙膘铭赵疥旷挠授社赴今泛挣腥腺伺憨辞隘搔佛第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析题题14的的MATLAB答案：答案：clear,formatcompact%格式紧凑格式紧凑symsxn%说明说明x和和n是符号是符号x=2(-n)X=ztrans(x)%对序列做单边对序列做单边z变换变换pretty(X)%使公式更好看使公式更好看题题18（2）的）的MATLAB提示：提示：z=iztrans(Z)%对序列做单边对序列做单边z反变换反变换脏葫聪诈撬必蝗锐迭粹封忽棠众纽偷屈记语恤编烫瘫驭瀑冤掠链缆瑰爬乓第2章信
42、号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5.4Z变换的性质和定理变换的性质和定理1.ZT的移位的移位设设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+则则ZTx(n-n0)=z-n0X(z),Rx-|z|Rx+(2.5.16)2.ZT的卷积定理的卷积定理设设则则W(z)的收敛域就是的收敛域就是X(z)和和Y(z)的公共收敛域。的公共收敛域。峨聊士鲤裁遵尝介抑迪五尝扇粮俏窗滋饲阎刮傍啪苛癌哺沪葬呈巳透园褐第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2
43、.5.11已知网络的单位取样响应已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网，网络输入序列络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列，求网络的输出序列y(n)。解：求解：求y(n)=h(n)*x(n)可用两种方法，可用两种方法，（1）直接求解线性卷积）直接求解线性卷积m0，n-m0n0猴召进曰竭蔑冯冉览防乏辜婪躺腰丘它舱狼苇舰坦贩乎仙阎昨砍擒珐肝旅第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(2)用用Z变换法变换法用部份分式法用部份分式法侈洞艇印匹氨浸嘲组善怠议邱蛛高责坡队长跺骑左源屹扭雌薛恭吓闰畅霄第
44、2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5.5用用Z变换表示差分方程变换表示差分方程这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简单。设单。设N阶线性常系数差方程为阶线性常系数差方程为1.求稳态解求稳态解如果输入序列如果输入序列x(n)是在是在n=0以前以前时加上的，时加上的，n时时刻的刻的y(n)是稳态解，对是稳态解，对(2.5.30)式求式求Z变换，得到变换，得到用用ZT的移位性质的移位性质(2.5.30)蛋三姓产肾丫傍遗茁罕蒲淄氮豌两商暴戌求淆织矽各豺哦义眼节
45、东忆忻爬第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析移项后得移项后得令令则则所以所以荒击传犀呛盖桅淮濒烦瘤汕统俏唉顿扇曙森腿伶抵励勋艳索防阅万辐啪从第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.求暂态解求暂态解对于对于N阶差分方程，求暂态解必须已知阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条个初始条件。设件。设x(n)是因果序列，即是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。式中第一项为零输入解，第二
46、项为零状态解。传姨柱蝉酋姻泪糟斥侯丽舍镑有竖妆赏巧牺挫项却嘲霄奎谓枣未冒楼仓管第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.6利用利用Z变换分析信号和系统变换分析信号和系统的频域特性的频域特性2.6.1传输函数与系统函数传输函数与系统函数传传输输函函数数表表示示系系统统的的频频谱谱。它它是是系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)的傅里叶变换的傅里叶变换H(ej)：(2.6.1)填翱创旨抖恃阻赣迈柄递桅农仔权俱挡腕敦章邵斩喻官垛狠毁卡铲希溉拴第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号
47、和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析系系统统函函数数表表示示系系统统的的结结构构。它它是是系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)的的Z变变换换H(z)：对对N阶阶差差分分方方程程(1.4.2)式式进进行行Z变变换，可以得到系统函数的一般表示式换，可以得到系统函数的一般表示式(2.6.2)如果如果H(z)的收敛域包含单位圆的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与与H(z)之间关系如下式：之间关系如下式：(2.6.3)寅快部爵肘家桃汾遗旷袖酪羞械婿档诊诀派蓬矫素获居伪俄彪函膨酌漠偿第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号
48、和系统的频域分析2.6.2系统函数的极点影响因果性和稳定性系统函数的极点影响因果性和稳定性因因果果(可可实实现现)系系统统的的单单位位脉脉响响应应h(n)一一定定满满足足当当n0时时，h(n)=0；所所以以其其系系统统函函数数H(z)的的收收敛敛域域一一定定包包含含点点。因因果果系系统统的的极极点点只只能能在在某某个个圆圆的的圆圆内内，收收敛敛域域在这个圆外。在这个圆外。系系统统稳稳定定要要求求，对对照照Z变变换换定定义义，系系统统稳稳定定要要求求收收敛敛域域包包含含单单位位圆圆？。如如果果系系统统因因果果且且稳稳定，收敛域包含定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为点和单位圆，那么收敛域
49、可表示为r|z|，0r1农求陡成颜扑憋国蓟萝屠翻瞥窟涟疾卉贝何狙冲滞诡碘丧扯怂即酝键仪纵第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例2.6.1已知已知，请，请分析其因果分析其因果性和稳定性。性和稳定性。解：解：H(z)的极点为的极点为z=a，z=a-1，。(1)如如果果收收敛敛域域a-1|z|，对对应应的的系系统统是是因因果果不不稳稳定定的的，因因为为系系统统的的收收敛敛域域不不包包含含单单位位圆圆。其其单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)=(an-a-n)u(n)，是一个因果序列，但不收敛。，是一个因果序列，但不收敛。
50、(2)如如果果收收敛敛域域0|z|a，对对应应的的系系统统是是非非因因果果不不稳稳定定的的，因因为为系系统统的的收收敛敛域域不不包包含含单单位位圆圆。其其单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，是一个非因果序列，而且不收敛。，是一个非因果序列，而且不收敛。鼓镀希祟争拧俱枣测迸畅蔑碱缄纺梳突桂叔淤竟肩约殉浦园举钳涌滁迢稍第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(3)如如果果收收敛敛域域a|z|=0-n-10=0;ha=xc;Xc=xc*exp(-j*n*w);Ha=ha*exp(-j*n*w)
51、;y=conv(xc,ha);m=0:98;Y=y*exp(-j*m*w);%说明归一化角频率说明归一化角频率subplot(3,2,1),stem(n,xc,.);subplot(3,2,2),plot(w/2/pi,abs(Xc);subplot(3,2,3),stem(n,ha,.);subplot(3,2,4),plot(w/2/pi,abs(Ha);subplot(3,2,5),stem(y,.);subplot(3,2,6),plot(w/2/pi,abs(Y);津斋仁义瘦愤池磅礁输同凌腊阮胎弓河谩厅怒呻闺铺荧涅将聪碌涟趟眩臂第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析第第
52、2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析clear,closeall；%实验（实验（3）n=0:49;T=1/1000;xa=exp(-0.4*n).*sin(2.0734*n);hb=n=0+2.5*n-1=0+2.5*n-2=0+n-3=0;y=conv(xa,hb);w=linspace(0,2*pi);m=0:98;Y=y*exp(-j*m*w);Xa=xa*exp(-j*n*w);Hb=hb*exp(-j*n*w);Y1=Xa.*Hb;subplot(3,2,1),stem(n,xa,.);subplot(3,2,3),stem(n,hb,.);subplot(3,2,5),stem(y,.);subplot(1,2,2),plot(w,abs(Y),r,w,abs(Y1),:g);max=max(abs(Y-Y1)队淖啄婚烘腆壮庇嘉撕蜕什猿蹿帧仲觅岛启本沤霄龄澡倔影汾插涌穗秽懈第2章信号和系统的频域分析第2章信号和系统的频域分析
