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1、一.一.复数与复变函数复数与复变函数二.二.解析函数解析函数三.三.柯西定理柯西定理 柯西积分柯西积分四.四.解析函数的幂级数表示解析函数的幂级数表示五.五.留数及其应用留数及其应用19 世纪的数学享受世纪的数学享受Cauchy WeierstrassRiemann第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数n复数及其运算复数及其运算n区域与简单曲线区域与简单曲线n复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性Functions of a Complex Variable 复数的运算和表示方法复数的运算和表示方法 了解区域的特性了解区域的特性作业：习题一作业：习题一 2(1), 3, 6, 11
2、偶偶, 14 1. 复数复数 (complex number)实部实部(real part)：虚部虚部 (imaginary part)：虚数单位虚数单位 i 满足：满足： 复数相等复数相等 复共轭复共轭 (conjugate)： 复数不能比较大小复数不能比较大小1 复数及其运算复数及其运算 复数的四则运算复数的四则运算加法：加法：乘法：乘法：减法：减法：除法除法： 涉及复共轭的运算：涉及复共轭的运算： 加法与乘法满足加法与乘法满足交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律2. 复数的表示方法复数的表示方法z = x + iy(1) 直角坐标为直角坐标为 (x, y) 的点的点(2) 矢量矢
3、量 oz (平面几何平面几何)(3) 极坐标极坐标 o 实轴虚虚轴x y 模模 (modulus)：幅角幅角 (argument)： 两个非零复数相等两个非零复数相等 模相等模相等 & 幅角相差幅角相差 2k(4) 三角形式与指数形式三角形式与指数形式：复数的复数的三角形式三角形式定义指数函数在虚轴上定义指数函数在虚轴上的值为单位复数：的值为单位复数：(欧拉公式欧拉公式)复数的复数的指数形式：指数形式：z = x + iyo x y z = x - iyz = x + iyo 实轴虚虚轴x y 幅角的计算幅角的计算 幅角是幅角是多值函数，在多值函数，在 z=0 处无定义处无定义 规定主值幅角主
4、值幅角 角形：角形： 射线射线：x y o 对对的复数组成角形的复数组成角形 圆：圆：有幅角位于区间有幅角位于区间(方程的解集方程的解集) 用幅角与模表示几何图形用幅角与模表示几何图形解：解：例例1：将复数：将复数 化为指数形式，化为指数形式， 其中其中模模求幅角要看象限求幅角要看象限：z 在第一或第四象限在第一或第四象限o x 11+i-1i-iy -1-i画图定幅角画图定幅角3. 指数表示下的乘法运算指数表示下的乘法运算 模相乘，幅角相加模相乘，幅角相加DiMoivre 公式：公式： 推广到推广到 n 个复数个复数：若 ，则幂函数幂函数：除法运算除法运算：(1) 加减法：矢量加减法加减法：
5、矢量加减法o x y z3= z1z2z2x y o z1z2a=z1+z2b=z1- -z2z1(2) 乘法：乘法：两点间的距离：两点间的距离旋转伸缩旋转伸缩先将复数 z1 逆时针逆时针旋转角度 arg z2，再伸缩 |z2| 倍 复数运算的几何意义复数运算的几何意义球面纬线 平面圆周 ：球极投影中与北极对应的假想点：球极投影中与北极对应的假想点(3) 复球面与无穷远点复球面与无穷远点 (3)球极投影：球极投影：对对 a 0 ：(北极北极)作为数，作为数， 唯一有意义的是模：唯一有意义的是模：h4.复数的复数的 n 次方根次方根 (n1)问题：对复数问题：对复数 z 0，求所有满足，求所有满
6、足wn=z 的复数的复数 w 解：设解：设在复平面上组成正在复平面上组成正 n 边形边形恰好有恰好有 n 个不同的个不同的 n 次方根：次方根：定义 n 次根式函数根式函数xyo例例 2：求：求 z = 1 + i 的四次方根的四次方根解：解：1.(1.(平面平面) )曲线曲线-实变实变复值复值函数函数 定义：单参数化的点集单参数化的点集 z(t)，t 称为 平面上的曲线曲线，若函数 Rez(t) 和和 Imz(t) 连续连续 简单曲线简单曲线( (Jordan 曲线曲线)：若从曲线 C 的起点 出发走遍该曲线，在到达终点之前遇到的点 互不相同，则称 C 为简单曲线简单曲线 闭曲线：闭曲线：起
7、点起点 z() = 终点终点 z()2 复数函数的基本概念复数函数的基本概念z(a)z(b)光滑曲线 z=z(t) 在点 处的切线：与实轴夹角为与实轴夹角为 ， 段的 线元长度线元长度为z(t0)z(t0)z(t0+Dt) 若 除起点和终点外除起点和终点外处处连续且不为零，则称曲线曲线 z=z(t) 是是光滑曲线光滑曲线 逐段光滑曲线逐段光滑曲线：由有限条光滑曲线衔接而成逐段光滑的简单闭曲线+光滑的简单闭曲线光滑闭曲线，不是简单曲线D 点 z0 的邻域邻域 ：圆盘圆盘 a 区域：区域：称点集 D 为区域， 若它为连通连通的开集开集：2.区域区域属于属于 D 的每个点都有邻域的每个点都有邻域 D
8、。属于属于 D 的任意两点可用的任意两点可用 D 的折线的折线连接；连接； 点集点集 D 的边界的边界：D =a | 点 a 的任一邻域既有 点 D，也有点 D边界点边界点 闭区域闭区域：带形带形 圆环圆环D1 角形角形是区域吗？D2区域的边界：两个同心圆区域的边界：角的两边oxy.r1. 点集点集 不是区域，也不是闭区域不是区域，也不是闭区域是区域是区域 单连通区域与复连通区域单连通区域与复连通区域定义：对区域 D，若 D 的任何简单闭曲线都任何简单闭曲线都可以可以不经过不经过 D 的边界而连续收缩为的边界而连续收缩为 D 内的某点内的某点，则称 D 单连通单连通；否则称之为复连通复连通。
9、常见的单连通区域常见的单连通区域：圆盘，带形，角形，割去一条射线的平面割去一条射线的平面 常见的复连通区域常见的复连通区域：圆环，去心邻域，圆环，去心邻域， 割去一条线段的平面割去一条线段的平面外部外部内部内部 Jordan 曲线曲线定理定理 每条简单闭曲线简单闭曲线 C 把复平面唯一地分成三个 互不相交的点集 I(C)，E(C) 和 C，其中C(1) I(C) 为有界单连通区域有界单连通区域，称为 C 的内部的内部；(2) E(C) 为无界复连通区域无界复连通区域，称为 C 的外部的外部；(3) 连接 a I(C)、b E(C) 的曲线必与 相交a.b.有界点集有界点集：包含于：包含于某个圆
10、盘的点集某个圆盘的点集D 单连通区域单连通区域 D 进行如下操作可得复连通区域进行如下操作可得复连通区域 E：孔孔槽槽洞洞钻孔钻孔 (去掉某个点去掉某个点)、 开槽开槽 (去掉某条简单曲线去掉某条简单曲线)、打洞打洞 (去掉某条简单闭曲线及其内部去掉某条简单闭曲线及其内部) 有界复连通区域有有界复连通区域有内边界内边界 和外边界和外边界，去掉连接内外，去掉连接内外 边界的曲线可变为单连通边界的曲线可变为单连通D打洞到打洞到边界边界？3.3.复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性 复变函数的定义复变函数的定义设 E 为非空复数集。若 E 中的每个复数z 都对应到唯一的复数 w，则称此映射
11、w=f(z) 为 E 上的(单值单值)复变函数复变函数；若 E 中有些复数 z 对应若干个复数 w，则称此对应 w=f(z) 为 E 上的多值复变函数多值复变函数多值复变函数：约定：所提到的复变函数都是单值函数复变函数两个二元实函数复变函数两个二元实函数例：o x y (z) (w) o u v几何表示：值域和定义域对应的几何图形几何表示：值域和定义域对应的几何图形R=2R=4o x y (z) o u v (w) 两张复平面两张复平面当 时 复变函数的极限复变函数的极限w0 对复变函数 w=f(z) 及点 z0 ，若有复数 w0 满足： 则称 f(z) 在在 z0 处有极限处有极限 w0 ，记为 定义中 zz0 方式任意(z) xy(w) uv 的的邻域：邻域：证明：设连续性连续性：若：若，则称 f(z) 在在 z0 处连续处连续极限存在极限存在 (连续性连续性) 的判断：的判断： 复变函数的极限和连续性在定义、性质、 运算规则上与二元实函数相同 有界闭集上的连续复变函数有界闭集上的连续复变函数(1) | f (z)| 可在 E 中取到最大值和最小值； 设 E 为曲线或有界闭区域曲线或有界闭区域，f (z) 在 E 上连续。(2) f (z) 在 E 上一致连续证明：(1)(2) 在 E 上一致连续连续闭集闭集：包含所有边界点的点集：包含所有边界点的点集
