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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*3 复变量的指数函数ex欧拉公式设有复数项级数设有复数项级数其中每一其中每一项都是复数都是复数 (为实数数, i为 虚部单位虚部单位, ), 则则(1)式可写成式可写成以以 Sn 表示表示(1)的第的第n个部分和个部分和, 并记并记返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则有则有若用若用A, B 分别记这两个极限值分别记这两个极限值, 则级数则级数(1)的和为的和为A+iB. 据此据此, 级数级数(1)收敛的充要条件是收敛的充要条件是: 级数级数都收敛都收敛.级数级数(1)各项各项 un 的模为的模为返回返回返回返回后页后页后页后页前页
2、前页前页前页若级数若级数收敛收敛, 则称级数则称级数(1)绝对收敛绝对收敛. 由关系式由关系式可证得可证得: 若级数若级数(1)绝对收敛绝对收敛, 则级数则级数(1)必收敛必收敛.设设为复数为复数, z为复变量为复变量, 则称级数则称级数为复数复数项幂级数数. 若若使得使得级数数(3)收收敛, 则称其称其 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在点在点z0收敛收敛. 所有使级数所有使级数(3)收敛的全体复数构成复收敛的全体复数构成复 数项幂级数数项幂级数(3)的收敛域的收敛域. 记记这时和这时和1实数项幂级数一样可证得实数项幂级数一样可证得: 级数级数(3)对一对一切切满足足 返回返
3、回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页级级数数(3)的收的收敛半径半径(当当 时, ; 当当原点为中心原点为中心, R为半径的圆为半径的圆.例如级数例如级数由于由于), 则级数数(3)的收的收敛范范围是复平面上的以原是复平面上的以原 时, 故级数故级数(4)的收敛半径的收敛半径 , 即即(4)在整个复平在整个复平面面返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上都是收敛的上都是收敛的, 当当 z 为实变量为实变量x时时, (4)的和函数为实的和函数为实. 因此因此, 我我们也把也把级数数(4)的和函数的和函数, 变变量的指数函数量的指数函数 定义为复变量定义为复变量z的指数函数的指数函
4、数 , 即即用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函 数数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它们的收敛域都是整个复平面它们的收敛域都是整个复平面.以以iz代替代替(5)式中的式中的z, 可得可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页联系联系(6)与与(7)式式, 就有就有当当z为实变量为实变量 x 时时, 则得则得它称为欧拉公式它称为欧拉公式. 这个公式给出了这个公式给出了(实变量实变量)指数函指数函 数与三角函数之间的关系数与三角函数之间的关系.由于任一复数由于任一复数 z 都可写作都可写作(r为z的模的模, 即即为 z 的幅角的幅角), 那么由欧拉公式可那么由欧拉公式可 得复数的指数形式得复数的指数形式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与实幂级数一样与实幂级数一样, 由级数的乘法运算可得由级数的乘法运算可得当以当以代入上式代入上式, 则有则有
