系统工程第3讲数学模型

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1、过程系统工程研究的内容过程系统工程研究的内容(ASO)和和4个基本问题个基本问题（SDOS） 过程系统工程研究内容的两个案例过程系统工程研究内容的两个案例 （单元、系统（单元、系统)过程系统工程的主要工具过程系统工程的主要工具-过程模拟系统过程模拟系统 （组成、分类和用途）（组成、分类和用途）过程系统工程的应用过程系统工程的应用Review of last lecture 过程系统工程研究的内容过程系统工程研究的内容(ASO)和和4个基本问题个基本问题（SDOS） 过程系统工程研究内容的两个案例过程系统工程研究内容的两个案例 （单元、系统（单元、系统)过程系统工程的主要工具过程系统工程的主要工

2、具-过程模拟系统过程模拟系统 （组成、分类和用途）（组成、分类和用途）过程系统工程的应用过程系统工程的应用Review of last lecture 物性数据物性数据数学模型（本章起）数学模型（本章起） 计算方法计算方法化工过程模拟计算与优化三要素化工过程模拟计算与优化三要素4 第二章第二章 数学模型数学模型本章内容本章内容概念、定义与分类概念、定义与分类 过程系统模型及其自由度过程系统模型及其自由度机理模型机理模型 经验模型及其建模方法经验模型及其建模方法 流程结构模型流程结构模型流程模拟基本模型流程模拟基本模型*过程单元模型过程单元模型*关于数学模型预测性检验的探讨关于数学模型预测性检验

3、的探讨*2.1 2.1 概念、定义与分类概念、定义与分类 模型：可描述、表现原型某种特性的替代物模型：可描述、表现原型某种特性的替代物物理模型物理模型physicalmodel实物模型实物模型concretemodel分类：分类：几何模型几何模型geometricmodel概念模型概念模型conceptualmodel数学模型数学模型mathematicalmodel？数学模型是建模的最高境界，是对原型认识深数学模型是建模的最高境界，是对原型认识深刻、研究透彻的体现。（王教授语）刻、研究透彻的体现。（王教授语）什么是什么是数学模型数学模型？2.1.1 2.1.1 模型模型 （modelmode

4、l） 描述的是对象系统描述的是对象系统 “如如何实现何实现”系统的物理过程系统的物理过程 依靠物质的基本形态所做的模仿依靠物质的基本形态所做的模仿 使立体像对同名光线对相交所使立体像对同名光线对相交所构成的与实地相似的模型。构成的与实地相似的模型。 关于地理现象与过程的逻辑关于地理现象与过程的逻辑关系清楚的概念阐述模型关系清楚的概念阐述模型 茂名石化Case1：y=2*x是数学模型是数学模型；y=x2是数学模型是数学模型；Case2：y1=2*xy2=x2方程组，方程组，是数学模型是数学模型；Case3：y1=2*x1+5x22y2=x12+3*x2方程组，方程组，也是数学模型也是数学模型；如

5、何表述如何表述？热力学方程?数学模型数学模型数学模型：变量之间的约束关系数学模型：变量之间的约束关系 数学模型是一套数学关系式或数学符号数学模型是一套数学关系式或数学符号，这些关系，这些关系式或符号描述了系统的各种因素、特征、变量之间的数式或符号描述了系统的各种因素、特征、变量之间的数量关系或逻辑关系，是原型特性的量关系或逻辑关系，是原型特性的数学描述数学描述。比如状态。比如状态方程就是流体方程就是流体PVTPVT关系的数学模型（关系的数学模型（f( p, T, V ) = 0 f( p, T, V ) = 0 或或 P=P(T,V)P=P(T,V)。数学模型数学模型 的分类的分类流程模拟系统

6、设计流程模拟系统设计角度：物性模型、过程单元模型、角度：物性模型、过程单元模型、建模的方式和信息依据：机理模型、经验模型建模的方式和信息依据：机理模型、经验模型(?)对象的概率特性对象的概率特性：确定模型、随机模型：确定模型、随机模型（变量之间的关系是否以统计值的形式给出（变量之间的关系是否以统计值的形式给出）对象的时变特性对象的时变特性:定态（稳态）模型、动态模型定态（稳态）模型、动态模型对象的空间特性对象的空间特性：集中参数模型、分布参数模型：集中参数模型、分布参数模型（参数是否与空间位置有关参数是否与空间位置有关）实际使用目的实际使用目的：操作型模型、设计型模型：操作型模型、设计型模型系

7、统结构模型系统结构模型等等数学模型的分类数学模型的分类2.1.3 运用模型方法的实例（运用模型方法的实例（P12）例）例2-1 如图如图2-1，在边长为，在边长为2的正方形中内接一个圆。在正方形面积内随的正方形中内接一个圆。在正方形面积内随机地打上机地打上N个点，其中有个点，其中有n个点落在内接圆中。如个点落在内接圆中。如N足够大，可认足够大，可认为为n与与N之比近似等于圆形与正方形面积之比。即之比近似等于圆形与正方形面积之比。即 图图2-1MonteCarloMethod蒙特蒙特卡罗方法计算圆周率卡罗方法计算圆周率与概率方法无关的问题可以用与概率方法无关的问题可以用概率的方法来解决概率的方法

8、来解决!故当故当N足够大时，有足够大时，有蒙特卡罗蒙特卡罗(?)方法又称统计模方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数（或更常见的伪随机数,有特有特定的程序）来解决很多计算定的程序）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似或抽样，以获得问题的近似解。解。 物物性性模模型型

9、：是是流流程程模模拟中中的的最最基基本本的的模模型型。其其作作用用主主要要是是解解决决被被加加工工物物料料的的状状态计算算问题。通通常常包包括括焓、逸逸度度、密密度度、压力力、温温度度、相相态、组成等成等计算。方法或理算。方法或理论来源自化工来源自化工热力学。力学。单元元模模型型：是是为了了解解决决基基本本单元元过程程与与设备的的计算算问题，方方法法或或理理论来源有化工原理、反来源有化工原理、反应工程、分离工程、工程、分离工程、传递原理等。原理等。 结构模型：构模型：是描述整套装置中各个是描述整套装置中各个单元元过程之程之间联系方式的模型。系方式的模型。经济模型模型: :经济分析分析控制模型控

10、制模型: :动态模模拟用用户接口接口：自：自编模型模型流流程程模模拟拟系系统统中中的的模模型型2.1.4 流程模拟系统中的模型流程模拟系统中的模型2.1.5 2.1.5 评价模型的标准评价模型的标准 适适用用、简单、预测性性好好是是评价价模模型型的的根根本本标准准。模模型型的的好好坏坏与与是是否否使使用用了了复复杂的的方方法法、是是否否使使用用了了前前沿沿的的成成果果、是是否使用了否使用了时髦的理髦的理论完全无关。（完全无关。（ 王教授王教授语 ）转转2.32.3 2.3 机理模型机理模型2.3.1 2.3.1 机理模型的特征机理模型的特征 （1 1）机理模型的概念）机理模型的概念 对系系统的

11、各个的各个组成部分及其相互成部分及其相互联系方式系方式进行研究，行研究，了解其各部分运行的物理了解其各部分运行的物理规律，然后利用已知的、律，然后利用已知的、经过长期期实践践检验的公理，如的公理，如质量守恒、能量守恒、万有引量守恒、能量守恒、万有引力定律等建立系力定律等建立系统的数学模型。的数学模型。实质上就是将系上就是将系统分解分解至已知公理可以解至已知公理可以解释的程度再的程度再进行相行相应的数学描述。的数学描述。 建模的方式和信息依据建模的方式和信息依据2.3 2.3 机理模型机理模型 （2）机理模型的特征 在在化化工工系系统工工程程领域域，对于于流流程程模模拟任任务而而言言，所所称称机

12、机理理模模型型一一般般应具具有如下基本特征（或其中部分特征）：有如下基本特征（或其中部分特征）：确定的组分，统一、可靠的基础物性数据。确定的组分，统一、可靠的基础物性数据。质量衡算方程质量衡算方程能量衡算方程能量衡算方程严格的相平衡计算严格的相平衡计算化学反应动力学或化学平衡计算化学反应动力学或化学平衡计算传递与流动计算传递与流动计算 ？2.3.2 2.3.2 建模手段与实例建模手段与实例 建模工作内容：建模工作内容：系系统（物理）分析（物理）分析与与数学推演数学推演 （1)1)系系统分析分析 工作的思路工作的思路: :选定研究定研究对象，明确系象，明确系统的功能及与的功能及与环境的信息交境的

13、信息交换；进一步研究系一步研究系统的物理的物理规律，适当的律，适当的简化、假化、假设；分分解解系系统，划划分分子子系系统及及确确定定诸子子系系统间的的联系系，直直至至各各子子系系统都可以运用所熟悉的原理或假都可以运用所熟悉的原理或假设给予解予解释和描述和描述为止。止。 在在某某些些特特殊殊情情况况下下，尤尤其其系系统较为复复杂、未未知知物物理理规律律较多多时，确确实也也可可以以首首先先建建立立系系统的的物物理理模模型型实验设备，为下下一一步步总结物理物理规律服律服务。2.3.2 2.3.2 建模手段与实例建模手段与实例 （2)2)数学推演数学推演 在在系系统分分析析的的基基础上上写写出出各各子

14、子系系统的的有有关关数数学学表表达达式式及及各各子子系系统相相互互联系系的的表表达达式式，形形成成系系统数数学学模模型型的的雏形形或或原原始始形形式式；再再根根据据模模型型求求解解与与使使用用的的需需要要对原原始始表表达达式式进行行推推导、演演算算、整整理理、化化简，得到表达清晰、便于理解和得到表达清晰、便于理解和计算的数学模型。算的数学模型。例例2-7 2-7 无相无相变单程逆流程逆流换热器器稳态模型模型 A dAdTdtT1T2t1t2符号说明： 热物流流率与比热， 冷物流流率与比热， 换热量， 总传热系数 建建模模过过程程简简化化假假设设：总总传传热热系系数数K为为常常数数；流流体体不不

15、可可压压缩缩；流流体体比比热热为为常常数数；稳稳态态流流动动；忽忽略略设设备备的的热热容容与与传传递递滞滞后后；与与流流动动方方向向垂垂直直的的方方向向上上无无温温差差；焓焓衡衡算算用用显显热热衡衡算算代代替替。本本例例中中因因认认为为流流率率与与组组成成不不变变，进出口流率为同一变量，故不存在质量衡算关系式。进出口流率为同一变量，故不存在质量衡算关系式。无相变单程逆流无相变单程逆流换热过程的模型换热过程的模型系系统统分分析析首先由首先由传热方程传热方程得：得：即即(2-1)由由热平衡热平衡可知：可知：即即则则,其中系数其中系数 将将积分可得：积分可得：(2-2)将将(2-2)代入代入(2-1

16、)得：得：(2-3)数数学学推推演演对对(2-3)积分积分:再整理，得：再整理，得：(2-4)式式2-4已已表表达达了了换换热热面面积积、换换热热量量、物物流流温温度度等等变变量量间间的的数数量量关关系系。但但式式中中t2为为换换热热终终温温，非非已已知知量量，在在操操作作型型模模拟拟问问题题中中一一般般作作为为数数学学模模型型中中待待求求的的状状态态变变量量。故故上上式式无无法法用用作作操操作作型型模模拟拟的的数数学学模模型型。宜宜设设法消去法消去t2。可由冷物流的热平衡得：可由冷物流的热平衡得： 整理上式得：整理上式得：，代入，代入(2-4)后再整理可得：后再整理可得：若定义热容流率比若定

17、义热容流率比则可化为则可化为(2-5)式式(2-5)与如下两式结合与如下两式结合(2-6)(2-7) 即即构构成成所所需需数数学学模模型型（机机理理模模型型？）。当当给给定定冷冷、热热物物流流的的物物性性（热热容容）和和初初态态（流流率率与与温温度度）并并已已知知设设备备参参数数K K和和A A后后，即即可可由由(2-5)(2-5)算算出出换换热热量量Q,Q,并并进进而而由由热热平平衡衡(2-6) (2-6) (2-7)(2-7)两两式式算算出出冷冷、热热物物流流的的终终态态温温度度，完完成操作型模拟任务。成操作型模拟任务。连续流流动加加热水槽水槽动态模型模型（自学）（自学） 符号说明：符号说

18、明：F,T流量流量(kg/hr)与温度与温度(K)，T0环境温度环境温度(K)，C, 物性，比热物性，比热(kJ/kg.K)与密度与密度(kg/m3)，K,A传热系数传热系数(kJ/hKm3)与与传热面积传热面积(底面积底面积)(m2)，L,V液位液位(m)与持液体积与持液体积(m3)，t时间时间(h)建模简化假设：建模简化假设：K，C， 为常数，理想搅拌（集中参数体系），流体不为常数，理想搅拌（集中参数体系），流体不可压缩，忽略设备热容与传递滞后，焓衡算用显热衡算代替。可压缩，忽略设备热容与传递滞后，焓衡算用显热衡算代替。连续流流动加加热水槽水槽动态模型模型 （自学）（自学）首先考虑首先考虑

19、质量衡算质量衡算：，即，即(2-12)热量衡算热量衡算(显热衡算显热衡算)：即即:利用利用(2-12)，代入上式，消去，代入上式，消去,整理得：整理得：(2-13)式式(2-12)与式与式(2-13)即构成了所需的数学模型（机理模型）。此即构成了所需的数学模型（机理模型）。此模型描述模型描述了液位与温度随时间的动态变化关系了液位与温度随时间的动态变化关系。如给定适当初始条件，即可算出液位。如给定适当初始条件，即可算出液位与温度随时间的变化曲线。与温度随时间的变化曲线。2.42.4经验模型（经验模型（empirical model）及其建模方法及其建模方法 几个几个环节 系统分析系统分析抽样或获

20、取观测数据（即掌握原型的实际信息）抽样或获取观测数据（即掌握原型的实际信息）确定函数形式确定函数形式检验与评价检验与评价参数估值参数估值概念概念：不分析实际：不分析实际过程过程的机理，而是根据从实际得到的与过程有的机理，而是根据从实际得到的与过程有关的数据进行数理统计分析、按关的数据进行数理统计分析、按误差误差最小原则，归纳出该过程各最小原则，归纳出该过程各参数参数和和变量变量之间的之间的数学数学关系式，用这种方法所得到的数学表达式关系式，用这种方法所得到的数学表达式称为经验模型，黑箱模型称为经验模型，黑箱模型（Black box） 。2.4.1 2.4.1 建模问题的描述建模问题的描述 系系

21、 统统xY输入变量输入变量输出变量输出变量待建模系统待建模系统系统分析系统分析获取观测数据（获取观测数据（xj，yj），），j=1,m选择函数选择函数y=f（x，b） 参数估值，确定参数估值，确定b，使得模型计算值与实测值尽量拟合使得模型计算值与实测值尽量拟合检验与评价检验与评价如何估值？如何估值？建建模模基基本本步步骤骤 2.4.2 2.4.2 最小二乘法最小二乘法* * 构造误差函数构造误差函数极值点问题极值点问题Note： J为函数，为函数，b为决策变量！为决策变量！（Note： J为函数，为函数，b为模型参数！）为模型参数！）y=f（x，b）关于最小二乘法关于最小二乘法（the lea

22、st square method ） 最小二乘法是一种数学方法，用于曲线拟合。最小二乘法是一种数学方法，用于曲线拟合。二乘，就是平方，是早年翻译的沿用。二乘，就是平方，是早年翻译的沿用。 当在实验中获得自变量与因变量的一系列对应当在实验中获得自变量与因变量的一系列对应数据数据,(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),.(xn,yn)时，要时，要找出一个已知类型的函数，找出一个已知类型的函数，y=f(x)，与之拟合，使，与之拟合，使得实际数据和理论曲线的离差平方和：得实际数据和理论曲线的离差平方和：yi-f(xi)2为最小。这种求为最小。这种求f(x)的方法，叫做最小二乘法。的方法，叫做

23、最小二乘法。 2.4.3 2.4.3 多元线性回归多元线性回归*（自学自学）最小二乘问题最小二乘问题转化成多元线转化成多元线性回归问题性回归问题如果选择函数如果选择函数求出求出bi求出求出b0有现成的计算程序！有现成的计算程序！2.4.4 2.4.4 一元线性回归一元线性回归one dimensional linear regression （自学）（自学） 当n=1，多元线性回归转化成一元线性回归，即直线拟合问题： Y=bY=b0 0+b+b1 1X X（见教材（见教材p28)p28) 特别需要注意经验模型的适用范围，即经验模型的特别需要注意经验模型的适用范围，即经验模型的定义域定义域。 从

24、从纯纯数数学学观观点点看看，线线性性模模型型的的自自变变量量定定义义域域为为无无穷穷大大。但但实实际际上上经经验验模模型型（即即使使是是线线性性模模型型）的的定定义义域域是是受受到到严严格格限限制制的的。这这些些限限制制由由物物理理意义、样本抽样范围等决定。意义、样本抽样范围等决定。 经经验验模模型型的的适适用用范范围围或或定定义义域域应应限限制制在在模模型型变变量量的的抽抽样样范范围围之之内内。如如在在抽抽样样范范围围以以外外使使用用，则则属属外外推推使使用用。外外推推使使用用时时，预预测测效效果果无无法法考考察察，易易导导致致重重大大预预测测失失误误。尤尤其其在在失失去去物物理理意意义义的

25、的范范围围上上外外推推使使用用以以及及建建模模时依据的样本方差较大、样本容量较小时，外推使用更不可取。时依据的样本方差较大、样本容量较小时，外推使用更不可取。2.4.5 2.4.5 适用范围与使用单位适用范围与使用单位 2.4.6 2.4.6 线性化方法（线性化方法（自学自学） y=a+bx2.4.7 2.4.7 统计检验 （自学）（自学） 利用数理利用数理统计的方法，可的方法，可对多元多元线性回性回归的的结果果进行行统计检验。最常用的是。最常用的是对模型参数模型参数进行行显著性著性检验。原假设原假设H H0 0为为: : 统计量：量：TSS=L TSS=L 回归平方和，ESS，反映由反映由模

26、型中解释变量所解释的那模型中解释变量所解释的那部分离差的大小部分离差的大小TSS为总体平方和为总体平方和（Total Sum of Squares），反，反映样本观测值总体离差的大映样本观测值总体离差的大小小RSS为残差平方和为残差平方和（Residual Sum of Squares），反映样，反映样本观测值与估计值偏离的大小，本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。部分离差的大小。显著性检验即用于实验处理组与对照组或显著性检验即用于实验处理组与对照组或两种不同处理的效应之间是否有差异，以两种不同处理的效应之间是否有差异，以及这种差

27、异是否显著的方法。及这种差异是否显著的方法。 2.4.7 2.4.7 统计检验（自学，（自学，会用即可会用即可） 检验步骤：检验步骤：确定置信度确定置信度，查，查F F分布得对应的分布得对应的方差比临界值方差比临界值F F；将统计量将统计量F计算值与临界值比较；计算值与临界值比较；确定是否为小概率？确定是否为小概率？NOTE：统计检验从数理统计的角度提出：统计检验从数理统计的角度提出了取舍模型的判据。由于统计检验时所了取舍模型的判据。由于统计检验时所用的前提条件在实际中未必满足以及统用的前提条件在实际中未必满足以及统计检验方法本身的各种局限，在评判模计检验方法本身的各种局限，在评判模型时不能过

28、多地依赖统计检验，而应立型时不能过多地依赖统计检验，而应立足于实际，充分利用有关专业领域的理足于实际，充分利用有关专业领域的理论和实践知识，对经验模型进行客观、论和实践知识，对经验模型进行客观、全面的考察、评判。全面的考察、评判。U：回归平方和；：回归平方和；Q：剩余平方和：剩余平方和F检验，检验依据样本估计的回归方检验，检验依据样本估计的回归方程所体现的被解释变量与解释变量之程所体现的被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立间的线性关系在总体上是否显著成立 显著性著性检验依据及其他依据及其他1、小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，假若、小概率原理：小概率事件在

29、一次试验中是几乎不可能发生的，假若在一次试验中事件在一次试验中事件 事实上发生了。那只能认为事件事实上发生了。那只能认为事件 不是来自我们假设的总不是来自我们假设的总体，也就是认为我们对体，也就是认为我们对总体总体所做的假设不正确。所做的假设不正确。 2、观察到的、观察到的显著水平显著水平：由样本资料计算出来的检验：由样本资料计算出来的检验统计量统计量观察值所截观察值所截取的尾部面积。这个概率越小，反对原假设，观察到的差异便越加理由充分取的尾部面积。这个概率越小，反对原假设，观察到的差异便越加理由充分地表明真实差异存在。地表明真实差异存在。 3、检验所用的显著水平：针对具体问题的具体特点，事先

30、规定这个检、检验所用的显著水平：针对具体问题的具体特点，事先规定这个检验标准。验标准。 4、在检验的操作中，把观察到的显著性水平与作为检验标准的显著水、在检验的操作中，把观察到的显著性水平与作为检验标准的显著水平标准比较，小于这个标准时，得到了拒绝原假设的证据，认为样本数据表平标准比较，小于这个标准时，得到了拒绝原假设的证据，认为样本数据表明了真实差异存在。大于这个标准时，拒绝原假设的证据不足，认为样本数明了真实差异存在。大于这个标准时，拒绝原假设的证据不足，认为样本数据不足以表明真实差异存在。据不足以表明真实差异存在。 2.4.8 2.4.8 数数值精度与数精度与数值稳定性定性 在在求求解解

31、方方程程组组的的过过程程中中，需需要要特特别别注注意意数数值值精精度度问问题题。无无论论是是手手算算或或利利用用计计算算机机编编程程序序计计算算，都都必必需需在在运运算算过过程程中中尽尽可可能能保保留留较较多的多的有效数字有效数字。否则，极可能使得最终结果面目全非。否则，极可能使得最终结果面目全非。思考：为什么？思考：为什么？2.4.8 2.4.8 数数值精度与数精度与数值稳定性定性 常见的均值计算问题：常见的均值计算问题： 曾有一种较为流行的观点，认为一般工程计算结果仅需取三、四曾有一种较为流行的观点，认为一般工程计算结果仅需取三、四位有效数字，故中间结果仅需取五、六位有效数字。此说未考虑数

32、位有效数字，故中间结果仅需取五、六位有效数字。此说未考虑数值稳定性问题，忽略了值稳定性问题，忽略了误差的传递与放大误差的传递与放大，仅适用于拉计算尺计算，仅适用于拉计算尺计算简单问题的场合。简单问题的场合。 计算量小，但样本较大时占用内存较多计算量小，但样本较大时占用内存较多且影响精度且影响精度计算量稍多，但较为稳定，计算量稍多，但较为稳定，适宜在线计算适宜在线计算精度高，计算量大精度高，计算量大为均值近似值为均值近似值直接法：直接法：递推算法法：递推算法法：二次均值法：二次均值法： 灰箱模型灰箱模型灰箱模型灰箱模型(Gray box)或概念模型或概念模型(conceptual model),

33、指指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。学等领域的模型。在水利学上，结合流域观测数据和试验数据在水利学上，结合流域观测数据和试验数据,根据物理过根据物理过程为基础建立起来的模型，握力基础的结构和方程可能是经程为基础建立起来的模型，握力基础的结构和方程可能是经验或半经验方程验或半经验方程.由于物理意义不是很明确，参数和变量很难由于物理意义不是很明确，参数和变量很难通过实测数据获得。经常需要模拟通过实测数据获得。经常需要模拟(simulate),检验检验(verification) 验证验证(validation)评估评估(evaluate)。 模型化工作程序模型化工作程序模型评价模型评价