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1、图说投影图说投影陆陆 俊俊青年论坛科普讲座青年论坛科普讲座20132013年年4 4月月3 3日日 圆圈到直线的投影圆圈到直线的投影 N 映到映到 1:1 映射映射 1. 球极投影北极点北极点北极点北极点南极点南极点南极点南极点圆圈圆圈直线直线 球面到平面的投影球面到平面的投影 N N 映到映到 1:11:1映射映射 S S S S2 2 2 2 球面球面球面球面P P P P 平面平面平面平面 圆圈到直线的投影圆圈到直线的投影 (极点极点:O) Q1 , Q2 映到映到 2:1 映射映射 （二次覆盖二次覆盖） 2. 改变极点位置 空间曲线到平面曲线的投影空间曲线到平面曲线的投影 CC P1
2、, P2 映到映到 P几乎几乎 1:1 映射映射 (除了除了P1 , P2 外外)3. 空间曲线的投影 空间曲线到平面曲线的投影空间曲线到平面曲线的投影 CC 1:1 映射映射 ， OP与与C相切相切 结点：结点： x2-y2=0 (局部坐标局部坐标 （x,y）)（普通）尖点（普通）尖点 ：x2-y3=0 C: 空间曲线空间曲线， O: 极点，极点， 投影投影 C C曲线一般投影定理曲线一般投影定理: : O 的位置充分一般的位置充分一般4. 曲线一般投影定理C只含有结点只含有结点 曲面到平面投影曲面到平面投影 S P (极点极点O取取 ） 几乎几乎2：1映射映射 （二次覆盖二次覆盖）Q: 分
3、歧点分歧点5. 曲面投影平面平面平面平面原像仅有一点原像仅有一点Q 分歧轨迹分歧轨迹 R: 分歧点全体分歧点全体带带结点结点的二次覆盖的二次覆盖 平面平面平面平面 几乎几乎 3:1 投影投影 （三次覆盖三次覆盖） 简单分歧点简单分歧点 Q Q: : 原像仅有两点原像仅有两点Q Q1 1, Q, Q2 2三重分歧点三重分歧点 T T: : 原像仅有一点原像仅有一点T T Kn : n 维空间维空间, Kn-1 子空间子空间 (K复数域复数域) r维几何图形维几何图形 极点极点O的投影的投影 压缩背景空间的维度压缩背景空间的维度 6. 高维投影X X 空间压缩投影空间压缩投影 会挤压出会挤压出“奇
4、点奇点 ” 四维空间中的球四维空间中的球 复变函数图复变函数图复变函数图复变函数图 y y2 2=x=x三维空间中的压缩像三维空间中的压缩像 克莱因瓶克莱因瓶压缩至压缩至3维空间维空间 中的示意模型中的示意模型 实射影平面实射影平面压缩至压缩至3维维 空间中的示意模型空间中的示意模型 X: r 维图形，维图形， Kn： n维空间维空间若若 n2r+1, 则则 X 可压缩成可压缩成 K2r+1 中的光滑图中的光滑图形（即无形（即无“奇点奇点”）曲线可压缩成曲线可压缩成 K3 中的光滑曲线中的光滑曲线曲线压缩到曲线压缩到 K2 最多出现结点（见前）最多出现结点（见前）曲面可压缩成曲面可压缩成 K5
5、 中的光滑曲面中的光滑曲面 S: K5 中的曲面，中的曲面， O极点极点.一般投影一般投影 ( O的位置充分一般）的位置充分一般）S: 一般曲面一般曲面 （含有（含有非正常二重点非正常二重点）7. 曲面的一般投影非正常二重点非正常二重点非正常二重点非正常二重点示意图示意图示意图示意图 S: K4 中的中的一般曲面一般曲面， O极点极点.一般投影一般投影 ( O的位置充分一般）的位置充分一般）S有三类奇点有三类奇点: 结点结点 三重点三重点 拧点拧点 曲面曲面一般覆盖一般覆盖: S : S 到平面到平面 P P 的一般投影的一般投影S S 在每点附近的投影在每点附近的投影局部局部近似成：近似成：
6、 平面、平面平面、平面二次覆盖二次覆盖或上述平面或上述平面三次覆盖三次覆盖 分歧轨迹分歧轨迹 B: B: 不可约不可约尖点曲线尖点曲线 （即只含结点和尖点）（即只含结点和尖点）尖点个数尖点个数c c， 结点个数结点个数n,n, B B的次数的次数d.d.c,d,nc,d,n 有很强限制条件有很强限制条件. .比如比如: : c c是是3 3的倍数，的倍数，n n是是4 4的倍数，的倍数，尖点曲线示意图尖点曲线示意图尖点曲线示意图尖点曲线示意图 ChisiniChisini猜想猜想: : 次数次数 4 4 的曲面一般覆盖由分歧轨迹的曲面一般覆盖由分歧轨迹唯一唯一确定确定. . （KulikovK
7、ulikov 2008 2008 证明该猜想）证明该猜想）. .反例（反例（CataneseCatanese，ChisiniChisini）: : 4 4次覆盖，次覆盖， VeroneseVeronese曲面曲面 S S 黎曼黎曼存在性问题存在性问题: : 给定曲线给定曲线B, B, 是否存在曲面是否存在曲面一般覆盖一般覆盖, ,恰以恰以B B为分歧轨迹为分歧轨迹? ? 寻找刻画寻找刻画 B B 的的适当条件。适当条件。（EnriquesEnriques, Segre, , Segre, ChisiniChisini, Friedman, , Friedman, TeicherTeicher，
8、Tan Tan ）曲线的曲线的黎曼存在性定理黎曼存在性定理 （Riemann Riemann 拓扑条件拓扑条件基本群与单值基本群与单值) ) 多项式多项式: f(x, y)=yd+a1(x)yd-1+ad(x).代数曲线代数曲线 C： 满足满足 f=0 的点集的点集 (x, y).(几何观点几何观点) 投影投影 p: C L, (x, y)x.L：直线：直线p: d次覆盖次覆盖8. 多项式函数与投影 （函数观点函数观点） 多值函数多值函数 y=y(x), ( (方程观点方程观点） f(x, y)=0 关于关于y有有d个根个根（投影投影) 分歧点分歧点=(函数函数)支点支点=（多项式多项式）重根）重根 点点x绕支点转一周后绕支点转一周后,根根的顺序发生变化的顺序发生变化单值单值：环路：环路 r 映到置换映到置换分歧点分歧点 p1,ps , L 直线直线基本群基本群到到置换群置换群 r Thank You!
