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1、1.6 信号的分解 研究信号的传输与信号处理的问题，需要将一些信号分解研究信号的传输与信号处理的问题，需要将一些信号分解为比较简单的（基本的）信号分量之和。为比较简单的（基本的）信号分量之和。犹如：力学中将任一方向的力分解为几个分力一样。犹如：力学中将任一方向的力分解为几个分力一样。 信号信号从不同角度从不同角度分解分解；直流分量与交流分量直流分量与交流分量偶分量与奇分量偶分量与奇分量脉冲分量脉冲分量实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量正交函数分量正交函数分量一直流分量与交流分量一直流分量与交流分量信号的平均功率信号的平均功率 = 信号的直流功率信号的直流功率 + 交流功率交流功率信号的直流分
2、量，即平均值信号的直流分量，即平均值如：时间函数如：时间函数f(t)为电流信号，则时间间隔为电流信号，则时间间隔T内流过单位电阻所产生的平均功率等于：内流过单位电阻所产生的平均功率等于：二偶分量与奇分量对任何对任何实实信号而言：信号而言：信号的平均功率信号的平均功率 = 偶分量功率偶分量功率 + 奇分量功率奇分量功率 偶分量偶分量奇分量奇分量见教材见教材P26例例1-7 例:求 f (t)的奇分量和偶分量二偶分量与奇分量二偶分量与奇分量三脉冲分量矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为此窄脉冲可表示为当当 ，脉宽：，脉宽： 存在区间：存在区间： 脉高：脉高：一个信号可近似分解为许多脉冲分量
3、之和。一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和。（1 1）一种分解为一种分解为矩形窄脉冲分量矩形窄脉冲分量：（2）另一分解为阶跃信号分量之叠加。（不做介绍）另一分解为阶跃信号分量之叠加。（不做介绍）出出现现在在不不同同时时刻刻的的，不不同同强强度的冲激函数的和。度的冲激函数的和。从从 到到 可以表示成许多窄脉冲的叠加可以表示成许多窄脉冲的叠加三脉冲分量三脉冲分量四实部分量与虚部分量四实部分量与虚部分量瞬时值为瞬时值为复数复数的信号可分解为实虚部两部分之和。的信号可分解为实虚部两部分之和。即即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信
4、号。共轭复函数共轭复函数虽然实际信号都为实信号，但它常用于表示正、余虽然实际信号都为实信号，但它常用于表示正、余弦信号，在通信系统、网络理论、数字信号处理等弦信号，在通信系统、网络理论、数字信号处理等方面，复信号的应用日益广泛。方面，复信号的应用日益广泛。 五、信号的正交函数分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函数正交函数正交函数集正交函数集复变函数的正交特性复变函数的正交特性将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。的特性。简化系统分析与运算，简化系统分析与运算， 总响应总响应=单元响应之和。单元响应之和。信号分解的目的误差矢量误差矢量 系
5、数系数两两矢量正交矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？方式不是惟一的：方式不是惟一的：1矢量的正交分解正交分解空间中任一矢量可分解为空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解为平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。二方向矢量。一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：二维正交集 三维正交集 v信号的正交函数表示信号的正交函数表示则称这两个矢量正交。则称这两个矢量正交。平面空间：平面空间：若矢量若矢量三维空间
6、：三维空间：若矢量若矢量C C3 3C C2 2C C1 1n维空间：维空间：若矢量若矢量2正交函数误差误差系数系数用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。3正交函数集任意信号任意信号f(t)可表示为可表示为n维正交函数之和：维正交函数之和： 原函数原函数近似函数近似函数r =0,1,2,.n基底函数基底函数分解原则是误差函数均方值最小 理解正交函数集规定：正交函数集规定： 所有函数应所有函数应两两正交两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。
7、函数集是正交函数。 是是相互独立相互独立的，互不影响，计算时先抽取的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 此公式是个通式，适合于此公式是个通式，适合于任何正交任何正交函数集。函数集。两周期信号在两周期信号在同一周期内同一周期内(同区间内同区间内)正交的条件是正交的条件是c12=0，即：即： 总结 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。信号。对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满满足正交。足正交。例：试用sint 在区间（0，2
8、）来近似1t0-1解：例：试用正弦sint 在（0，2 ）区间内来表示余弦cost显然所以说明cost 中不包含 sint 分量，因此cost 和 sint 正交.4.复变函数的正交特性则此复变函数集为则此复变函数集为正交函数集正交函数集。5、完备正交函数集若若f1(t) ， fn(t) 在区间在区间( t1，t2)上为正上为正交函数集，不再存在任意函数交函数集，不再存在任意函数 (t)与其正交。则与其正交。则f1(t) ， fn(t) 称为称为完备正交函数集。完备正交函数集。定理1. 若若f1(t) ， fn(t) 在区间在区间( t1，t2)上上为完备正交函数集，则在为完备正交函数集，则在
9、 ( t1，t2)上任意函数上任意函数 f(t)可用可用表示为：表示为：用完备正交函数集表示任意信号用完备正交函数集表示任意信号其中其中定理2. 若若f(t)可用可用完备正交函数集完备正交函数集 f1(t) ， fn(t) 表示，则表示，则:（Parserval定理）定理）物理意义：物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率完备正交函数集中各分量能量（功率)之和。之和。1、三角交函数集三角交函数集:6.6.常用完备正交函数集常用完备正交函数集( t0，t0 +T ) 2、指数函数集指数函数集:( t0，t0
10、+T ) 3、抽样函数集抽样函数集:4、Walsh函数集函数集:( - ， ) ( 0，1 ) 信信号号分分析析是是把把信信号号分分解解成成它它的的各各个个组组成成部部分分的的概概念念、理理论论和和方方法法，例例如如，信信号号空空间间表表示示法法或或其其各各种种线线性性组组合合表表示示法法、信号谱分析、信号的时域分析和多尺度分析等信号谱分析、信号的时域分析和多尺度分析等 信号分析：信号分析：信号处理：信号处理：补充：信号分析与信号处理补充：信号分析与信号处理 信信号号处处理理则则指指按按某某种种需需要要或或目目的的，对对信信号号进进行行特特定定的的加加工、操作或修改。工、操作或修改。 系系统统
11、分分析析就就是是在在给给定定系系统统的的情情况况下下，研研究究系系统统对对输输入入信信号号所所产产生生的的响响应应，并并由由此此获获得得对对系系统统功功能能和和特特性性的的认认识识。一一般般来来说说，系系统统分分析析包包括括以以下下三三个个步步骤骤：系系统统建建模模，求求解解系系统统，结果解释结果解释 系统分析：系统分析：系统综合：系统综合：系统分析与系统综合系统分析与系统综合 系系统统综综合合又又可可叫叫做做系系统统的的设设计计或或实实现现，它它指指在在给给定定了了系系统统功功能能或或特特性性的的情情况况下下，或或者者已已知知系系统统在在什什么么样样的的输输入入时时有有什什么么样样的的输输出
12、，设计并实现该系统出，设计并实现该系统 两类分析方法两类分析方法1.时域分析时域分析2.变换域分析变换域分析 傅里叶变换傅里叶变换FT 拉普拉斯变换拉普拉斯变换LT z 变换变换ZT 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT 卷积积分（或卷积和）法卷积积分（或卷积和）法经典求解法：经典求解法：连续系统：微分方程连续系统：微分方程离散系统：差分方程离散系统：差分方程时间域方法时间域方法时间域方法时间域方法时间域方法：时间域方法：直接分析时间变量的函数，研究系统的时间直接分析时间变量的函数，研究系统的时间响应特性，或称时域特性。响应特性，或称时域特性。在在信号与系统研究的发展过程中，曾一度认为时域方法运
13、信号与系统研究的发展过程中，曾一度认为时域方法运算烦琐、不够方便，随着计算技术与各种算法工具的出现，算烦琐、不够方便，随着计算技术与各种算法工具的出现，时域分析又重新受到重视。时域分析又重新受到重视。时域法的时域法的优点：物理概念清楚。优点：物理概念清楚。时域法时域法分析法有：经典法、算子法、卷积法、及借助计算分析法有：经典法、算子法、卷积法、及借助计算机利用数值方法求解微分方程（如欧拉（机利用数值方法求解微分方程（如欧拉（Euler)Euler)法、龙格法、龙格库塔（库塔（Runge-KuttaRunge-Kutta) )法等。其中卷积法最受重视。法等。其中卷积法最受重视。变换域方法变换域方
14、法变换域方法变换域方法变换域方法：变换域方法：将信号与系统模型的时间变量函数变换成相将信号与系统模型的时间变量函数变换成相应变换的某种变量函数。应变换的某种变量函数。拉普拉斯变换（拉普拉斯变换（LT）与）与Z变换（变换（ZT）注重研究极点与零点分析，注重研究极点与零点分析，利用利用S域或域或Z域的特性解释现象和说明问题。域的特性解释现象和说明问题。例如：付例如：付里叶里叶变换（变换（FT）以频率为独立变量，以频域特性为以频率为独立变量，以频域特性为主要研究对象；主要研究对象；目前，在离散系统分析中，正交变换的内容日益丰富，如离散目前，在离散系统分析中，正交变换的内容日益丰富，如离散付里叶变换（
15、付里叶变换（DFT）、）、离散沃尔什变换（离散沃尔什变换（DWT）等。等。变换域方法优点：可以将时域分析中的微分、积分运算转变换域方法优点：可以将时域分析中的微分、积分运算转化为代数运算，或将卷积积分变换为乘法。化为代数运算，或将卷积积分变换为乘法。变换域方法方便之处：如可根据信号所占有频带与系统通带间变换域方法方便之处：如可根据信号所占有频带与系统通带间的适应关系来分析信号传输问题往往比时域法简便和直观。的适应关系来分析信号传输问题往往比时域法简便和直观。复 习本章讲授的内容有：本章讲授的内容有：1 1 1 1、信号的定义及其描述、分类、信号的定义及其描述、分类、信号的定义及其描述、分类、信
16、号的定义及其描述、分类2 2、信号处理的定义、目的与数字信号处理的步骤、信号处理的定义、目的与数字信号处理的步骤、信号处理的定义、目的与数字信号处理的步骤、信号处理的定义、目的与数字信号处理的步骤3 3、典型信号与奇异信号、典型信号与奇异信号、典型信号与奇异信号、典型信号与奇异信号4 4、信号的运算（四则运算、波形变换）、信号的运算（四则运算、波形变换）、信号的运算（四则运算、波形变换）、信号的运算（四则运算、波形变换）5 5、信号分解、信号分解、信号分解、信号分解消息：消息：来自外界的各种报道来自外界的各种报道的统称。的统称。信息：信号是反映（或载有）信息的各种物理量信息：信号是反映（或载有
17、）信息的各种物理量,是系统直接是系统直接 进行加工、变换以实现通信的对象进行加工、变换以实现通信的对象.通常把通常把消息中有意消息中有意义的内容义的内容称为信息。称为信息。信号的概念信号的概念信号信号 是信息的载体，通过信号传递信息是信息的载体，通过信号传递信息。信息信息 则是信号的具体内容。则是信号的具体内容。描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数（）表示为时间的函数（2）信号的波形表示）信号的波形表示信号的分类信号的分类信号处理及其目的信号处理及其目的信号处理信号处理对信号进行对信号进行提取、变换、分析和和综合等处理过程的统称。等处理过程的统称。信号处理的目的信号处理的
18、目的去伪存真特征抽取编码解码去除信号中去除信号中冗余的和的和次要的成分，包括不仅的成分，包括不仅没有任何意义反而会带来干扰的噪音。没有任何意义反而会带来干扰的噪音。把信号变成易于进行把信号变成易于进行分析和和识别的形式。的形式。把信号变成易于把信号变成易于传输、交换与与存储的形式（编码）的形式（编码），或从编码信号中恢复出原始信号（解码）。，或从编码信号中恢复出原始信号（解码）。数字信号处理的步骤数字信号处理的步骤模数转换ADC数字信号处理DSP数模转换DAC自变量(时间)和幅值同时离散化变换域分析、数字滤波、识别、合成数字信号还原为模拟信号保证信息不丢失的理论基础是：采样定理信号的运算信号的运算信号的相加、信号的相加、信号的相乘、信号的相乘、信号的反褶（折）、信号的反褶（折）、信号的移位、信号的移位、信号的尺度变换（压缩与扩展）（倍乘）、信号的尺度变换（压缩与扩展）（倍乘）、信号的微分、信号的微分、信号的积分信号的积分图形变换的过程为：先反折、尺度变换、时移图形变换的过程为：先反折、尺度变换、时移信号的分解信号的分解直流与交流分量、直流与交流分量、偶分量与奇分量偶分量与奇分量、脉冲分量脉冲分量、实实部分量与虚部分量、部分量与虚部分量、信号处理原理作业信号处理原理作业-1
