《高中全程复习方略配套课件4.4平面微量的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中全程复习方略配套课件4.4平面微量的应用（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节平面向量的应用第四节平面向量的应用三年三年1212考考 高考指数高考指数: : 1.1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. .2.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. .1.1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点也是热点. .2.2.以向量为工具解决平面几何问题是难点以向量为工具解决平面几何问题是难点. .3.3.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三大题型均可能出现，客观题主要考查向量
2、的基础知识，与三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档偏上偏上. .1.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用(1)(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题度、夹角等问题. .(2)(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧用向量解决常见平面几何问题的技巧线平行、点共线、相似问题线平行、点共线、相似问题利用共线向量定理：利用共线向量定理
3、：ab_a= =b( (b0) )垂直问题垂直问题利用数量积的运算性质：利用数量积的运算性质：a、b为非零向量为非零向量, ,ab_. .夹角问题夹角问题利用夹角公式：利用夹角公式：coscos=_(=_(为为a、b的夹角的夹角) )距离问题距离问题设设M(xM(x0 0,y,y0 0) )是平面上的一定点，它到直线是平面上的一定点，它到直线l：Ax+By+CAx+By+C=0=0的距离的距离为为d=_.d=_.ab=0=0(3)(3)用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”平面几何问题平面几何问题 向量问题向量问题 解决向量问题解决向量问题 解决几何问题解决几
4、何问题设向量设向量 运算运算 还原还原【即时应用即时应用】判断下列命题的正误判断下列命题的正误.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”) )若若 则三点则三点A A、B B、C C共线共线. ( ). ( )在在ABCABC中，若中，若 则则ABCABC为钝角三角形为钝角三角形. ( ). ( )在四边形在四边形ABCDABCD中，边中，边ABAB与与CDCD为对边，若为对边，若 则此四边形则此四边形为平行四边形为平行四边形. ( ). ( )【解析解析】因因 共始点共始点A A，且，且 故故正确；正确； B B为锐角，不能判断为锐角，不能判断ABCABC的形的形状，故状，故不正确；不
5、正确； 故故正确正确. .答案：答案：2.2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用(1)(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决. .(2)(2)物理学中的功是一个标量，是力物理学中的功是一个标量，是力F与位移与位移s的数量积的数量积. .即即W=W=Fs=|=|F|s|cos|cos(为为F与与s的夹角的夹角).).【即时应用即时应用】(1)(1)已知两个力已知两个力F1、F2的夹角为的夹角为9090，它们的合力，它们的
6、合力F的大小为的大小为10N10N，合力与，合力与F1的夹角为的夹角为6060, ,那么那么F1的大小为的大小为_._.(2)(2)已知已知a=(=(cosx,sinx),cosx,sinx),b=(=(cosx,-sinxcosx,-sinx),),则函数则函数y=y=ab的最小正周的最小正周期为期为_._.(3)(3)如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_N_N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为_._.【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示. .| |F1|=|=|F|co
7、s60|cos60=10=10 =5(N). =5(N).(2)y=(2)y=ab= =coscos2 2x-sinx-sin2 2x x= =cos2xcos2x, ,(3)(3)F1=(2,3),=(2,3),F2=(3,1)=(3,1)，合力合力F= =F1+ +F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),=(2,3)+(3,1)=(5,4),合力的大小为合力的大小为答案：答案：(1)5N(1)5N(2)(2)(3)(3)(5,4)(5,4)向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用【方法点睛方法点睛】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用
8、平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用| |a| |可以求线可以求线段的长度，利用段的长度，利用 (为为a与与b的夹角的夹角) )可以求角，利可以求角，利用用ab=0=0可以证明垂直，利用可以证明垂直，利用a= =b( (b0) )可以判定平行等可以判定平行等. .【提醒提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量并不能说明直线如：向量并不能说明直线ABABCDCD. . 【例例1 1】(2011(2011天津高考天津高考) )已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC, ,ADC=ADC=9090,AD,
9、AD= =2,BC2,BC=1,P=1,P是腰是腰DCDC上的动点，则上的动点，则 的最的最小值为小值为_._.【解题指南解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点表示出点P P、C C、B B、A A的坐标，进而表示出的坐标，进而表示出 ，然后转，然后转化为函数问题求解化为函数问题求解. .【规范解答规范解答】建立平面直角坐标系如图所示建立平面直角坐标系如图所示. .设设P(0,y),C(0,bP(0,y),C(0,b),),则则B(1,b),A(2,0B(1,b),A(2,0),),则则 =(2,-=(2,-y)+3(1,b-yy
10、)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).)=(5,3b-4y).| | |2 2=25+(3b-4y)=25+(3b-4y)2 2(0yb),(0yb),当当 时，时，| | |最小，最小，| | |minmin=5.=5.答案：答案：5 5【反思反思感悟感悟】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法(1)(1)坐标法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题得到解决. .(2)(2)基向量法基向量
11、法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解关于设定未知量的方程来进行求解. .向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用【方法点睛方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路题思路(1)(1)以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是：以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是：一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然后根据题目已知条件找出等量关系，则得到三角
12、函数的关系然后根据题目已知条件找出等量关系，则得到三角函数的关系式，然后考查化简恒等变形，考查三角函数的图像性质式，然后考查化简恒等变形，考查三角函数的图像性质. .(2)(2)平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是：一般平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是：一般给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模长或者其给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模长或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等数在定义域内的有界性，求得值域等. . 【例例2 2】(1)(1)已知
13、向量已知向量则函数则函数g(xg(x)=|)=|a- -b| |的值域为的值域为_._.(2)(2012(2)(2012临川模拟临川模拟) )在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、b b、c c，向量，向量p=( ),=( ),q=(=(cos2A,2sinAcos2A,2sinA),),且且pq. .求求sinAsinA的值；的值；若若b=b=2,ABC2,ABC的面积为的面积为3 3，求，求a.a.【解题指南解题指南】(1)(1)利用向量的基本运算写出关于利用向量的基本运算写出关于x x的函数，然后的函数，然后求出值域求出值域. .(2)(2
14、)利用利用pq列出关于列出关于sinAsinA的方程；的方程；由由sinA,bsinA,b及及S SABCABC= = bcsinAbcsinA可求出可求出c c，再由余弦定理求，再由余弦定理求a.a.【规范解答规范解答】(1) |(1) |a|=1|=1，| |b|=1|=1，答案：答案：0,20,2(2)(2)pq, cos2A=(1-sinA), cos2A=(1-sinA)2sinA,2sinA,6(1-2sin6(1-2sin2 2A)=7sinA(1-sinA),A)=7sinA(1-sinA),5sin5sin2 2A+7sinA-6=0,A+7sinA-6=0,sinA= .(
15、sinA=-2sinA= .(sinA=-2舍舍) )由由S SABCABC= bcsinA=3,b=2,= bcsinA=3,b=2,得得c=5,c=5,又又aa2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA=4+25-2-2bccosA=4+25-22 25cosA=29-20cosA,5cosA=29-20cosA,当当 时时,a,a2 2=13,a=13,a=当当 时，时，a a2 2=45,a=45,a=【反思反思感悟感悟】1.1.该类题的解题关键该类题的解题关键把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的运算，即该
16、类题的解题关键是运算，即该类题的解题关键是“转化思想方法的应用转化思想方法的应用”. .2.2.向量在该类题中的作用向量在该类题中的作用向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算运算. . 平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中的应用【方法点睛方法点睛】向量在解析几何中的作用向量在解析几何中的作用(1)(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣向量外衣”，导出
17、曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题夹角、轨迹、最值等问题. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用abab= =0,0,aba= =b( (b0),),可解决垂直、可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法. .【例例3 3】已知两点已知两点M(-1,0),N(1,0)M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P P使使成公差非负的等差数列
18、成公差非负的等差数列. .(1)(1)求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程; ;(2)(2)若若为为 与与 的夹角，求的夹角，求的最大值及此时点的最大值及此时点P P的坐标的坐标. .【解题指南解题指南】(1)(1)设设P(x,yP(x,y),),直接求点直接求点P P的轨迹方程的轨迹方程; ;(2)(2)先求出先求出coscos的范围，再求的范围，再求的最大值的最大值. .【规范解答规范解答】(1)(1)设点设点P P坐标为坐标为( (x,yx,y),),则则依题意得依题意得点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=3(x0).=3(x0).(2) =(-1-x,-y)(2
19、) =(-1-x,-y)(1-x,-y)(1-x,-y)=x=x2 2+y+y2 2-1=2,-1=2,的最大值为的最大值为 此时此时x=0,x=0,点点P P的坐标为的坐标为(0,(0, ). ).【反思反思感悟感悟】1.1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算. .2.2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握熟练掌握. .【易错误区易错误区】忽视对直角位置的讨论致误忽视对直角位置的讨论致误【典
20、例典例】(2012(2012烟台模拟烟台模拟) )已知平面上三点已知平面上三点A A、B B、C C， =(2-k,3), =(2,4).=(2-k,3), =(2,4).(1)(1)若三点若三点A A、B B、C C不能构成三角形，求实数不能构成三角形，求实数k k应满足的条件；应满足的条件；(2)(2)若若ABCABC为直角三角形，求为直角三角形，求k k的值的值. .【解题指南解题指南】(1)(1)三点三点A A、B B、C C不能构成三角形，即不能构成三角形，即A A、B B、C C三三点共线点共线. .(2)(2)对对A A、B B、C C谁为直角顶点进行分类讨论谁为直角顶点进行分类
21、讨论. .【规范解答规范解答】(1)(1)由三点由三点A A、B B、C C不能构成三角形，得不能构成三角形，得A A、B B、C C在同一直线上，即向量在同一直线上，即向量 与与 平行，平行， ,4(2-k)-2,4(2-k)-23=0,3=0,解得解得 (2) =(2-k,3),(2) =(2-k,3), =(k-2,-3), =(k-2,-3),ABCABC为直角三角形，为直角三角形，则当则当BACBAC是直角时，是直角时， , ,即即 =0 =0，2k+4=02k+4=0，解得，解得k=-2;k=-2;当当ABCABC是直角时，是直角时， ，即，即 =0 =0，k k2 2-2k-3=
22、0,-2k-3=0,解得解得k=3k=3或或k=-1;k=-1;当当ACBACB是直角时，是直角时， ，即，即 =0 =0，16-2k=016-2k=0，解得，解得k=8.k=8.综上得综上得k k-2,-1,3,8.-2,-1,3,8. 【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误误区区警警示示解答本题易出现以下两个错误：解答本题易出现以下两个错误：(1)(1)由于思维定势误认为第由于思维定势误认为第(2)(2)问中的问中的BACBAC一定是直一定是直角，从而使解答不完整角，从而使解答不完整
23、. .(2)(2)混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误错误. . 备备考考建建议议建议在学习平面向量的应用时，要高度关注以下两点：建议在学习平面向量的应用时，要高度关注以下两点：(1)(1)加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考虑问题要全面去思考问题，考虑问题要全面. .(2)(2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等的坐标运算等. . 1.(20121.(2012豫南四校联考豫南四校联考) )已知已知ABDABD是
24、等边三角形，且是等边三角形，且 那么四边形那么四边形ABCDABCD的面积为的面积为( )( )【解析解析】选选B.B.如图所示，如图所示，解之得解之得又又S S四边形四边形ABCDABCD= =S SABDABD+S+SBCDBCD= = 故选故选B.B.2.(20122.(2012衡阳模拟衡阳模拟) )如图，已知如图，已知点点P P是圆是圆C C：x x2 2+(y+(y- )- )2 2=1=1上的一上的一个动点，点个动点，点Q Q是直线是直线l:x-y:x-y=0=0上的上的一个动点，一个动点，O O为坐标原点，则向量为坐标原点，则向量 在向量在向量 上的投影的最大值上的投影的最大值是
25、是( )( )【解析解析】选选A.A.设点设点P P在在OQOQ上的投影为点上的投影为点N N，则，则PNOQPNOQ，设直线，设直线PNPN交交y y轴于轴于M(0,yM(0,yM M),),lPNPN:x+y:x+y=n,=n,当向量当向量 在在 上的投影最大上的投影最大时，时，lPNPN为圆为圆C C的一条切线，所以的一条切线，所以 解得解得 或或 ( (舍去舍去) )，则，则lPNPN:x+y:x+y= ,= ,y yM M= ,|ON|= ,|ON|=y yM Mcos45cos45=3=3，故选，故选A.A.3.(20123.(2012北京模拟北京模拟) )在在ABCABC中，中， (1)(1)求求ABCABC的边的边ABAB的长的长; ;(2)(2)求求 的值的值. .【解析解析】bb2 2+c+c2 2-a-a2 2=2,a=2,a2 2+c+c2 2-b-b2 2=6=6 c c2 2=4=4 c=2,c=2,即即AB=2.AB=2.acosB=3bcosA,acosB=3bcosA,sinAcosB=3sinBcosA.sinAcosB=3sinBcosA.
