九年级二模数学汇编：方程与不等式

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1、初三二模数学汇编：方程与不等式一 .选 择 题 （ 共 6 小题）1. （ 2 02 1丰台区二模）若 a b ,则下列不等式一定成立的是（ ）A . a+3b+3 B . - 2a - 2b C .且 上 D . cr - 1的 是 （ ）A . 2x2B . - 2x - 2C . 2x - 2D . - 2x24 . （ 2 02 1房山区二模）方程组! -了= 5 的 解 为 （ ）12x b =1A. 卜 =2 B,b = 2 c fx=-3 口 .卜 YI y=3 ly=-3 I y=2 ly=-25 . （ 2 02 1门头沟区二模）方程组 x -l 的 解 为 （ ）Ix-y=

2、3A h = 4 f x=3 /x=2 fx=-2I y=l ly=-2 ly = -l I y=l6 . （ 2 02 1顺义区二模）某厂家2 02 1年 1 - 5 月份的产量如图所示.下面有三个推断: 从 1月份到5 月份产量在逐月增长；1 月份到2月份产量的增长率是6 0% ；若设从 3月份到5月份产量的平均月增长率为x ,则可列方程为2 2 0 （ 1+ x） 2 = 4 8 0.所有正确的推断是（ ）A. B. C. D. 二 . 填 空 题 （ 共 4 小题）7 . （ 2 02 1丰台区二模）随着5 G 网络技术的发展，市场对5 G 产品的需求越来越大.为满足市场需求，某大型5

3、 G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度.现在平均每天比更新技术前多生产3 0万件产品，现在生产5 00万件产品所需的时间与更新技术前生产4 00万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产x 万件，依据题意列出关于x 的方程.8 . （ 2 02 1海淀区二模） 孙子算经是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“ 鸡兔同笼， ， “ 物不知数， ， 等许多有趣的数学问题. 孙子算经中记载：“ 今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”其译文为：“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4 .5 尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x

4、尺，绳子长y 尺，可列方程组为.猱子算.2x-l12 . （ 2 02 1顺义区二模）解不等式组： 产 x .xlC213 . （ 2 02 1海淀区二模）关于x 的一元二次方程A2 - z x+ 2 ? - 4 = 0.（ 1）求证：方程总有两个实数根；（ 2 ）若方程有一个根小于1 , 求机的取值范围.1 4 . （ 2 0 2 1 丰台区二模）解不等式组:( 2 x +3 4 x +61 5 . （ 2 0 2 1 北京二模）己知关于x的一元二次方程f -2 x +l - k = 0 有两个不相等的实数根.（ 1 ）求 k 的取值范围；（ 2 ）请你给出一个k 的值，并求出此时方程的根.

5、1 6 . （ 2 0 2 1 北京二模）列 方 程 （ 组）解应用题： 九章算术是中国传统数学最重要的著作 . 其 中 第 七 卷 盈不足记载了一道有趣的数学问题：“ 今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛. 问大、小器各容几何？ ”译文：“ 今有大容器5 个，小容器1 个，总容量为3 斛；大容器1 个，小容器5个，总容量为2 斛. 问大容器、小容器的容量各是多少斛？”（ 注：斛，音 h i i ,是古代的一种容量单位） 5 x -3 2 （ x -3 ）1 7 . （ 2 0 2 1 房山区二模）解不等式组：，3X-2丁（ X1 8 . （ 2 0 2 1 西城区二模）解不等式：三

6、包仝工+工2 31 9 . （ 2 0 2 1 房山区二模）已知关于x的一元二次方程W + （ 加+2 ） x+2m=0.（ 1 ）求证：方程总有两个实数根；（ 2 ）若该方程有一个根大于3, 求 ， 的取值范围.2 0 . （ 2 0 2 1 东城区二模）已知关于x的 一 元 二 次 方 程 （ 加 +1 ） x +1 = 0 （ , * ） ）.（ 1 ）求证：此方程总有实数根；（ 2 ）写出一个修的值，使得此该方程的一个实数根大于1 , 并求此时方程的根.2 1 . （ 2 0 2 1 朝阳区二模）关于x的一元二次方程x2 - （ w +1 ） x+m0.（ 1 ）求证：方程总有两个实数

7、根；（ 2 ）若方程有一个根为负数，求 ， 的取值范围.2 2 . （ 2 0 2 1 西城区二模）已知关于x的 方 程 （ k - 1 ） - 2 x +l = 0 有两个实数根.（ 1 ）求 k 的取值范围；（ 2 ）当火取最大整数时，求此时方程的根.2 3 . （ 2 0 2 1 石景山区二模）已知关于x的一元二次方程f + （ 2 / +1 ）欠+加= 0 有两个不相等的实数根.（ 1 ）求的取值范围；（ 2 ）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的， w的值，并求此时方程的根.2 4 . （ 2 0 2 1 石景山区二模）解不等式工工。 - 1 , 并把它的解集在数轴上表示出来

8、.3-1 -1 - 1 -1 - 1 -i- 1 -1 - 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4x-6 亘2 6 . （ 2 0 2 1 昌平区二模）已知关于x的一元二次方程f - 4 x + a = 0 有两个不相等的实数根.（ 1 ）求 。的取值范围；（ 2 ）请你给出一个符合条件的的值，并求出此时方程的解.2021北京初三二模数学汇编：方程与不等式参考答案选 择 题 （ 共 6 小题）1 .【 分析】根据不等式的性质1判断A选项：根据不等式的性质3 判断8 选项：根据不等式的性质2 判断C 选项；根据有理数的乘方判断D.【 解答解： ： ab,/.+3/?+3,本选项不等式

9、不成立，不符合题意；B 、- 2ab,. . 曳电 ，本选项不等式不成立，不符合题意；4 4D 、当 匕 0 时，a2 b2,本选项不等式不成立，不符合题意；故选：B.【 点评】本题考查的是不等式的性质，不等式的两边同时加上（ 或减去）同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（ 或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（ 或除以）同一个负数，不等号的方向改变.2 .【 分析】根据根的判别式得到 = 2 - 4 x lx l 0 ,然后解关于a 的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断.【 解答】解：根据题意得 = -4 x lx l 0 ,解的“ 2

10、或 a 时，方程有两个不相等的实数根；当 = （ ） 时，方程有两个相等的实数根；当 2 ,不等式的两边同时除以2 得：x l , 即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；B. - 2 x - 2 ,不等式的两边同时除以- 2 得：x l ,即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；C.2x - 2 , 不等式的两边同时除以2 得：x - 1 , 即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；D . - 2 x - 1 , 即该不等式的解集符合题意，故本选项符合题意；故选：D.【 点评】本题考查了解一元一次不等式，熟记不等式的基本性质是解答本题的关键.4 .【 分析】应用加减消元法，求出方

11、程组的解是多少即可.【 解答】解：卜1 2 x +y = l + ，得 3x=6,解得x=2,把 x = 2 代入，得 2 - y = 5 ,解得y = -3 ,故方程组的解为1 x = 2 .| y = - 3故 选 :B.【 点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用.5 .【 分析】方程组利用加减消元法求出解即可.【 解答】解：方 程 组 卜 州 ，l x - y = 3 + 得：2%=4,解 得 :x=2, 得 ：2y= - 2,解得：y= - 1，则方程组的解为, x = 2 .l y=- l故选：c.【 点评】此题考查了解二元一次方程组

12、，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.6. 【 分析】观察图形，由220V240可得出3 月份的产量比2 月份的产量低，推论不正确；利用增长率=2月份的匚惠” 型 产 量x io o % ,可求出1月份到2 月份产量的1月 份 的产量增长率是6 0 % ,推论正确；设从3 月份到5 月份产量的平均月增长率为x , 利用5 月份的产量= 3 月份的产量x（ 1+增长率），可得出关于x 的一元二次方程，推论正确.【 解答】解： ：220 2 x T 【 解答】解：x - l | 解不等式，得 x V l;解不等式，得 x2；二不等式组的解集是x V l.【 点评】本题考查的是解

13、一元一次不等式组，熟知“ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则是解答此题的关键.1 3 . 【 分析】 ( 1 ) 先根据方程有两个相等的实数根列出关于， 的一元二次方程，求出， 的值即可；( 2 ) 利用求根公式得到a =m -2,及 = 2.根据题意得到L 2Vl.即可求得切 0 ,. . . 此方程总有两个实数根.( 2 ) 解：V A= ( w- 4 ) 2 0 ,._ -b V b2-4ac _ m | m-41 x -2a 2 X tn 2 , X 2 = 2 . . 此方程有一个根小于1./. m 2 1 ./ . n ? 3 .【 点评】本题考查的是根的

14、判别式及一元二次方程的解的定义，在 解 答 ( 2 ) 时得到方程的两个根是解题的关键.1 4 . 【 分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.2x+34x+6 【 解答】解：2 x + 5 1,3由得，烂3 ,由得，x 0 ,然后解不等式即可.( 2 )根 据( 1 )中Z的取值范围，任取一 的值，然后解方程即可.【 解答】解：( 1 ) 关于x的一元二次方程W - Z x+ l - k= 0有两个不相等的实数根.； . = ( - 2 ) 2- 4 xlx ( 1 0 ,解得& 0 .( 2 )由( 1 )知，实数k的取值范围为4 0 ,故取k = l ,则;t2- 2 x=

15、0 ,即 x ( % - 2 ) = 0 ,解得，x =0 ,及 =2 .【 点评】本题考查了一元二次方程演+ b x+ c = 0 ( 存0 )根的判别式= 加-4衣：当4 0 ,方程有两个不相等的实数根；当 = ( ) , 方程有两个相等的实数根；当 2 ( x -3 ) 【 解答】解：原不等式组为3X-2 , Z| 24* 解不等式，得 X -1 ,解不等式，得烂2,原不等式组的解集为7 烂2.【 点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则是解答此题的关键.18 .【 分析】不等式去分母，去括

16、号，移项合并，把 x 系数化为1 , 求出解集即可.【 解答】解：去分母，得 3x+3W2x - 2+6x,移项得 3 x -2 x -6 x 0 ,即 K ) , 再利用 当 ) 时，方程有两个实数根唧可证出结论；( 2 ) 利用因式分解法解一元二次方程可得出处=-2 , 及 = - ， ，结合该方程有一个根大于3 可得出- 机 3 , 解之即可得出， 的取值范围.【 解答】 ( 1 ) 证明：；a = l, bm+2, c=2m,./= b2 - 4ac (m+2) 2 - 4xlx2mm2+4m+4 - 8m=m2 - 4m+4 (m - 2) 2.无论相取何值时， (m - 2) 2

17、0 ,即K ) ,. 原方程总有两个实数根.( 2 ) 解：*.*x2+ (m+2) x+ 2m = 0,即 (x+2) (x+m) =0,. . 为 = - 2, X2= - tn.；该方程有一个根大于3,- m3,.m1,解之可得出0 相 0 ,/ . A 0 , 此方程总有实数根；( 2 ) 解：V/ 7 7 X2 - ( w+ 1 ) x+ l= 0 ,/. (mx - 1 ) ( x - 1 ) = 0 ,/ . X |= , X 2 = l .m又, 该方程的一个实数根大于1 ,. 1 ,m. . 当机= 工时，该方程的一个实数根大于1 , 此时方程的解为X |= 2 = 2 ,

18、X 2 = l.2m【 点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是： ( 1 ) 牢记“ 当X ) 时，方程有实数根“ ； ( 2 ) 利用因式分解法求出方程的解.21.【 分析】 ( 1 ) 根据方程的系数，结合根的判别式可得出4 = ( 根- 1 ) 2 , 利用偶次方的非负性可得出( w- 1 ) 2 0 , 即 2 0 , 再利用“ 当可时, 方程有两个实数根” 即可证出结论；( 2 ) 利用因式分解法解一元二次方程可得出为=% ,及 = 1 , 结合方程有一个根为负数，即可得出机的取值范围.【 解答】( 1 )证明：a=, b= - ( w+

19、 1 ) , c=m,4 a c = - (m+1 ) 2 - 4 xlx/ n = m2+ 2 / n + l - 4m=nr - 2 / n + l = (m - 1 ) 2. : ( m- 1 ) 2 0 ,即K ) ,. 方程总有两个实数根.( 2 )解：Vx2 - ( m+ 1 ) x+m=O,即( x - m) ( x - 1 ) = 0 ,/ X i m X2 方程有一个根为负数，【 点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：( 1 )牢记“ 当K ) 时，方程有两个实数根“ ；( 2 )利用因式分解法求出方程的解.2 2 .【 分析】

20、( 1 )根据二次项系数非零及根的判别式 K ) , 即可得出关于4的一元一次不等式组，解之即可得出上的取值范围.( 2 )由( 1 )中 上的取值范围得出符合条件的人的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值.【 解答】解：( 1 ) 关于x的 方 程( A - 1 ) f - 2 x+ l= 0有两个实数根，k- lT t O*L ( - 2 )2- 4 ( k- l) X l o 解得：依2且 以1 .( 2 )当 &= 2 时，方程为：X2 - 2 x+ l = 0 ,即( X - 1 ) 2= 0 ,解得：X | = J C 2 = 1 .【 点评】本题考查了一元二次方程

21、 / z v+ c u O ( 存0 )的根的判别式 = /-4 a c ：当 0 ,方程有两个不相等的实数根；当 = ( ) , 方程有两个相等的实数根；当 ( ) , 列出不等式，即可求出， 的 取值范围.( 2 )根据方程的两个根都是整数，确定出?的值，经检验即可得到满足题意的 ， 的值，并求出方程的根( 答案不唯一) .【 解答】解：(1) . 关于x 的一元二次方程+ (2?+1) x+ ， 2=0有两个不相等的实数根，/. (2m+1) 2 - 4m20,解得：.4( 2 ) 利用求根公式表示出方程的解为 =乡 二 生 硬 1 ,2 . 方程的解为整数，：.4m+为完全平方数，则当

22、小的值为0B寸 ，方程为：x2+x=0,解得：Xl=o, X2= - 1 ( 不唯一 ) .【 点评】本题考查了一元二次方程以( # 0 )的根的判别式= 5 - 4 砒：当 0 , 方程有两个不相等的实数根；当 = ( ) , 方程有两个相等的实数根；当l.将解集表示在数轴上如下：1 1 -L 工 L A 工 I-A- 4- 3- 2- 101234【 点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.25 .【 分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

23、找不到确定不等式组的解集.【 解答】解：解不等式4 x -6 2 x ,得：x 1 ,5 3 2则不等式组的解集为3 V x 1 0 1 3 2 V2【 点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则是解答此题的关键.2 6 . 【 分析】 ( 1 ) 根据判别式的意义得到= 4 2 -4 x lx q 0 ,然后解不等式即可.( 2 ) 根 据 ( 1 ) 中 。的取值范围，任取一 a 的值，然后解方程即可.【 解答】解： ( 1) 关于x 的一元二次方程-4x+a=0有两个不相等的实数根.=42 - 4xxa0,解得a 4.( 2 ) 由 ( I ) 知，实数a 的取值范围为a 0 , 方程有两个不相等的实数根：当 = ( ) , 方程有两个相等的实数根；当 ( ) , 方程没有实数根.