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1、2022年中考数学压轴题1.在平面直角坐标系中，抛物线y= - 7 +fet +c经过点A、B 、C ,已知A ( - 1, 0 ), C (0 ,3 ).(1)求抛物线的解析式;(2)如 图1, P为线段8 c上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点 ,当A C D P为等腰三角形时，求点P的坐标；(3 )如图2 ,抛物线的顶点为E , 轴于点F , N是直线E F上一动点，M (/, 0 )式得，. (1 b + c = 0* * 1c = 3解得 b= 2, c= 3 .故该抛物线解析式为：y= - ?+2x +3 .(2)令- / +2x +3 = 0 ,解得 x i = - 1,
2、X2= 3 ,即 B (3 , 0 ),设直线8 c的解析式为y = + b ,则露k d解得：KJ故直线8 C的解析式为y = - x +3 ；. . . 设 P (6 3 - r),第1页 共1 7页： . D (t, - P+2f+3 ),:. PD = ( - P+2f+3 ) - (3 - r) = - P+3 f, ： 0 B =0 C =3,. . 80 C是等腰直角三角形，NOC B = 4 5 ,当 C Q = PC 时，则NC PO= NC Q P, 轴，. . / C PO= NOC B = 4 5 ,ZC D P=45 ,A Z PC D = 9 0 ,直线8的解析式为
3、y= x +3 ,解忧:L + 3得 屋 或O： . D (1, 4 ),此时 P (1, 2)；当 C D = P。时，则 N C P= NC P = 4 5 ,： . ZC D P=90a ,. Q x 轴，. . . O点的纵坐标为3 ,代入 y- - 7 +2x +3 得，3 = - f+2x +3 ,解得x = 0或x = 2,此时 P (2, 1)；当 PC = P。时， ： PC = V 2f,. / 2 t= - ?+3 r,解得 f= 0 或 t3- y/ 2 ,此时 P (3 - V 2, V 2)；综上，当 )尸为等腰三角形时，点P的坐标为(1, 2 )或(2, 1)或(
4、3 - V 2, V 2).(3 ) C N+M N+JwB的最小值为包三短，N坐 标 为(1, 3 - V 3 ), M坐 标 为 (百 ，0 ).2 2理由如下:第2页 共1 7页如图，取 G 点坐标为(0, - V 3 ) ,连接BG,:B (3, 0),直线BG解析式为：y = - x -，tan/G 3O =空 ，： .ZGBO30 ,1过 M 点作 MB _LBG, ：.BM =BM ,1CN+MN+ 考MB= CN+MN+B M,；.CN+用取最小值时，C、M、N、B 在同一条直线上,即 CB BG,设直线C B 解析式为y =+ VC (0, 3)故直线C 8 解析式为为y =
5、 - E x + 3,抛物线的顶点为E 坐 标 为(1, 4), E F x , N在EF、C B 上，.N坐 标 为(1, 3-V3),M (m, 0 ) 是 x 轴一个动点，也是C 8 与x 轴交点，：.M (V3, 0).VCG=3+V3, ZCGB=60 ,：.CB =CGsinNCGB= (3+V3) x = 件 ，综上所述： CN+MN+MB的最小值为3 8 + 3 , N 坐标为(1, 3-V3), M 坐标为(百， 0).2 2图2第3页 共1 7页图12 .如图，抛物线- 3 or - 2交无轴于A、8 (4左8右 )两 点 ，交y轴于点C ,过C作C )x轴，交抛物线于点。
6、，E ( - 2, 3 )在抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)户为第一象限抛物线上一点，过点P作PF L C Z ),垂足为F ,连接P E交y轴于G ,求证：FG/ / D E；(3 )如图2 ,在(2)的条件下，过点尸作尸M _ L PE于M.若NOFM=45 ,求P点坐解：(1) ( - 2 , 3 )在抛物线 y= o? - 3ax- 2 ./ . 4a+6a - 2 31解得：抛物线解析式为尸 # 一 fx - 2(2)证明：, ； =32- ?% - 2= 0 时，解得：x i = - 1, & = 4( - 1, 0 ), B (4 , 0 )V x 0 时，y= a/-
7、2 x - 2- - 2第4页 共1 7页,.C (0, - 2). 点 。在抛物线上，且Cx轴.D (3, - 2)设直线D E解析式为y=kx+b 3纪 葭 一 ：解得：酎；1(2k + 0 = 3 3 = 1直线。E： y = - x+ 点P为第一象限抛物线上一点, 设点 P坐标为 6 -1 ? - |Wr - 2 ) (z4)设直线P E解析式为y=cx+d(-2 c + d = 3jet + d = 2 - 2 t - 2( t5解得：C = = t 2, 直线PE：产 爰x + f - 2 ,直线P E与y轴交点G (0, f- 2 )PFJ_C。于 点 /：.F (/, - 2)
8、设直线F G解析式为y= ex+ t- 2把点尸代入得：te + t-2 = -2解得：e ：.FG /D E( 3 )延 长 /0、P E相交于点N ,过点M作M G ,尸尸于点G ,过点N作NH_LPM交PM的延长线于点” ,./F G M = NMHN=90 : FM LPE 于 M:/F M N = 90：. Z FMG+ ZNM H= ZMNH+ ANM H= 90 I. NFMG= /M N HVZOFA7=45 N M N F =，80 - NFMN - ZOFM=45:FM=MN第5页 共1 7页在bGM与中2FGM = 4 MHN乙 FMG =乙 MNHFM = MN：4FG
9、M Q/M HN (A4S):FG=MH, MG=NHVF (r, -2 )/ - 直线 OF： y= y-x . 点M 在直线PE： y= 苧 x+r - 2 上t 5 设 M Cm, -m+t - 2)2.MGt - m, FG= - 2 - ( - 2) =2y = px 二y =：.N (t 5 + - 22t(2-t)解得:4(t-2)(t 1)( 4) (t l)(t 4)y =)2t(2 - 1)(t-l)(t-4 )4(t-2)Q T )O 4 ). a.” _ 2t(2 t) xrrr t- 5 。 4(t 2)Qn) ，NH= m+t (t_ i)(t_4)(-5 2t(2
10、- t), t-5 , , r 4(t-2)1一 = 丁 + 1 _ 2 - ( . ； )(.4)解得:ti = 612亡2 = - 12 (舍去)血1 =可 四2 = 一51 3AyP= x 3 6 - x 6 -2 = 7 点P 坐 标 为 （ 6, 7）第6页 共1 7页3 . 如 图 ( 1 ) ,在平面直角坐标系x。 )， 中，直线y=2x+4与)， 轴交于点A , 与 x 轴交于点B,抛物线。：y = -# + b x + c 过 A, B 两点，与 x 轴的另一交点为点C.( 1 ) 求抛物线C i的解析式及点C的坐标：(2 ) 如 图 ( 2 ) , 作抛物线C 2,使得抛物
11、线C2与 。 恰好关于原点对称，C2与 C i在第一象限内交于点 。，连接A。，C D ,请直接写出抛物线C2的解析式和点D的坐标求四边形AOCQ的面积；( 3 ) 已知抛物线C2的顶点为M ,设 P 为抛物线C i对称轴上一点，。为直线y=2x+4上一点，是否存在以点M, Q ，P, 8 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由.解： (1) I , 直线y=2x+4与 y 轴交于点A , 与 x 轴交于点8 , 二A (0, 4), 8 ( - 2 , 0), , 抛物线 C： y= 过 A, B 两点，： . c=4, 0= - J x ( - 2)
12、 2 - 26+4,解得 b= I抛物线C l的解析式为：尸 - + |x + 4令 y = 0 ,得一/+ |* + 4 = 0 ,解得x i= -2 , X2=8： . C (8, 0)；(2 ) . 抛物线C2与C i恰好关于原点对称，抛物线C2的 解 析 式 为 尸 + /- 4,y = - -yx2 + 4 + 4解方程组+ 加 1 - -4 (x2 - 4= -6 y2 = 6第7页 共1 7页 . 点。在第一象限内，（ 4 , 6 ） ；如图 2 ,过 。作 轴于 E,贝 1 。 =4 , CE=O C-0E=8 - 4 = 4 , D E=6,S 四 边 形 4 0 c )=
13、S 梯 形 AOEO+SACQE1 1= * (O4 +OE ) X O E + *E X C E1 i(4 +6 ) X 4+ /6X 4= 3 2 ；（ 3 ）存在.过 8 作 B N y轴，过 M作 MN 元轴与8 N 交于点N,I 抛物线C2的解析式为产 # + 及 - 4 = .（ % + 3 ）2-苧 ， ， 顶点M （ - 3,竽 ） ,:邱 =q2s, MN=1 ,抛物线C i 的对称轴为：直线x =3,设 P （ 3 , 机） 以 点 M , Q, P, B为顶点的四边形为平行四边形，若 MQ为对角线，贝B M= P Q25 Q （ 4 ,又, ： Q为直线y= 2x +4
14、上一点，= 2X4 +4 , ）W 得：机= 才23 P （ 3 , 一 ） ；4 若 8 M为对角线，设 P （ 3 , m ） ，Q （ % 2/ 7 +4 ） ,第 8 页 共 0页中点坐标为(2，fn 4- 3 = - 5 + 2n + 4 =一彳2 5 ,解得23，P (3 ,)，423机 =彳,n = -8若 B。为对角线，,:BM/PQ, BM=PQ, ：.Q (2, 8 ) ,设 P ( 3 ,m),C7则 加一彳=8+0,解得：m=彳57.P ( 3 , )4综上所述，存在以点M, Q, P, 8为顶点的四边形为平行四边形，点尸的坐标为尸(3,3 .如图，在Rt/XABC中，
15、ZACB=90 ,。为AB边上的一点，以AO为直径的。交8c于点E ,交AC于点R过点C作CGLA3交A3于点G ,交AE于 点 、H ,过点上的弦“交AB于点Q (EP不是直径)，点 。为弦EP的中点，连结5P, 8尸恰好为O O的切线.(1 )求证：8 c是O O的切线.(2 )求证：EF = ED.3(3 )若sin/ABCg, AC= 1 5 ,求四边形CHQE的面积.第9页 共1 7页( 1 )证明：连接OE, OP,A O为直径，点。为弦EP的中点，：.P E LA B ,点Q为弦的中点，：.AB垂直平分EP,:PB=BE,*：OE=OP, OB=OB,:ABEO % ABPO (
16、SSS), NBEO=NBPO, 8P为。的切线，/. ZBPO=90 ,A ZBEO=90Q ,：.OELBC, 8C是。的切线.( 2 )证明：u： ZBEO=ZACB=90 ,：.AC/OEf：.ZCAE=ZOEA,* ：OA = OE, ZEAO=ZAEO,：.ZCAE=ZEAO,：.EF = ED.( 3 )解：A。为的O。直径，点。为弦EP的中点,：.EPLAB,VCGAB,第1 0页 共1 7页:.CG/EP,V ZACB=ZBEO=90 ,：.AC/OE,：. ZCAE= NAEO, ：OA = OE,：.ZEAQ=ZAEO,：.ZCAE=ZEAO,V ZACE= ZAQE=9
17、0 , AE=AE,：./ACEAQE (AAS),：.CE=QE,V ZAEC+ZCAE= ZEAQ+ZAHG=90 ,：./CEH=4AHG, 4AHG= /CHE,：.ZCHE=ZCEHf:.CH=CE,:CH=EQ, 四边形CHQE是平行四边形，,: CH=CE, 四边形CHQE是菱形，AG 3V sin X ABC= sin NACG= - - = 一,AC 5VAC=15, AG=9,：.CG= yjAC2-A G2 =12,/ AACEAAQE,：.AQ=AC=5,：.QG=6,SHHC+QG1,:.H d = (12-/7Q) 2+62,解 得 : “ 。 = 苧 ，第1 1页
18、 共1 7页：.CH=HQ=,:.四边形CHQE的面积= C 4 GQ=竽x6=45.4 .如图，ABC中，A H = A C ,是4 8 C的外接圆，8。的延长线交边AC于点.( 1 )求证：NBAC=2NABD；( 2 )当SCO是等腰三角形时，求/8 C O的大小；( 3 )当AO=2, C)=3时，求边BC的长.( 1 )证明：连接OA.图1；AB=AC,：.AB =AC,：.OABC,.ZBAO=ZCAO,：OA=OB,第1 2页 共1 7页/ABD=/BAO,：.ZBAC=2ZABD.( 2 ) 解：如图2 中，延长4。交8 c 于” .若 BD=CB,则NC=N8OC=NA8O+
19、NBAC=3NAB。 ,U：AB=AC,：. ZABC=ZC,：. ZDBC=2/ABD,V ZDBC+ZC+ZBDC= 180 , 8NA3Z)=180 ,：.ZC=3ZABD=61.5 .若 CD=CB,则NC8O=NCOB=3NA8O,ZC=4ZABDfV ZDBC+ZC+ZCDB=180 ,：.10ZABD=lS0 ,A ZBCD=4ZABD=72 .若O 8=D C ,则。与A重合，这种情形不存在.综上所述，N C 的值为67.5或72 ( 3 ) 如图3 中，作AE3 c 交 的 延 长 线 于 第1 3页 共1 7页e图3AE AD 2则= =BC DC 3力 O 4E 4/ .
20、 = = 一 ，设 0 8 = 0 4 = 4。 ，0H=3a,OH BH 3：BH2=AB2 - AH2 = OB2 - 0岛 25 -49。2=16。2 -9。2,- 2_25 F4: .BC=2BH=华.6 .已知，如图：/XABC是等腰直角三角形，Z ABC=90 ,连接AO、B D ,过 。作 。H_LAB,垂足为，交AC于E.( 1 )若A8。是等边三角形，求O E的长；2( 2 )若 且 tan/H )B=W，求 OE 的长.7【 解答】解：(1);AB。是等边三角形，A8=10,A ZADB=60 , AD=AB=1Of*：DHAB,1：.AH=AB=5,：.DH= JAD2
21、- AH2 = V102 - 52 = 5百 ，.ABC是等腰直角三角形，第14页 共17页A B = 1 0 ,。为ABC 外一点,： .ZCAB=45 ,即NAE4=45 ,.AEH是等腰直角三角形，： .EH=AH=5,： . D E = D H - E H = 5V3- 5；(2) 且 tan/HOB=可设 BH =3k,则 。” =4%,根据勾股定理得：DB=5k, ： B D = A B = W ,.52= 10 解得：k=2,： .DH=S, BH=6, AH=4,又, ； E H = A H = 4 ,： . D E = D H - EH=4.7 .如图，已知。是43C的外接圆
22、，A8是 的 直 径 ，。是AB延长线上的一点，AELDC交 。C的延长线于E ,交。于点F ,且 我 = 存( 1 )试判断OE与0。的位置关系并加以证明；( 2 )若BC = |, A E = 4 ,求N8CO的正切值.【 解答】( 1 )力是。O的 切 线( 1分)第 1 5 页 共 1 7 页证明：连接0C （ 如图）BC = CF, ； .N1 = N2 （ 2 分）:。是4BC的外接圆. . . 点C在圆上：.OC=OA； .N 3=N 2：.OC/AE （ 3 分）.AE1.DE, ：. ZAED=90A ZOC=90J.OCLDC, B |J OC1DE.OE是。O的 切 线（
23、 4分）（ 2）解：在ACE 中，由（ 1） 1 OC/AE. OC DOAE - D A设 OC=fVBD = 1 , AE = 4t |+ t3整理，得 6p-7f-20=0q 4解得ti = 2 ，t2 = - 3经检验九 ，尬均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值.得0C = | （ 5 分）：.AB=5,：DC切。O于点C, DBA是 的 割 线：.DC2 = DB - DA = l（ + 5）1 o； .OC = 学（ 6 分）: NBCD=N2, / 是公共角,第 1 6 页 共 1 7 页：.4DBCS/DCABC DBAC DC51告 =j （ 7分）3由已知AB是o o的直径：. ZACB=90 , tan2 = =1AtanZ-BCD = tanz.2 = q（ 8 分）第1 7页 共1 7页
