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1、1.11 连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性四则运算的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性小结小结 思考题思考题 作业作业初等函数的连续性初等函数的连续性第一章第一章 函数与极限函数与极限1定理定理1 1如如, ,则则由于由于一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性 也在点也在点 x0连续连续; 在其定义域内连续在其定义域内连续.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 在点在点 x0连续连续; 在点在点 x0连续连续.2如如, 结论结论: : 反三角函数在其反三角函数在其定义域定义域内皆连续内皆连续定理定
2、理2 2故故同理同理,二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性单调增加单调增加且连续且连续,单调的连续函数单调的连续函数必有单调的连续反函数必有单调的连续反函数. .连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性也是单调增加且连续也是单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连续.单调增加且连续单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连续.3此定理对计算某些极限是很方便的此定理对计算某些极限是很方便的.定理定理3 3 设函数设函数是由函数是由函数复合而成复合而成,而函数而函数连续连续,则则连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性)(xgf
3、y = =)(ufy = =)(xgu = =,)(lim00uxgxx= =若若)(ufy = =0uu = =在在).(0uf= =4例例解解 由由所以所以定理定理3 3则有则有.sine= =5定理定理4 4设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,若函数若函数连续连续,而函数而函数连续连续, 则复合而成则复合而成也连续也连续.是由连续函数是由连续函数因此因此复合而成复合而成 例例连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性)(xgfy = =)(ufy = =)(xgu= =0)(xxxgu= = =在在,)(00uxg= =且且0)(uuufy=
4、= =在在)(xgfy = =0xx= =在点在点6三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数(1)(2)(3)是连续的是连续的;三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性单调且连续单调且连续;指数函数指数函数对数函数对数函数单调且连续单调且连续;(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )(4) 幂函数幂函数连续连续;在它们的定义域内在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性7定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连
5、续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间定义区间内内连续连续1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 如如, ,这些这些孤立点的邻域内没有定义孤立点的邻域内没有定义.注注在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性8例例例例解解解解2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法注注代入法代入法. .连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性9v 利用连续性求极限练习 练习练习 练习练习 解 解 10
6、 求解解: :原式原式连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性11连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性解解 2002年考研数学三年考研数学三, 填空题填空题, 3分分12x = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,例 讨论函数解解为间断点为间断点13例 确定函数间断点的类型间断点的类型.解解: 间断点间断点为无穷间断点为无穷间断点;故故为跳跃间断点为跳跃间断点. 14四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性;复合函数的
7、连续性复合函数的连续性:初等函数的连续性初等函数的连续性:求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性;定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性15思考题思考题1连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性如果函数如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点至少有一个在点x0不不那么那么, f (x) + g(x)在该点是否连续在该点是否连续?连续连续,思考题思考题2 (是非题是非题)处有定义处有定义,则则16解答解答连续函数的运算与初等函数的连
8、续性连续函数的运算与初等函数的连续性思考题思考题1如果函数如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点至少有一个在点x0不不那么那么, f (x) + g(x)在该点是否连续在该点是否连续?连续连续,(1) 若两个函数若两个函数 中中只有一个在点只有一个在点x0不连续不连续,则则f (x) + g(x)在点在点x0必不连续必不连续. 用反证法证之用反证法证之:不妨设在点不妨设在点x0, 并假设并假设 f (x) + g(x)在点在点x0连续连续, 则由连续函数的运算性则由连续函数的运算性质有质有:在点在点x0连续连续,与已知矛盾与已知矛盾. 故故 f (x) + g(x)在点在点x0不连续不连
9、续. f (x)连续连续, g(x)不连续不连续;17解答解答连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性思考题思考题1如果函数如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点至少有一个在点x0不连续不连续,(2) 若若f (x)、g(x)在点在点x0均不连续均不连续,则则 在在f (x) + g(x)在点在点x0可能连续可能连续,那么那么, f (x) + g(x)在该点是否连续在该点是否连续?也可能不连续也可能不连续.如如:在在 x = 0处均不连续处均不连续,在在 x = 0处处在在 x = 0处连续处连续.在在 x = 0处均不连续处均不连续,在在 x = 0处亦不连续
10、处亦不连续.18思考题思考题2 (是非题是非题)处有定义处有定义,则则连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性非非故故但但19连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性思考题思考题2 (是非题是非题)处有定义处有定义,则则所以所以,不存在不存在.故故正确的说法是正确的说法是: 在点在点x0连续连续,处亦连续处亦连续,则则20思考题 设设均在均在上连续上连续, ,证明函数证明函数也在也在上连续上连续. .证证: :根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则 , , 可知可知也在也在上上连续连续 . .连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性21
