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1、第三节平面向量的数量积 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用三年三年2727考考 高考指数高考指数:1.1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.4.能运用数量积表示两个向量的夹角能运用数量积表示两个向量的夹角. . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用1.1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主
2、要考查应用数平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点；量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点；2.2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主点交汇则以解答题为主. . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积（1 1）数量积的定义：已知两个非零向量）数量积的定义：已知两个非零向量a和和b，它们的夹角为，它们的夹角为，则向量，则向量a与与b的数量积是数量的数量积是数
3、量 ，记作，记作ab，即，即ab= = . .| |a|b|cos|cos| |a|b|cos|cos高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用（2 2）向量的投影）向量的投影设设为为a与与b的夹角，则向量的夹角，则向量a在在b方向上的投影是方向上的投影是 ；向；向量量b在在a方向上的投影是方向上的投影是 . .（3 3）数量积的几何意义：数量积）数量积的几何意义：数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与 的乘积的乘积. . | |a|cos|cos| |b|cos|cosb在在a的方向上的投影的方向上的投影| |b|cos|cos高中全程复习方略配套43平面
4、向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【即时应用】【即时应用】（1 1）已知正三角形）已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，则，则 = = ； 方向上的投影为方向上的投影为 . .（2 2）已知）已知| |a|=1|=1，| |b|=2|=2，ab=1=1，则向量，则向量a、b的夹角的夹角等于等于 . . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【解析】【解析】（1 1） =| | |cosA=11cos60= . =| | |cosA=11cos60= . 方向上的投影为方向上的投影为| |cosA=1cos60= .| |cosA=1cos60= .（2
5、 2）cos= = = ,cos= = = ,又又0180,=60.0180,=60.答案：答案：（1 1） （2 2）60 60 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用2.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量已知非零向量a=(x=(x1 1,y,y1 1) )，b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，为向量为向量a, ,b的夹角的夹角. . 结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示模模数量积数量积夹角夹角x1x2+y1y2=0高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【即时应用】【即时应用】（1
6、 1）思考：若）思考：若ab000 090( 090(ab0 90180)0 900(0(0)是是为锐角（钝角）的必要而不充分条件为锐角（钝角）的必要而不充分条件. . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【例【例3 3】（】（1 1）(2011(2011湖北高考）若向量湖北高考）若向量a=(1,2),=(1,2),b=(1,-1),=(1,-1),则则2 2a+ +b与与a- -b的夹角等于的夹角等于 ( ) ( )（A A）- - （B B） （C C） （D D） （2 2）(2011(2011浙江高考）若平面向量浙江高考）若平面向量 满足满足且以向量且以向
7、量 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为 则则 的夹角的夹角的取值范围是的取值范围是 . . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【解题指南】【解题指南】（1 1）先求出）先求出2 2a+ +b、a- -b的坐标，再用夹角的坐标公的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角式求夹角. .(2)(2)利用平行四边形的面积可得出利用平行四边形的面积可得出sinsin的范围，进而求出夹角的范围，进而求出夹角的范围的范围. .高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选C.2C.2a+ +b=2(1,2)+
8、(1,-1)=(3,3)=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a- -b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，(2(2a+ +b)（a- -b)=30+33=9,)=30+33=9,|2|2a+ +b|=3 ,|=3 ,|a- -b|=3,|=3,cos= ,cos= ,又又0 0，= .= .(2)(2)由由S= sin=| |sin= S= sin=| |sin= 可得，可得，sin= ,sin= ,故故 , , . . 答案：答案： , , 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【反思【反思感悟】感悟】求两个向量的夹
9、角时，需求出两向量的数量积，求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,cos,进而求进而求，要注意，要注意0,0,. . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【满分指导】【满分指导】平面向量主观题的规范解答平面向量主观题的规范解答【典例】（【典例】（1414分）分）(2011(2011陕西高考）叙述并证明余弦定理陕西高考）叙述并证明余弦定理. .【解题指南】【解题指南】利用向量数量积证明，由利用向量数量积证明，由a a2 2= =( )= =( )2 2, ,把把（ ）2
10、2展开利用展开利用 =| | |cosA =| | |cosA代入，即可证明代入，即可证明. . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【规范解答】【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍. .或：在或：在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别为角分别为角A A，B B，C C的对边，有的对边，有a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA,-2bccosA,b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2
11、cacosB,-2cacosB,c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.-2abcosC.6 6分分证明：如图，证明：如图，高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用a a2 2= 10= 10分分= = = -2| | |cosA+ = -2| | |cosA+ =b=b2 2-2bccosA+c-2bccosA+c2 2，即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA，1212分分同理可证同理可证b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB,-2cacosB,c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2ab
12、cosC14-2abcosC14分分 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议： 失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：（1 1）余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，）余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言表述时三个只写一个用符号语言表述时三个只写一个. .(2)(2)用用 证明时计算失误证明时计算失误. . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人
13、教A版数学理)浙江专用备备考考建建议议 解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分造成失分, ,在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：（1 1）公式记错；）公式记错；（2 2）对向量的夹角理解错误；）对向量的夹角理解错误；（3 3）混淆向量平行与垂直的充要条件）混淆向量平行与垂直的充要条件. .另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确解决平面向量的数量积问题正确解决平面向量的数量积问题. . 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用1.(20111.(2011重庆高考重
14、庆高考) )已知向量已知向量a=(1,k),=(1,k),b=(2,2),=(2,2),且且a+ +b与与a共线，共线，那么那么ab的值为的值为( )( )（A A）1 1 （B B）2 2 （C C）3 3 （D D）4 4【解析】【解析】选选D.D.a+ +b=(3,2+k),=(3,2+k),因为因为a+ +b与与a共线，所以共线，所以2+k-3k=0,2+k-3k=0,解得解得k=1,k=1,所以所以ab=12+12=4. =12+12=4. 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用2.(20112.(2011辽宁高考）若辽宁高考）若a, ,b, ,c均为单位
15、向量，且均为单位向量，且ab=0,(=0,(a- -c)()(b- -c)0,)0,则则| |a+ +b- -c| |的最大值为的最大值为( )( )（A A） -1 -1 （B B）1 1（C C） （D D）2 2高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用【解析】【解析】选选B.B.由由( (a- -c)()(b- -c)0,)0,得得ab- -ac- -bc+ +c2 20,0,又又ab=0=0且且a, ,b, ,c均为单位向量，得均为单位向量，得- -ac- -bc-1,-1,| |a+ +b- -c| |2 2=(=(a+ +b- -c) )2 2= =a2
16、2+ +b2 2+ +c2 2+2(+2(ab- -ac- -bc)=3+2(-)=3+2(-ac- -bc)3-)3-2=1,2=1,故故| |a+ +b- -c| |的最大值为的最大值为1. 1. 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用3.(20123.(2012大连模拟）在大连模拟）在ABCABC中，已知中，已知| |=| |=4| |=| |=4，且，且 =8=8，则这个三角形的形状是，则这个三角形的形状是 . .【解析解析】| |=| |= = | |=| |= = = =4= =4，| |=| |=| | |=| |=| |，ABCABC为等边三角形为等边三角形. .答案：答案：等边三角形等边三角形 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用4.(20114.(2011上海高考上海高考) )在正三角形在正三角形ABCABC中，中，D D是是BCBC上的点上的点. .若若AB=3AB=3，BD=1BD=1，则，则 = = . .【解析】【解析】 = .= .答案：答案： 高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用高中全程复习方略配套43平面向量的数量积(人教A版数学理)浙江专用
