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1、多元函数习题课多元函数习题课一一 学习要求学习要求(1) 理解多元函数的概念理解多元函数的概念,理解二元函数的理解二元函数的几何意义几何意义;(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质以及有界闭域上连续函数的性质;多多元元函函数数的的概概念念 极极限限及及连连续续(3) 理解偏导数和全微分的概念理解偏导数和全微分的概念,会求全微会求全微分分,了解全微分存在的必要和充分条件了解全微分存在的必要和充分条件,了了解全微分形式不变性解全微分形式不变性;(4) 掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的求掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的求法法;(5) 会
2、求隐函数的偏导数会求隐函数的偏导数;(6) 掌握高阶偏导数与高阶微分的概念掌握高阶偏导数与高阶微分的概念,掌握二阶偏导数的计算掌握二阶偏导数的计算多多元元函函数数的的偏偏导导数数及及全全微微分分偏偏导导数数的的应应用用(7) 正确理解多元函数极值的概念正确理解多元函数极值的概念,极值存极值存在的必要条件和判断极值的充分条件在的必要条件和判断极值的充分条件;会会求一般函数的极值求一般函数的极值,会利用拉格朗日乘数会利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值法求多元函数的条件极值.(8) 理解二重积分的概念理解二重积分的概念,了解二重积分的了解二重积分的性质性质;(9) 掌握二重积分掌握二重积分(直角
3、坐标直角坐标,极坐标极坐标)的计的计算方法算方法;(10) 了解广义二重积分的概念和计算方了解广义二重积分的概念和计算方法法.多多元元函函数数积积分分学学二、主要内容二、主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的应用经济上的应用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念
4、1.1.区域区域（1）邻域）邻域（3）n维空间维空间（2）区域）区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域2.2.多元函数概念多元函数概念定义3.3.多元函数的极限多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4.4.极限的运算极限的运算5.5.多元函数的连续性多元函数的连续性6.6.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一
5、定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理7.7.偏导数概念偏导数概念. .高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导
6、数统称为高阶偏导数导数. .偏导数在经济上的应用偏导数在经济上的应用:交叉弹性交叉弹性即即10.10.全微分概念全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导11.11.全微分的应用全微分的应用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.12.12.复合函数求导法则复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.13.13.全微分形式不变性全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形
7、式是一样的.隐函数的求导公式隐函数的求导公式14.14.隐函数的求导法则隐函数的求导法则15.15.多元函数的极值多元函数的极值定义定义多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值三、典型例题三、典型例题1 多元函数极限多元函数极限计算多元函数极限的常用方法：计算多元函数极限的常用方法：（1）利用不等式，使用夹挤定理；）利用不等式，使用夹挤定理；（2）利用极坐标或其他变量代换转化成一元函数的）利用极坐
8、标或其他变量代换转化成一元函数的极限；极限；（3）利用各种可利用的一元函数求极限的方法；）利用各种可利用的一元函数求极限的方法；（4）利用函数的连续性；）利用函数的连续性；（5）若事先能看出极限，可利用极限定义证明。）若事先能看出极限，可利用极限定义证明。解解解解例例2 2注意注意：在某些情况下可以利用极坐标求极限在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内但要注意在定义域内 r , 的变化的变化. 解解 （1）例例3 3解解解：解：解解:解题提示解题提示: 在解多元函数问题时在解多元函数问题时,经过换元或其它方法将问题转经过换元或其它方法将问题转化成一个一元问题加以解决化成一个一元
9、问题加以解决,这种多元问题这种多元问题一元化一元化”的思想的思想,在解多元问题时非常重要在解多元问题时非常重要.思考与练习思考与练习解法解法1分析分析:此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此时极限为此时极限为 1 .第二步第二步 未考虑分母变化的所有情况未考虑分母变化的所有情况, 1. 讨论二重极限讨论二重极限时时, 下列算法是否正确下列算法是否正确?解法2 令此法忽略了此法忽略了 的任意性的任意性,极限有可能不存在极限有可能不存在 !分析分析: 1. 讨论二重极限讨论二重极限时时, 下列算法是否正确下列算法是否正确? 解法解法3 令令此法排除了沿曲
10、线趋于原点的情况此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 分析分析: 1. 讨论二重极限讨论二重极限时时, 下列算法是否正确下列算法是否正确? 由此知，该极限不存在。由此知，该极限不存在。讲教材讲教材P212例题例题2 函数的连续性、可导、可微等函数的连续性、可导、可微等解：解：矛盾矛盾或按定义证明或按定义证明由此可知，一阶偏导数不连续由此可知，一阶偏导数不连续.练习：教材练习：教材P221 T13多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导练习：教材练习：教材P247 T1解解:解解:解解:解题关键解题关键: 按定义求偏导数按定义求偏导数例例9 9解解:按定义知：按定义知：强调强调:解解例例10103 复合函数求导复合函数求导例例1111解解方程两边求微分方程两边求微分, 得得例例12. 设其中 f 与F分别具有一阶导数或偏导数, 求解：解： 方程两边求微分方程两边求微分, 得得化简消去 即可得例例1313解解4 极值问题极值问题解题提示：解题提示：5 二重积分对称问题二重积分对称问题测测 验验 题题 测验题答案测验题答案
