《初等数论初步》

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1、国家选修课国家选修课初等数论初步初等数论初步简介简介杨良庆李岩杨良庆李岩1 1 初等数论初步初等数论初步课程简介课程简介n（1）数论者，乃论数也。）数论者，乃论数也。“今天是星期五，过今天是星期五，过8天后的今天是星天后的今天是星期几？期几？” “今天是星期五，过今天是星期五，过 天后的今天后的今天是星期几？天是星期几？” 1 1 初等数论初步初等数论初步课程简介课程简介n（1）数论者，乃论数也。）数论者，乃论数也。 任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都的偶数都等于两个奇质数的和等于两个奇质数的和. .（2）高斯认为：）高斯认为：“数学是科学的皇后，数数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠

2、论是数学中的皇冠”。1 1 初等数论初步初等数论初步课程简介课程简介 人类早期就认识了自然数，它好像很简人类早期就认识了自然数，它好像很简单，可又神秘莫测单，可又神秘莫测. 在研究自然数的进程在研究自然数的进程中，形成了一门数学学科，叫做中，形成了一门数学学科，叫做数论数论.1 1 初等数论初步初等数论初步课程简介课程简介n n初等数论初步版初等数论初步版初等数论初步版初等数论初步版 人民教育出版社人民教育出版社人民教育出版社人民教育出版社n n初等数论初步版初等数论初步版初等数论初步版初等数论初步版 教师教学用书教师教学用书教师教学用书教师教学用书 人民教育出版社人民教育出版社人民教育出版社

3、人民教育出版社n n初等数论初步版初等数论初步版初等数论初步版初等数论初步版 人民教育出版社人民教育出版社人民教育出版社人民教育出版社n n初等数论初步初等数论初步初等数论初步初等数论初步B B版版版版 教师教学用书教师教学用书教师教学用书教师教学用书 人民教育出版社人民教育出版社人民教育出版社人民教育出版社n n初等数论初等数论初等数论初等数论潘成栋、潘成彪潘成栋、潘成彪潘成栋、潘成彪潘成栋、潘成彪n n数学竞赛中的数论问题数学竞赛中的数论问题数学竞赛中的数论问题数学竞赛中的数论问题 余红兵余红兵余红兵余红兵 华东师大出版社华东师大出版社华东师大出版社华东师大出版社 1 1 初等数论初步初等

4、数论初步课程简介课程简介一、整数的整除性一、整数的整除性1.整除；整除；2.素数与合数；素数与合数；3.带余除法；带余除法；4.辗转相除法与最大公约数；辗转相除法与最大公约数；5.最小公倍数；最小公倍数；6.算术基本定理；算术基本定理；7.二元一次不定方程二元一次不定方程.1 1 初等数论初步初等数论初步课程简介课程简介二、同余二、同余1.同余及其基本性质；同余及其基本性质；2.特殊数的整除特征；特殊数的整除特征；3.剩余类及其运算；剩余类及其运算；4.剩余系和欧拉函数；剩余系和欧拉函数；5.欧拉定理；欧拉定理；6.不定方程与同余不定方程与同余.1 1 初等数论初步初等数论初步课程简介课程简介

5、三、同余方程三、同余方程1.同余方程的概念；同余方程的概念；2. 一次同余方程；一次同余方程；3. 孙子定理；孙子定理；4. 拉格朗日差值公式；拉格朗日差值公式；5.公开密钥码公开密钥码2 2 开设这门课程对老师的意义开设这门课程对老师的意义 n学以致用。学以致用。n教学需要。教学需要。n初等数论的知识和思想方法经常出现在初等数论的知识和思想方法经常出现在日常教学中，新教材中多处涉及初等数日常教学中，新教材中多处涉及初等数论的知识，如质数、辗转相除法、人教论的知识，如质数、辗转相除法、人教B版算法版算法“1.3中国古代数学中的算法案例中国古代数学中的算法案例” 。n提高能力。提高能力。 开设这

6、门课程对学生的意义开设这门课程对学生的意义 n提高学生的数学素质及文化素养。提高学生的数学素质及文化素养。n培养毅力。培养毅力。n对高中数学学习有帮助。对高中数学学习有帮助。n比比如如：学学习习初初等等数数论论初初步步可可增增强强学学生生阅阅读读理理解解能能力力、逻逻辑辑推推理理能能力力，高高考考中中有有时时涉涉及及到到奇奇偶偶分分析析（如如2010年年北北京京高高考考理理科科20题题第第二二问问），正是数论问题中也要涉及的。正是数论问题中也要涉及的。n对参加数学竞赛有帮助。对参加数学竞赛有帮助。开设这门课程的感受开设这门课程的感受n对老师的讲授能力要求较高。对老师的讲授能力要求较高。 n对数

7、学基础不太好的同学来说较难。对数学基础不太好的同学来说较难。开设这门课程的感受开设这门课程的感受n对老师的讲授能力要求较高。对老师的讲授能力要求较高。 n对数学基础不太好的同学来说较难。对数学基础不太好的同学来说较难。n对要参加数学竞赛的同学来说较容易。对要参加数学竞赛的同学来说较容易。 建议建议n结合生活中的实际例子，帮助理解，结合生活中的实际例子，帮助理解，提高兴趣。提高兴趣。六十花甲子六十花甲子n天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸n地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥n天干地支天干地支纪年年 60年年轮回一次，因此甲回一次，因此甲子年子年过60年

8、后仍年后仍为甲子年甲子年n60是是10和和12的最小公倍数的最小公倍数 魔方是大家都喜欢的益智游戏，如何操魔方是大家都喜欢的益智游戏，如何操作魔方才能更好的换角呢？作魔方才能更好的换角呢？ 建议建议 金庸先生的金庸先生的射雕英雄传射雕英雄传畅销全球，很多人也知道郭畅销全球，很多人也知道郭靖和黄蓉的故事，但原来在靖和黄蓉的故事，但原来在射雕英雄传射雕英雄传内也有有关内也有有关数学的名题同时随小说传至数学的名题同时随小说传至全球，这便是全球，这便是孙子定理孙子定理或称鬼谷算、隔墙算或称鬼谷算、隔墙算、剪管术、秦王暗、剪管术、秦王暗点兵或韩信点兵，但点兵或韩信点兵，但当今数学界则称之为当今数学界则称

9、之为中国中国剩余定理剩余定理(ChineseRemainderTheorem) 话说郭靖和黄蓉在离开泥沼话说郭靖和黄蓉在离开泥沼时，黄蓉下了三道题目挑战时，黄蓉下了三道题目挑战号称神算子的瑛姑，当号称神算子的瑛姑，当中的第三道题目，便是这著中的第三道题目，便是这著名的名的鬼谷算鬼谷算：今有物：今有物不知其数，三三数之剩二；不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三，七七数之剩五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？二。问物几何？. 如果用如果用白话写出，意思是：现在一白话写出，意思是：现在一个未知数，除个未知数，除3时，余数是时，余数是2；除；除5时，余数是时，余数是3；除；除7时，时，余数是余数是2

10、，问这个未知数的，问这个未知数的最小值？这道题目如此简单，最小值？这道题目如此简单，何以会是名题呢？何以会是名题呢？ 事实上，事实上，射雕射雕里的瑛姑里的瑛姑不难得出答案是不难得出答案是23, 但瑛姑但瑛姑虽然得到答案，但她也得向虽然得到答案，但她也得向黄蓉请教，因为瑛姑的答案黄蓉请教，因为瑛姑的答案是硬生生地试出来的，她明是硬生生地试出来的，她明白倘若余数有变的话，她便白倘若余数有变的话，她便可能要再花一段时间来试答可能要再花一段时间来试答案了，她找不到解这道题的案了，她找不到解这道题的普遍方法。而数学研究便是普遍方法。而数学研究便是希望找到这道题的特质，作希望找到这道题的特质，作出普遍化的

11、解法。你又可知出普遍化的解法。你又可知道这道名题的普遍解吗？道这道名题的普遍解吗？ 数论在很长的一段时间里被认为是没有应数论在很长的一段时间里被认为是没有应用的，纯数学的，优美的理论，一直到用的，纯数学的，优美的理论，一直到1976年。当时在美国斯坦福大学的迪菲年。当时在美国斯坦福大学的迪菲（Diffie）和赫尔曼）和赫尔曼(Hellman)两人提出两人提出了公开密钥密码的新思想（论文了公开密钥密码的新思想（论文NewDirectioninCryptography） 建议建议RSA公钥系统公钥系统发明于该思想提出后一年在麻发明于该思想提出后一年在麻省理工学院，里维斯特省理工学院，里维斯特(Ro

12、naldRivest)、沙、沙米尔米尔(AdiShamir)和阿德勒曼和阿德勒曼(LenAdleman)提出第一个较完善的公钥密码体制提出第一个较完善的公钥密码体制RSA体制，由三位发明人的姓氏首字母命名。这体制，由三位发明人的姓氏首字母命名。这是一种建立在大数因子分解基础上的算法。是一种建立在大数因子分解基础上的算法。它是第一个成熟的、迄今为止理论上最成功它是第一个成熟的、迄今为止理论上最成功的公钥密码体制。它的安全性是基于数论中的公钥密码体制。它的安全性是基于数论中的大整数因子分解。的大整数因子分解。 建议建议除了加密外，公开钥匙密码学最显著的成就除了加密外，公开钥匙密码学最显著的成就是实

13、现了是实现了数字签名数字签名。数字签名可以永久地与。数字签名可以永久地与被签署信息结合，无法自信息上移除。数字被签署信息结合，无法自信息上移除。数字签名大致包含两个算法：一个是签署，使用签名大致包含两个算法：一个是签署，使用私密钥匙处理信息或信息的哈希值而产生签私密钥匙处理信息或信息的哈希值而产生签章；另一个是验证，使用公开钥匙验证签章章；另一个是验证，使用公开钥匙验证签章的真实性。的真实性。 建议建议介绍初等数论的一些历史，激发学生学介绍初等数论的一些历史，激发学生学习数论的兴趣。习数论的兴趣。n什么叫梅森素数？n把2p-1型的数称为“梅森数”,并以Mp记之;如果Mp为素数,则称之为“梅森素

14、数”n有关梅森素数小故事：n1772年,有“数学英雄”美誉的欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了nM31(即231-1=2147483647)是一个素数.它具有10位数字,堪称当时世界上已知的最大素数.欧拉的毅力和技巧都令人赞叹不已,难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说:“读读欧拉,他是我们每个人的老师。介绍初等数论的一些历史，激发学生学介绍初等数论的一些历史，激发学生学习数论的兴趣。习数论的兴趣。目前发现的最大的梅森素数：243112609-1。其庞大程度令人惊愕：近1300万的数位。已知宇宙中的原子数目也不过只有80个数位，与之相比似乎微不足道。它还具有整齐迷人的形式：2n-1。介绍初等

15、数论的一些历史，激发学生学介绍初等数论的一些历史，激发学生学习数论的兴趣。习数论的兴趣。 建议建议n结合生活中的实际例子，帮助理解，结合生活中的实际例子，帮助理解，提高兴趣。提高兴趣。 n介绍初等数论的一些历史，激发学生介绍初等数论的一些历史，激发学生学习数论的兴趣。学习数论的兴趣。n教学中不要刻意追求形式化与证明的教学中不要刻意追求形式化与证明的严格性。严格性。n最好分层教学。最好分层教学。n课堂形式应多样化、调动学生积极性课堂形式应多样化、调动学生积极性结束语n来吧，朋友，让我们一起来开好这门课来吧，朋友，让我们一起来开好这门课程吧。程吧。n如果你爱你的学生，让他来吧，因为这如果你爱你的学生，让他来吧，因为这里是天堂！里是天堂！n如果你不爱他，也让他来吧如果你不爱他，也让他来吧人大附中人大附中初等数论初步初等数论初步教学小组荣誉出品。教学小组荣誉出品。