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1、精品资料 欢迎下载 抽象函数的单调性 抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。 思路：添项法。 类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。 一类：一次函数型 函数满足：()( )( )f abf af bk 或 ()( )( )f abf af bk 例1、 ( )f x对任意, x yR都有：()( )( )f xyf xf y，当0, ( )0xf x时，判断( )f x在 R上的单调性。 上是增函数在解：RxfxfxfxxfxxxxxxfxfxfxxfxfxxxfxfxfxxRxx)(, 00)(, 0)()()()(,21212121
2、2122212221212121 例 2、f(x) 对任意实数 x 与 y 都有( )( )()2f xf yf xy, 当 x0 时,f(x)2 （1）求证:f(x)在 R上是增函数； （2）若 f(1)=5/2,解不等式 f(2a-3) 0 的函数, 且 f(xy) = f(x) + f(y);当 x1 时有 f(x)0 上是减函数； （3）解不等式 f(x) + f(2-x) 1。 2、若非零函数)(xf对任意实数ba,均有()( )( )f abf af b ，且当0x时，1)(xf； （1）求证：( )0f x ； （2）求证：)(xf为减函数 （3）当161) 4(f时，解不等式4
3、1)5() 3(2xfxf； 四类：幂函数型 函数满足：()( )( )f a bf af b 或 ( )( )( )af afbf b 例 1、已知函数( )f x满足：对任意, x yR，都有()( )( )f xyf xf y，( 1)1,(27)9,01ffx 且当时，( )0,1f x 。 （I）判断( )f x的奇偶性， （II ）判断( )f x在0,上的单调性，并证明。 （III ）若0a ，且3(1)9f a ，求a的取值范围。 五类：其他类数函数型 例 1、定义在 1,1上的奇函数( )yf x有(1)1f, 且当 ,1,1m n时, 总有:()( )0,()f mf nm
4、nmn, （I） 证明:( )f x在 1,1上为增函数,(II)解不等式:11()()21f xfx,(III)若2( )21f xtat 对所有 1,1x, 1,1a恒成立, 求实数t的取值范围. 例 2、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当在考生面前思路添项法类型一次函数型幂函数型指数函数型对数函数型一类一次函数型函数满足或例对任意都有当时判断在上的单调性上是增函数解在例对任意实数与都有当时求证在上是增函数若解不等式解当时则在上是增函数令有且当时求证为奇函数若对任意恒成立求实数的取值范围精品资料欢迎下载二类对数函数型函数满足或例是定义在的函数且当时有求和的值证明在上是减函数解不等式上
5、是减函数解得原不等式可化为函数解得解令在即则令解得则令求的值若解不等式函数的定义域是的一切实数对定义域内的任意求证是偶函数时又都有在且当上是增函数解不等式设是定义在上的函数对任意满足且当时求证若解不等式精品资料欢迎下载三类指数函数型函数满足或例定义在上的函精品资料 欢迎下载 时，有， （1）试判断的奇偶性； （2）判断的单调性； 【专练】：1、已知定义在, 1(1,) 上的奇函数满足：(3)1f；对任意的2x ，均有( )0f x ；对任意的, x yR，均有(1)(1)(1)f xf yf xy ； （1）试求(2)f的值； （2）求证：( )f x在(1,)上是单调递增； （3）已知对任意
6、的(0,)，不等式2(cossin )3fa恒成立，求a的取值范围， 2、已知函数 f（x）的定义域为x| x k ，k Z，且对于定义域内的任何 x、y，有 f（xy）= f (x) f (y)1f (y)f (x)成立，且 f（a） = 1（a 为正常数） ，当 0 x 0 （I）判断 f（x）奇偶性； （II）证明 f（x）为周期函数；（III）求 f （x）在2a，3a 上的最小值和最大值 3、已知( )f x是定义在-1,1上的奇函数，且(1)1f，若任意的 1,1ab、，总有()( )( )0abf af b （1）判断函数( )f x在-1,1上的单调性，并证明你的结论； （2）
7、解不等式：(1)(12 )f xfx ； （3）若2( )21f xmpm对所有的 1,1x恒成立，其中 1,1p（p是常数） ，求实数m的取值范围 在考生面前思路添项法类型一次函数型幂函数型指数函数型对数函数型一类一次函数型函数满足或例对任意都有当时判断在上的单调性上是增函数解在例对任意实数与都有当时求证在上是增函数若解不等式解当时则在上是增函数令有且当时求证为奇函数若对任意恒成立求实数的取值范围精品资料欢迎下载二类对数函数型函数满足或例是定义在的函数且当时有求和的值证明在上是减函数解不等式上是减函数解得原不等式可化为函数解得解令在即则令解得则令求的值若解不等式函数的定义域是的一切实数对定义域内的任意求证是偶函数时又都有在且当上是增函数解不等式设是定义在上的函数对任意满足且当时求证若解不等式精品资料欢迎下载三类指数函数型函数满足或例定义在上的函
