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1、第七章参 数 估 计二二 、估计量的评选标准、估计量的评选标准一一 、点估计、点估计 三三 、区间估计、区间估计 四四 、正态总体均值与方差的区间估计、正态总体均值与方差的区间估计 问题问题：如何估计未知参数？：如何估计未知参数？设抽取容量为设抽取容量为的的样本样本由大数定律由大数定律, ,把样本平均值作为总体平均值的一个估计。把样本平均值作为总体平均值的一个估计。即用即用估计估计点 估 计 第七章 第一节二二 、矩估计法、矩估计法一一 、点估计问题的一般提法、点估计问题的一般提法三三 、最大似然估计法、最大似然估计法一一 、点估计问题的一般提法、点估计问题的一般提法是待估是待估参数，参数，是
2、是的一个样本的一个样本,是是相应的一个样本值。相应的一个样本值。 点点估计就是估计就是构造一个适当的统计量构造一个适当的统计量用用它的观察值它的观察值作为未知参数的近似值。作为未知参数的近似值。称称为估计量为估计量为估计值为估计值设总体设总体的的分布函数为分布函数为形式为已知形式为已知,未知参数估计的两种方法未知参数估计的两种方法: 矩估计法、最大似然估计法矩估计法、最大似然估计法 二二 、矩估计法、矩估计法 其基本思想是其基本思想是用样本矩估计总体矩。用样本矩估计总体矩。 它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立思想建立起来的一种估计方法。起来的一种估计方法。是英国统计学家是
3、英国统计学家K. .皮尔逊皮尔逊最早提出的。最早提出的。基本思想基本思想:Eg.若若X为为连续型随机变量，设概率密度为连续型随机变量，设概率密度为令令解出解出若若X为为离散型随机变量，设其分布律为离散型随机变量，设其分布律为令令，其中其中为样本，为样本，为样本值，为样本值，解出例例1 1设总体设总体求求的的矩估计量。矩估计量。解解: 令令其中其中所以所以的矩估计量为的矩估计量为为为X的一个样本，的一个样本，估计量估计量估计值估计值例例2 2设总体设总体X 的概率密度为的概率密度为解解 即即是未知参数是未知参数, ,其中其中X1,X2,Xn是取自是取自X 的样本的样本, ,求参数求参数的矩估计量
4、的矩估计量.令令，则则从而从而的矩估计量的矩估计量为为X 的一个样本，求的一个样本，求的的矩估计量。矩估计量。例例3 3设总体设总体解解 令例例4 设设 为为X 的一个样本，求的一个样本，求X 的数的数的的矩估计量。矩估计量。学期望学期望解解 ： 令令其中其中则则解得数学期望解得数学期望的矩估计量分别为的矩估计量分别为总结总结：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达式都不变：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达式都不变例例5设总体设总体一个样本，求一个样本，求的的矩估计量。矩估计量。为为X 的的解解 由由 所以由上例可得所以由上例可得三、最大似然估计法三、最大似然估计法 这这是是在在总总体体类类
5、型型已已知知条条件件下下使使用用的的一一种参数估计方法种参数估计方法 . . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在18211821年年提出的提出的 , , GaussGaussFisherFisher 然而，这个方法常归功于英国统计学然而，这个方法常归功于英国统计学家家费歇费歇 。 费歇费歇在在19221922年重新发现了这一方法，年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质并首先研究了这种方法的一些性质 . .最大似然法的基本思想：最大似然法的基本思想：假定一个盒子中有白、黑球共假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个，个，但不知各有几个，如果有放回的抽取如果有
6、放回的抽取3次球，发现第次球，发现第1，3次是黑球，第次是黑球，第2次次是白球，试估计黑球所占的比例？是白球，试估计黑球所占的比例？准备内容：准备内容：当总体当总体X是离散型，是离散型，分布律改写为：分布律改写为：以泊松分布为例，以泊松分布为例，分布律为分布律为，其中其中未知。未知。为为X 的样本，的样本，为为X 的样本值，的样本值， X 为离散型为离散型记为记为 样本的似然函数样本的似然函数为为的的最大似然估计量最大似然估计量；为为的的最大似然估计值最大似然估计值；满足条件满足条件:具体算法：具体算法：令令设设x1,x2,xn是取自总体是取自总体 Xb(1, p) 的一个的一个解解例例1 1
7、似然函数为似然函数为: :样本值样本值，求参数求参数p的最大似然估计值。的最大似然估计值。所以所以为 p 的最大似然估计值。解解例例2设设 X1, X2, , Xn 是是取自总体取自总体 X 的的一个样本一个样本,，求参数，求参数的最大似然估计值。的最大似然估计值。似然函数为似然函数为: : X 为为连续型连续型似然函数似然函数为为利用利用或或得得例例3 3设设 X1, X2, , Xn 是是取自总体取自总体 X 的的一个样本一个样本,X 服从参数服从参数 的指数分布，求的指数分布，求的的最大似然估计值。最大似然估计值。解解似然函数似然函数当当令令所以所以设设 x1, x2, , xn 是是取
8、自总体取自总体 X 的的一个样本值一个样本值,，求参数，求参数的最大似然估计值。的最大似然估计值。解解例例4令令所以所以的最大似然估计值为的最大似然估计值为例例5设设 X1, X2, , Xn 是是取自总体取自总体 X 的的一个样本一个样本,，求参数，求参数 a , b 的最大似然估计量。的最大似然估计量。解解似然函数似然函数则要使得则要使得取最大值取最大值注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大， 需要从函数本身入手。需要从函数本身入手。所以，最大似然估计量为所以，最大似然估计量为估计量的评选标准 第七章 第二节二二 、有效性、有效性一一 、无偏性、无偏
9、性三三 、一致性、一致性一一 、无偏性、无偏性定义定义结论：结论：无论无论X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在，只要它的数学期望存在，总是总是的的无偏估计量。无偏估计量。是是的的无偏估计无偏估计例例1设设 X1, X2, , Xn 是是取自总体取自总体 X 的的一个样本一个样本,求k 使为的无偏估计无偏估计.解解 故故当当时时结论成立结论成立.2s=一个未知数可以有不同的无偏估计量。一个未知数可以有不同的无偏估计量。解解例例3二、有效性二、有效性定义：定义：都是参数都是参数的的无偏估计量，如果无偏估计量，如果注：注：比较有效性，必须是在无偏估计量的前提。比较有效性，必须是在无偏估
10、计量的前提。例例4设设 X1, X2, , Xn 是是取自总体取自总体 X 的的一个样本一个样本, 验证验证都是都是的的无偏估计无偏估计. 问那个估计量最有效问那个估计量最有效?解解 都是总体均值都是总体均值的无偏的无偏估计量估计量;故故因为因为所以所以更更有效有效三、一致性三、一致性定义：定义：区 间 估 计 第七章 第三节二二 、正态总体均值与方差的区间估计、正态总体均值与方差的区间估计一一 、置信区间、置信区间三三 、两个正态总体均值与方差、两个正态总体均值与方差 的区间估计的区间估计一一 、置信区间、置信区间定义定义1 设总体设总体含一待估含一待估参数参数为一样本，为一样本，满足满足则
11、称则称为为的的置信度为置信度为 的置信区间，的置信区间，的分布函数为的分布函数为，其中，其中若由样本确定的两个统计量若由样本确定的两个统计量下限下限上限上限通常通常, 采用采用95%的置信度的置信度, 有时也取有时也取99% 或或 90%.即即置信度为置信度为这时重复这时重复抽样抽样 100次次, 则在得到的则在得到的100个数值区间中包含个数值区间中包含 真值真值的有的有95个左右个左右, 不包含不包含真值的有真值的有5个个左右。左右。含义：含义： 若若具体的计算方法具体的计算方法 由样本由样本寻找一个样本函数寻找一个样本函数，不含其他任何未知参数，不含其他任何未知参数，分布已知，且只含有一
12、个未知参数分布已知，且只含有一个未知参数。 由由解出等价的解出等价的不等式不等式是是的置信度为的置信度为的置信区间。的置信区间。 对于给定的置信水平对于给定的置信水平，找，找 a , b 使得使得二二 、正态总体均值与方差的区间估计、正态总体均值与方差的区间估计设设为为总体总体的的一个样本一个样本置信度置信度下，来确定下，来确定的的置信区间置信区间 已知方差已知方差，估计均值估计均值对于给定的对于给定的，有，有可得可得所以所以的置信水平为的置信水平为1-的置信区间为的置信区间为简记为简记为已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼岁的幼儿中随机地抽查了儿中随机地抽查
13、了9人，其高度分别为：人，其高度分别为：115, 120131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设标准差假设标准差置信度为置信度为95%; 试求总体均值试求总体均值的置信区间的置信区间解解 已知已知由由样本值算得：样本值算得：查查正态分布表得正态分布表得，由此得置信区间，由此得置信区间例例1设设总体总体问问需要抽取容量为多需要抽取容量为多大的大的样本样本,才能使才能使的的置信水平为置信水平为0.95 的置信区间的置信区间的的长度不大于长度不大于 0.49 ?解解 设需要抽取容量为设需要抽取容量为n的的样本样本, 其样本均值为其样本均值为查表得查表得于是于是
14、的置的置信水平为信水平为0.95的置信区间为的置信区间为该该区间长度区间长度例例2解得解得取取 方差方差未知，估计均值未知，估计均值所以所以的置信水平为的置信水平为1-的置信区间为的置信区间为简记为简记为用仪器测量温度用仪器测量温度, 重复测量重复测量7次次, 测得温度分测得温度分别为别为: 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115 ; 设温度设温度 在在置信度为置信度为95%时时, 试求温度均值试求温度均值所在范围。所在范围。例例3查查表得表得已知已知由由样本值算得：样本值算得：解解 得区间：得区间： 方差方差的的置信区间置信区间（均值（均值未知）未知）设设为为总体
15、总体的的一个样本一个样本是是的的无偏估计无偏估计并且样本函数：并且样本函数：由由分布表的构造分布表的构造置信置信区间区间即即标准差标准差的置信水平为的置信水平为的置信区间的置信区间例例4 某自动车床加工零件，抽查某自动车床加工零件，抽查16个测得长个测得长加工零件长度的方差。加工零件长度的方差。解解 先求先求度（毫米）度（毫米），怎样估计该车床，怎样估计该车床查表查表所求所求2的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间例例5 假设总体假设总体求求未知，未知，X的样本为的样本为的的置信度为置信度为95%的置信区间。的置信区间。解解 的的置信区间为置信区间为 2的置信区间为的置信区间为所以所以2的置信区间为的置信区间为第七章结束第七章结束请注意复习！请注意复习！
