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1、1 18 8.2.2.2.2特殊的平行四边形特殊的平行四边形 菱形的菱形的判定判定一组邻边相等一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形平行四边形平行四边形1。菱形的定义：。菱形的定义：菱形菱形菱菱形形性性质质 边边 角角 对角线对角线邻角互补邻角互补 对边平行对边平行四边相等四边相等对角相等对角相等对角线对角线互相平分、互相平分、互相互相垂直垂直且且平分每平分每一组对角一组对角2.菱形的性质：菱形的性质： 3.菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半. 菱形的面积菱形的面积=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半问题问题1
2、：如果一个四边形是一个平行四边形，则只：如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？据什么？有一组有一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形. .根据定义得：根据定义得：AB=ADABCD还有什么方法吗还有什么方法吗?问题问题2 2：用一长一短两根：用一长一短两根细木条细木条, ,在它们的中点处在它们的中点处固定一个小钉固定一个小钉, ,做成一个做成一个可以转动的十字可以转动的十字, ,四周围四周围上一根橡皮筋上一根橡皮筋, ,做成一个做成一个四边形四边形. .转动木条转动木条, ,这个四这个四
3、边形什么时候变成菱形边形什么时候变成菱形? ?对角线互相垂直的平行四边对角线互相垂直的平行四边形是菱形形是菱形.猜想：猜想：猜想：猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCD已知：在已知：在 中，中，AC BDABCDABCD求证：求证： 是菱形是菱形证明：证明： ABCD是菱形是菱形又又 AC BD;四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形OA=OCBA=BC数学语言数学语言四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形; AC BD; ABCD是菱形是菱形O(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等个端点的距离相等)(有
4、一组邻边相等的有一组邻边相等的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形).菱形的判定定理菱形的判定定理1：例例2 2。如图，如图， ABCDABCD的两条对角的两条对角线线ACAC、BD BD 相交于点相交于点O O，AB= 5 AB= 5 ，AC=8AC=8，DB=6DB=6（1 1）ACAC、BDBD互相垂直吗？为什么？互相垂直吗？为什么？（2 2）四边形）四边形ABCDABCD是菱形吗？为什么是菱形吗？为什么？ABCDO四边形四边形ABCD是菱形是菱形.OA=OC=4 OB=OD=3解：解： AB=5 ACBD AOB=（2） 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 ACBD（1） 四
5、边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形例例1 1。如图，已知。如图，已知ADAD平分平分BACBACBACBAC，DE/ACDE/ACDE/ACDE/AC，DF/AB,AE=5.DF/AB,AE=5.DF/AB,AE=5.DF/AB,AE=5.（1 1 1 1）判断四边判断四边判断四边判断四边形形形形AEDFAEDFAEDFAEDF的形状？（的形状？（的形状？（的形状？（2 2 2 2）它的周长为多少）它的周长为多少）它的周长为多少）它的周长为多少？ABCFDEa问题问题3：已知：线段：已知：线段a，求作：一个菱形求作：一个菱形ABCD，使，使AB=a，ABC=BCAD作法：作法：1.作作
6、 B =2.在在B的两边上分别截取的两边上分别截取AB=BC=a，3.分别以分别以A、C为圆心，为圆心，a长为半径长为半径画弧，两弧交于点画弧，两弧交于点D，连结，连结AD、CD四边形四边形ABCD就是所作的菱形就是所作的菱形这样作出的四边形这样作出的四边形ABCD真真的是菱形吗？的是菱形吗？你会你会证明吗？证明吗？你你能否用一句话来概括？能否用一句话来概括？四边相等的四边相等的四边形四边形是菱形是菱形数学语言数学语言 AB=BC=CD=DA四边形四边形ABCD是菱形是菱形菱形的判定定理菱形的判定定理2：四边都相等四边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形 。菱形的判定菱形的判定定理定理2 2：已
7、知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明: AB=BC=CD=DA,AB=CD,BC=DA.四边形ABCD是平行四边形.求证:四边形ABCD是菱形.AB=AD,四边形ABCD是菱形.CBDA四边都相等四边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形 。例例3：菱形：菱形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，E、F分别是分别是AB、AD的中点，的中点，求证：（求证：（1）OEOF。（。（2）四边形AEOF是菱形.归纳归纳菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：1 1、有一组、有一组邻边邻边相等的
8、相等的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形. .2、对角线、对角线互相互相垂直垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .（对角线（对角线互相互相垂直平分的四边形垂直平分的四边形是菱形是菱形. .）3 3、有四条、有四条边相等的四边形边相等的四边形是菱形是菱形. . 例例4：判断下列命题是否正确，并说明理由：判断下列命题是否正确，并说明理由(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形是菱形(3)邻角相等的四边形是菱形邻角相等的四边形是菱形(4)有一组邻边相等的四边形
9、是菱形有一组邻边相等的四边形是菱形(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 是菱形是菱形(6)对角线互相垂直的四边形是菱形对角线互相垂直的四边形是菱形(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。对角线互相垂直平分的四边形是菱形。(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 错错对对对对对对错错对对错错对对例例5 5。ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，（1 1）若）若AB=ADAB=AD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（2 2）若）若AC=BDAC=BD，则，则
10、ABCDABCD是是 形；形；（3 3）若）若ABCABC是直角，则是直角，则ABCDABCD是是 形；形；（4 4）若）若BAO=DAOBAO=DAO，则，则ABCDABCD是是 形。形。ABCDO菱菱矩矩矩矩菱菱例例7.如图如图:将菱形将菱形ABCD沿沿AC方向平移至方向平移至A1B1C1D1,A1D1交交CD于于E,A1B1交交BC于于F,请问四边形请问四边形A1FCE是不是菱形是不是菱形?为什么为什么?ABCDA1B1C1D1EF例例6.如图如图,在在ABC中中,BAC=90,ADBC于于D,CE平分平分ACB,交交AD于于G,交交AB于于E,EFBC于于F,四边形四边形AEFG是菱形
11、吗是菱形吗?ACDBFEG四条边都相等四条边都相等菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分一组对边平行且相等一组对边平行且相等二组对边平行或相等二组对边平行或相等四边形四边形平行四边形平行四边形一组对角平行且相等一组对角平行且相等矩形与菱形矩形与菱形 矩形矩形 菱形菱形定义定义有一角是有一角是直角直角的平行的平行四边形叫做矩形四边形叫做矩形. .有一组有一组邻边相等邻边相等的平行四的平行四边形叫做菱形边形叫做菱形. .平行四边形的性质平行四边形的性质性性质质边边角角对角线对角线四个角都是直角四个角都是直角相等相等互相垂直且平分每一组对角互相垂直且平分每一组对角判判定定有一角是直角的平行四边形有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形三个角都是直角的四边形有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形四条边都相等四条边都相等再再 见见
