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1、机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 1第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分一、定积分一、定积分二、围线积分二、围线积分三、用积分不等式证明三、用积分不等式证明四、已知调和函数求解析函数四、已知调和函数求解析函数机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 2有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义多连通区域多连通区域的柯西定的柯西定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数机机动动 目目录录 上上页
2、页 下下页页 返回返回 结结束束 3（适用于函数在积分曲线上有奇点或（适用于函数在积分曲线上有奇点或在积分区域内部有无穷多奇点情况）在积分区域内部有无穷多奇点情况）一、积分定义一、积分定义积分计算的参数方程法积分计算的参数方程法机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 4例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段的线段C1与从与从 到到 的线的线段段C2 所接成的折线所接成的折线. 解解机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 5设设C 为正向圆周为正向圆周 |z| = 3,则则练习：练
3、习：答案答案：6 i 机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 6设设C 为正向圆周为正向圆周 |z| = 1,则则练习：练习：答案：答案：机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 7设设 则则 所以所以例例2 计算积分计算积分解解机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 8二、沿围线积分二、沿围线积分(重要公式、柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式重要公式、柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式)定理定理 设设D是逐段光滑曲线是逐段光滑曲线 C所围成的单连通区域，所围成的单连通区域，函数函数f (z)在在D内解析内解析,定理：定理：设设 D
4、 是由是由 n +1条简单闭曲线条简单闭曲线 C0, C1, ,Cn所围成的多连通区域所围成的多连通区域(如图如图)，函数函数 f (z)在在 D 内解析，内解析，机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 9重要公式重要公式设函数设函数 f (z) 在简单闭曲线在简单闭曲线 C 所围成的区域所围成的区域 D内解析，内解析，在在D = D+C上连续，上连续，则对于则对于D内任一点内任一点 z, 有有柯西积分公式柯西积分公式则则f (z) 在在D内有各阶导数，内有各阶导数，高阶导数公式高阶导数公式机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 10解解例例3 3 计算
5、计算当当 时时,机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 11解解例例4机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 12机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 13由柯西积分公式得由柯西积分公式得机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 14机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 15解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：例例5机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 16机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 17机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回
6、返回 结结束束 18机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 19机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 20练习：练习：设设C为过点为过点的正向简单闭曲线，则当的正向简单闭曲线，则当从曲线从曲线C内部趋向内部趋向时，时， 当当从曲线从曲线C外部趋向外部趋向时，时，答案：答案：机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 21例例6 6解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 22比较两式得比较两式得机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 23三、利用积分估值不等
7、式证明三、利用积分估值不等式证明机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 24例例7 7证证不等式即证不等式即证.机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 25解解 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, 例例8四、用调和函数求解析函数四、用调和函数求解析函数机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 26 因而得到解析函数因而得到解析函数机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 27解解例例9 9 已知已知 求解求解析函数析函数 ,使符合条件使符合条件机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 28机机动动 目目录录 上上页页 下下页页 返回返回 结结束束 291. 求积分求积分其中曲线其中曲线C为为C1：从：从 1 到到 1 的的下半单位圆周下半单位圆周和和C2: 从从 1到到 1 的直线构成的封闭曲线的直线构成的封闭曲线.作业：作业：P48 14，17(2) (3)
