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1、要点梳理要点梳理1.1.根式根式（1 1）根式的概念）根式的概念 如果一个数的如果一个数的n n次方等于次方等于a a（n n1 1且且n nN N* *），那么这），那么这 个数叫做个数叫做a a的的n n次方根次方根. .也就是，若也就是，若x xn n= =a a，则，则x x叫做叫做 _,_,其中其中n n1 1且且n nN N* *. .式子式子 叫做叫做_,_, 这里这里n n叫做叫做_，a a叫做叫做_. _. 2.4 2.4 指数与指数函数指数与指数函数 a a的的n n次方根次方根根式根式根指数根指数被开方数被开方数基础知识基础知识 自主学习自主学习（2 2）根式的性质）根式
2、的性质 当当n n为奇数时为奇数时, ,正数的正数的n n次方根是一个正数，负数的次方根是一个正数，负数的 n n次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时，a a的的n n次方根用符号次方根用符号_ 表示表示. . 当当n n为偶数时，正数的为偶数时，正数的n n次方根有两个，它们互为次方根有两个，它们互为 相反数相反数, ,这时，正数的正的这时，正数的正的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示, , 负的负的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示. .正负两个正负两个n n次方根次方根 可以合写为可以合写为_（a a0 0）. . =_. =_. a a当当n n为奇数时，为奇数时
3、， =_;=_;当当n n为偶数时，为偶数时， =_.=_.负数没有偶次方根负数没有偶次方根. . 2.2.有理数指数幂有理数指数幂(1)(1)幂的有关概念幂的有关概念正整数指数幂：正整数指数幂： （n nN N* *）；）；零指数幂：零指数幂：a a0 0=_=_（a a00）；）；负整数指数幂：负整数指数幂：a a- -p p=_=_（a a00，p pN N* *）；）；a a1 1正分数指数幂：正分数指数幂： =_=_（a a00，m m、n nN N* *， 且且n n11）；）；负分数指数幂：负分数指数幂： = = (= = (a a0,0,m m、n n N N* *, ,且且n
4、 n1).1).00的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_，0 0的负分数指数幂的负分数指数幂 _._.（2 2）有理数指数幂的性质）有理数指数幂的性质 a ar ra as s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (a ar r) )s s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (abab) )r r= = _(_(a a0,0,b b0,0,r rQ Q). ). a ar r+ +s sa arsrsa ar rb br r0 0没有意义没有意义3.3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 R R(0,(0,+) )(0,(0,1 1
5、) )y y11y y1100y y1100y y11减函数减函数增函数增函数练习：练习：1 1、下列等式、下列等式 中一定成立的有中一定成立的有 （ ） A.0A.0个个 B.1B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个2 2、计算下列各式、计算下列各式A题型分类题型分类 深度剖析深度剖析0.09-14 4、右图是指数函数（、右图是指数函数（1 1）y y= =a ax x，（2 2）y y= =b bx x, ,（3 3）y y= =c cx x, ,（4 4）y y= =d dx x 的图象的图象, ,则则a a，b b，c c，d d与与1 1的大的大 小关系是小关系是 ( )(
6、) A.ab1cd C.1abcd A.ab1cd C.1abcd B.ba1dc D.ab1dc B.ba1dc D.ab1d11y y1100y y1100y y100且且a a11 6 6、比较大小：、比较大小：C1 1、求函数、求函数定义域与值域定义域与值域一、指数函数定义域与值域一、指数函数定义域与值域分离参数化归利用函数的有界性逆求例例2、设、设a0,且且a11, ,如果函数如果函数y=a2x+2ax-1在在-1,1的最大的最大值为值为14，求，求a的值。的值。提示提示二、二、 指数函数的性质指数函数的性质【例例3 3】(12(12分分) )设函数设函数f f( (x x)= )=
7、 为奇函数为奇函数. . 求：求：（1 1）实数）实数a a的值；的值；（2 2）用定义法判断）用定义法判断f f（x x）在其定义域上的单调性）在其定义域上的单调性. . 由由f f（- -x x）=-=-f f（x x）恒成立可解得）恒成立可解得a a的值的值; ; 第第(2)(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可. .思维启迪思维启迪解解 (1)(1)方法一方法一 依题意，函数依题意，函数f f（x x）的定义域为）的定义域为R R， f f（x x）是奇函数，）是奇函数，f f（- -x x）=-=-f f（x x），）， 2 2分分2(2(
8、a a-1)(2-1)(2x x+1)=0+1)=0，a a=1. 6=1. 6分分方法二方法二 f f( (x x) )是是R R上的奇函数，上的奇函数，f f(0)=0(0)=0，即，即 a a=1. 6=1. 6分分（2 2）由）由(1)(1)知，知， 设设x x1 1 )f f( (x x1 1),),f f( (x x) )在在R R上是增函数上是增函数. 12. 12分分 (1)(1)若若f f( (x x) )在在x x=0=0处有定义处有定义, ,且且f f( (x x) )是奇函是奇函数数, ,则有则有f f(0)=0,(0)=0,即可求得即可求得a a=1.=1.（2 2）
9、由）由x x1 1 x x2 2推得推得 实质上应用了函数实质上应用了函数 f f（x x）=2=2x x在在R R上是单调递增这一性质上是单调递增这一性质. . 探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 设设 是定义在是定义在R R上的函数上的函数. .（1 1）f f（x x）可能是奇函数吗？）可能是奇函数吗？（2 2）若）若f f（x x）是偶函数，试研究其单调性）是偶函数，试研究其单调性. . 三、三、 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用【例例3 3】已知函数已知函数 (1)(1)作出图象；作出图象； (2)(2)由图象指出其单调区间；由图象指出其单调区间； (3)(3)由图象指出
10、当由图象指出当x x取什么值时函数有最值取什么值时函数有最值. . 思维启迪思维启迪 化去绝对值符号化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式将函数写成分段函数的形式作图象作图象写出单调区间写出单调区间写出写出x x的取值的取值解解 （1 1）由已知可得）由已知可得其图象由两部分组成：其图象由两部分组成：一部分是：一部分是： 另一部分是：另一部分是：y y=3=3x x ( (x x0) 0) y y=3=3x x+1+1 ( (x x-1). 0,0,且且a a 1) 1)的图象有两个公共点的图象有两个公共点, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 数形结合数形结合. . 当当
11、a a11时，如图时，如图,只有一个公共点，不符合题意只有一个公共点，不符合题意. . 当当00a a11时，如图时，如图, ,由图象知由图象知0202a a1,1,1.1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，无限伸展性，x x轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线. .当当00a a111，x x-时时, ,y y0;0;当当a a11时，时， a a的值越大，图象越靠近的值越大，图象越靠近y y轴，递增的速度越快；轴，递增的速度越快； 当当00a a10,0,a a1)1)的图象和性质与的图象和性质与a a的取值的取值 有
12、关，要特别注意区分有关，要特别注意区分a a11与与00a a11来研究来研究. .2.2.对可化为对可化为a a2 2x x+ +b ba ax x+ +c c=0=0或或a a2 2x x+ +b ba ax x+ +c c0 (0)0 (0)的的 指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意 换元后换元后“新元新元”的范围的范围. . 失误与防范失误与防范考点2指数函数的图象及应用变式训练 2 考点3指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小考点3指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小C 角度2利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式
13、角度3与指数函数有关的复合函数问题变式训练 3 (3)因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)关于直线x1对称，所以a1，所以函数f(x)2|x1|的图象如图所示，因为函数f(x)在m，)上单调递增，所以m1，所以实数m的最小值为1.指数函数问题中的数学思想方法换元法：对于含有指数函数的函数，如同时含有ax，a2x等的函数、方程、不等式的问题，常用换元法求解，但解题时一定要注意参量的取值范围(1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域(2)求复合函数yfg(x)的值域应先求内层ug(x)的取值范围，再根据u的取值范围去求yf(u)的取值范围，即为所求(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得数形结合思想：一些关于指数的方程、不等式问题的求解，往往利用相应的函数图象，数形结合求解引申若函数f(x)在(k1，k1)上不单调，则k的取值范围是_.引申若函数f(x)在(k1，k1)上不单调，则k的取值范围是_.解析由图可知k10k1，解得1k1.1k1 变式训练 4
