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1、第六章第六章 二次型二次型第一节第一节 二次型的定义二次型的定义 及其矩阵表示及其矩阵表示定义定义1 含有含有n个变量的二次齐次函数个变量的二次齐次函数称为二次型。当称为二次型。当aij为复数时，为复数时，f 称为复二次型。称为复二次型。当当aij为实数时，为实数时，f 称为实二次型，本章仅讨论实称为实二次型，本章仅讨论实二次型。二次型。 若令若令则则 即即把把A称为二次型（称为二次型（1）对应的矩阵，）对应的矩阵，A的秩称为二的秩称为二次型（次型（1）的秩。）的秩。 例例1 求二次型求二次型 解解 对于二次曲面对于二次曲面我们可以通过一个坐标旋转我们可以通过一个坐标旋转把二次曲面化为标准形把
2、二次曲面化为标准形从代数的角度看，化标准形的过程就是通过变量从代数的角度看，化标准形的过程就是通过变量的坐标变换化简一个二次齐次多项式。的坐标变换化简一个二次齐次多项式。 我们下面推广坐标旋转变换的概念。我们下面推广坐标旋转变换的概念。 定义定义2 设变量设变量x1，x2，xn能用变量能用变量y1，y2，yn表示为表示为 *式称为从变量式称为从变量y1，y2，yn到变量到变量x1 , x2，xn的线性变换，其中的线性变换，其中cij为常数（为常数（i，j=1，2，n）。）。矩阵矩阵 C称为从变量称为从变量y1，y2，yn到变到变量量x1 , x2，xn的过渡矩阵。的过渡矩阵。当当C为正交矩阵时，（为正交矩阵时，（*）称为正交变换，如坐标旋）称为正交变换，如坐标旋转变换就是正交变换。转变换就是正交变换。 对于实二次型对于实二次型如果作正交变换如果作正交变换 x=Cy, 则则其中其中C AC仍是对称阵，仍是对称阵，y (C AC)y是是 y1，y2，yn的一个二次型。的一个二次型。 因此我们只要找到正交矩阵因此我们只要找到正交矩阵C（即即C C1），），使得使得C AC为对角阵，为对角阵，则则 f 就化为只含有就化为只含有y1，y2，yn平方项而平方项而没有没有y1，y2，yn交叉相乘的项。称此交叉相乘的项。称此y1，y2，yn的的二次型为二次型为 f 的的标准形。标准形。
