《数量函数的积分学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数量函数的积分学（177页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第九章第九章 数量值函数的积分学数量值函数的积分学 9.1 9.1 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质 9.2 9.2 二重积分的计算二重积分的计算 9.3 9.3 三重积分及其计算三重积分及其计算 9.4 9.4 第一型（对弧长）曲线积分第一型（对弧长）曲线积分 9.5 9.5 第一型（对面积）曲面积分第一型（对面积）曲面积分 9.6 9.6 数量值函数积分学的应用数量值函数积分学的应用曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.1. 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积问题的提出问题的提出一一. . 二重积分的定义二重积分的定义9.1 二重积分的概念及性质曲顶柱体曲顶柱体 .柱体体积
2、柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方
3、法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示返回返回求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示(3) 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积:曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为:步步骤骤如如下下 2. 求平面薄板的质量求平面薄板的质量(3) 薄板的总质量：薄板的总质量：定义积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被
4、被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素积积积积分分分分号号号号用平行于坐标轴的直线网来划分区域用平行于坐标轴的直线网来划分区域 ，故二重积分可写为故二重积分可写为二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：物理意义：物理意义： 平面薄板的质量平面薄板的质量二 . 二重积分的性质性质性质1性质性质 2性质性质 3（积分区域的（积分区域的可加性）可加性）性质性质 4性质性质 5（不等式性质）（不等式性质）性质性质 6（估值定理）（估值定理）证证证毕证毕性质性质 7（中值定理）中值定理）中值公式中值公式 .证证证毕证毕性质性质8 ( (对称性对称性) ) xyOD1D xy
5、OD1Dxy解解由由性质性质 6 得得解解由由性质性质 6 得得解解解解解解（1）积分区域如图所示）积分区域如图所示xy1-11OD-111xyD解解积分区域如图所示，积分区域如图所示，解解9.2 二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算一. 化二重积分为二次积分其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.是平行于是平行于 y 轴的直线部分除外）轴的直线部分除外） 的特点的特点：如果积分区域为如果积分区域为 ：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. 的特点的特点：是平行于是平行于 轴的直线部分除外）轴的直线部分除外） 同理同理如果积分区域为如果积分区
6、域为 ：二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式 :则必须分割则必须分割.解解解解解解注注:化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分, 既要根据积分区域的形状既要根据积分区域的形状,又要注意被积函数的特点选择简便易算的积分次序又要注意被积函数的特点选择简便易算的积分次序.画出积分区域的草图往往有助于做出正确的选择画出积分区域的草图往往有助于做出正确的选择.要要改变积分次序！改变积分次序！解解解解所围成所围成 .说明积分区域说明积分区域由由解解例例6 6解解 曲面围成的立体如图：曲
7、面围成的立体如图：例例 证证 二.二重积分的变量代换1.极坐标变换（不记高阶（不记高阶无穷小）无穷小）可可看成以看成以在极坐标下二重积分化为二次积分的公式在极坐标下二重积分化为二次积分的公式: (1) 极点位于积分区域极点位于积分区域 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积解解注注:解解解解解解 解解 设设例例4求求概率积分概率积分解解2.二重积分的一般变量代换（证明略）（证明略）解解证证 证毕证毕解解（第一卦（第一卦 限部分）限部分）9.3 三重积分及其计算问题的提出问题的提出 设有非均匀物体占有空间区域设有非均匀物体占有空间区域 ,其上各点其上各点 (x,y,z) 处的密度为连续函数处的
8、密度为连续函数 f (x, y , z), 求该物体的求该物体的质量质量 .求空间非均匀物体求空间非均匀物体的的质量质量.yxzO定义定义三重积分的物理意义三重积分的物理意义：空间物体的质量：空间物体的质量1. 在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分 三重积分的计算化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分根据三重积分的物理意义根据三重积分的物理意义,用微元法：用微元法：先一后二法先一后二法先先 z 后后 y 再再 x 的积分次序的积分次序先一后二法先一后二法解解解解若若则则先先 x 后后 y z 的积分次序的积分次序若若o则则先先 y 后后 xz 的积分次序的积分次序解解先二后一
9、法（坐标轴投影法、截面法）的一般步骤：（1）把积分区域）把积分区域向某轴向某轴(例如例如轴轴)投影投影,得投影区间得投影区间（2）用过用过且平行且平行平面的平面去截平面的平面去截得得截面截面即即用微元法：用微元法：故故注注：当：当 比较简单，比较简单，f (x,y,z) = f (z) 时，时，先二后一法先二后一法用这种方法计算比较简便用这种方法计算比较简便 .先二后一法先二后一法先一后二法先一后二法Dz解解2解解1xyzDxy计算很繁！计算很繁！解解先二后一法先二后一法2. 2. 在柱面坐标系下三重积分的计算在柱面坐标系下三重积分的计算规定：规定： 柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐
10、标的关系为如图，三个坐标面分别为如图，三个坐标面分别为圆柱面圆柱面；半平面；半平面；平平 面面如图，柱面坐标系中的体积元素为如图，柱面坐标系中的体积元素为体积元素：体积元素： 一般地一般地, 当积分区域在坐标面上的投影区域是当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域圆域或者或者扇形域扇形域, 被积函数含有式子被积函数含有式子 x2 +y2 时时, 用用柱面坐标变换计算三重积分比较简单柱面坐标变换计算三重积分比较简单.解解知交线为知交线为解解解解3. 3. 在球面坐标系下三重积分的计算在球面坐标系下三重积分的计算如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面球面坐标
11、系中的体积元素球面坐标系中的体积元素:解解解解注注:解解作作变换：变换：称为广义称为广义球面坐标球面坐标变换变换 .4.4.利用对称性化简三重积分的计算利用对称性化简三重积分的计算使用对称性时应注意使用对称性时应注意：. 积分区域关于坐标面的对称性；积分区域关于坐标面的对称性；. 被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇偶性偶性解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,解解由对称性知由对称性知交线为交线为例例1515 解解被积函数是被积函数是 的的偶函数偶函数,（北京大学（北京大学20012001年考
12、研题）年考研题）实例实例: :求非均匀曲线形物体的质量求非均匀曲线形物体的质量均匀曲线形物体的质量均匀曲线形物体的质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值9.4 9.4 第一型（对弧长）第一型（对弧长） 曲线积分曲线积分问题的提出问题的提出近似代替近似代替定义定义被积函数被积函数积分弧段积分弧段弧长微元弧长微元推广：推广：注意：注意：第一型曲线积分的物理意义：第一型曲线积分的物理意义： 几何意义：第一型曲线积分的性质：第一型曲线积分的性质： 即：第一型曲线积分与曲线即：第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关的方向无关.(定义中定义中的弧长的弧长与与曲线的方向无关）曲线的方向无关）
13、定理定理 用用L的方程代换的方程代换 弧微分弧微分换限换限注意注意: :把第一型曲线积分化为定积分计算时，把第一型曲线积分化为定积分计算时，证明略证明略特殊情形特殊情形:推广推广:例例1解解解解 例例3解解解解yzO1x例例5解解 由坐标的轮换对称性由坐标的轮换对称性, 知知9.5 第一型（对面积）曲面积分实例实例 所谓曲面光滑即所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切曲面上各点处都有切平面平面, ,且当点在曲面且当点在曲面上连续移动时上连续移动时, ,切平切平面也连续转动面也连续转动. .问题的提出问题的提出定义定义 当积分曲面是封闭曲面时当积分曲面是封闭曲面时,常记常记 第一型曲面积分的第一型曲面
14、积分的物理意义物理意义:曲面的质量曲面的质量 第一型曲面积分第一型曲面积分有如定积分类似的性质有如定积分类似的性质 , 从略从略 .第一型曲面积分的计算曲面的面曲面的面 积积 元元 素素 换换 元元 换换 域域换面积元素换面积元素定理定理 证明略证明略则则则则类似地：类似地：解解关于关于轴对称轴对称,被积被积函数是关于函数是关于的奇的奇函数函数. .例例1 1解解解解其中其中例例4 4解解关于关于轴对称，被积函数轴对称，被积函数是关于是关于的奇的奇函数函数. .例例5 5 解解解解在计算第一型曲面积分时，要充分利用被积函数在计算第一型曲面积分时，要充分利用被积函数定义在积分曲面上，定义在积分曲面上，数的奇偶性等特点简化积分计算数的奇偶性等特点简化积分计算 . 积分曲面的对称性及被积函积分曲面的对称性及被积函例例6 6 9.6 数量值函数积分学的应用一一. . 几何应用几何应用解解解解 解解 先先二二后后一一法法二二. . 质量质量 三三. . 质量重心质量重心 重心重心 解解 解解四四. . 转动惯量转动惯量薄片对于薄片对于 轴的轴的转动惯量转动惯量薄片对于薄片对于 轴的轴的转动惯量转动惯量解解解解五五 . . 引力引力立体对单位质点立体对单位质点 的引力为的引力为为引力常数为引力常数.先二后一法先二后一法
