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1、1CH1CH1复数及复变函数复数及复变函数复数及复变函数复数及复变函数 1 1、复数及其代数运算、复数及其代数运算 2 2、复数的表示方法、复数的表示方法 3 3、复数的乘幂与方根、复数的乘幂与方根 4 4、区域、区域 5 5、复变函数、复变函数 6 6、复变函数的极限与连续性、复变函数的极限与连续性22009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换& 1. 1. 复数的概念复数的概念 1 1复数及其代数运算复数及其代数运算& 3. 3. 共轭复数共轭复数& 2. 2. 代数运算代数运算
2、32009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换A 一般任意两个复数不能比较大小一般任意两个复数不能比较大小. .1. 复数的概念复数的概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为复数为复数.复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 判断复数相等判断复数相等42009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章
3、复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2. 代数运算代数运算四则运算定义四则运算定义52009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)
4、=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同与实数相同）即：）即：62009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭运算共轭运算定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)72009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数
5、8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例1 182009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换& 1. 1. 代数形式代数形式 2 2 复数的表示方法复数的表示方法3 3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根& 4. 4. 指数形式指数形式& 3. 3. 三角形式三角形式& 2. 2. 几何形几何形式式92009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 代数形式
6、（点表示）代数形式（点表示）点的表示：点的表示：A 数数z与点与点z同义同义. .102009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换2. 几何形式（向量表示）几何形式（向量表示）oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)112009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数
7、及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz.A z=0=0时，辐角不确定（不定义）时，辐角不确定（不定义） 计算计算argz(z0) 的公式的公式122009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换A 当当z落于一落于一, ,四象限时，不变四象限时，不变. . A 当当z落于第二象限时，加落于第二象限时，加
8、 . . A 当当z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 . . 132009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知由向量表示法知142009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换3. 3. 三角形式三角形式 乘积与商乘积与商设设 z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2) 则则 z1z2=
9、r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2)因此因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2152009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换几何意义：几何意义： 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍倍.oxy(z)z1z2z2A 定理定理1 1可推广到可推广到n 个复数的乘积个复数的乘积. .162009,Henan
10、PolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换4. 指数表示法指数表示法模一个辐角172009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换注意：注意： 复数的各种表示法可以相互转化复数的各种表示法可以相互转化,以适应以适应 不同问题的需要不同问题的需要.例例1例例2例例3182009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与
11、积分变换复变函数与积分变换设设z=r(cos +isin ) ，由复数的乘法定理和数学归纳法，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明可证明 zn = rn(cos n+isin n).复数的复数的乘幂乘幂定义定义 n个相同的复数个相同的复数z 的乘积，称为的乘积，称为z 的的n次幂，次幂， 记作记作z n，即，即z n=z z z（共共n个）个）.定义定义特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn = cosn+isin n，则有，则有 (cos+isin)n = cosn+isinn -棣模佛棣模佛(De Moivre)公式公式.192009,HenanPolytechnicUniversi
12、ty第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换问题问题 给定复数给定复数z，求所有的满足，求所有的满足 n = z 的复数的复数.复数的复数的方根方根（开方）乘方的逆运算（开方）乘方的逆运算 当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与 相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根，202009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换A 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根
13、，个不同的根， 而而k取其它整数时，这些根又会重复出现取其它整数时，这些根又会重复出现. .几何上几何上， 的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心， 为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点个顶点.xyo212009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例4222009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复
14、变函数与积分变换此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例例5 5 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0, -1), 半径为半径为2的圆的圆.oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0
15、, 对任意对任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界；否则无界.闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,292009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换分别表示平行于分别表示平行于 y 轴和轴和 x 轴的直线。轴的直线。302009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换2. 简单曲线（或简单曲线（
16、或Jardan曲线曲线)令令z(t) = x(t) + iy(t) a t b ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z = z(t)， a t b有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.312009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z = z(t)，a t b，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1 t2时，若时，若z(t1) = z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的的重点重点. 定义定
17、义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a) = z(b)时，则时，则称此曲线称此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 . z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线322009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复平面唯一
18、地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界332009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就
19、称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域域；非单连通域称为多连通域.多连通域多连通域单连通域单连通域342009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换例如例如 |z|0）是单连通的；）是单连通的； 0r|z|R是多连通的是多连通的.单连通域单连通域多连通域多连通域单连通域单连通域352009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换5 5 复变函数复变函数& 3. 3
20、. 反函数或逆映射反函数或逆映射& 2. 2. 映射的概念映射的概念& 1. 1. 复变函数的定义复变函数的定义362009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义A 372009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换382009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数
21、及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例1例例2392009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义 定义域定义域函数值集合函数值集合在几何上，在几何上， w = f (z) 可以看作：可以看作：oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)zw=f(z)w402009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024
22、复变函数与积分变换复变函数与积分变换A 以下不再区分函数与映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）. .A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）412009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变
23、换复变函数与积分变换oxy(z)x、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2x、uy、v(z)、(w)ouv(w)o422009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4例例3oxy(z)432009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z = w2 则称则称 为为 z = w
24、2 的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数, 2支支.定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G, 函数值集合为函数值集合为G*则称则称z = (w)为为w = f (z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.442009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例5例例4 已知映射已知映射w= z3 ，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象上的象.452009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复
25、变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换6 6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性& 1. 1. 函数的极限函数的极限& 3. 3.函数的连续性函数的连续性& 2. 2. 运算性质运算性质462009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定
26、的邻域中邻域中472009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换A (1) 意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .(2) A是复数是复数. .(3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .482009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换 2. 运算性质运算性质复变函数极限
27、与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理1492009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !502009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例1例例2例例3512009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变
28、函数与积分变换复变函数与积分变换3.函数的连续性函数的连续性定义定义定理定理3522009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例4 证明证明f (z)=arg z 在原点及负实轴上不连续在原点及负实轴上不连续.证明证明xy(z)ozz532009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为
29、连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数.有界性：有界性：542009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换本章作业本章作业1.（3）；）；4.（4）；）；8.（4），（），（5）；）；14.（2），（），（4）；）；21.（4），（，（6），（），（8），（），（10）；22.（6），（），（8），（），（9）；）；26.（4）；）；31.552009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变
30、函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换复球面与扩充复平面复球面与扩充复平面南极、北极的定义南极、北极的定义(1) 复球面复球面562009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内的与复平面内的点之间存在着一一对应的关系点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球我们可以用球面上的点来表示复数面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应, 这样的球面称为
31、这样的球面称为复球面复球面. 复球面的定义复球面的定义我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作 ，因而球，因而球面上的北极面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示就是复数无穷大的几何表示.572009,HenanPolytechnicUniversity第一章复数及复变函数第一章复数及复变函数8/25/2024复变函数与积分变换复变函数与积分变换包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. . (2) (2) 扩充复平面的定义扩充复平面的定义对于复数对于复数 来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意义义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.
