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1、第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 动动 力力 学学第十二章动量定理第十二章动量定理动量定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 第十二章第十二章 动量定理动量定理 问题的提出问题的提出对对质点质点动力学问题：动力学问题：建立质点运动微分方程求解建立质点运动微分方程求解对对质点系质点系动力学问题：动力学问题：？动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理。动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理。第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-1 动量动量与与冲量冲量12-2 动量定理动量定理12-3 质心运动定理质心运动定理第第十十二二章章 动动量量定定理理动动 力力 学学
2、目录第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 人在光滑水平面小车上行走人在光滑水平面小车上行走工程工程工程工程实例实例实例实例几个实际问题几个实际问题第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 反反 冲冲 运运 动动工程工程工程工程实例实例实例实例几个实际问题几个实际问题第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 几个实际问题几个实际问题第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 实例：实例：汽车的启动与制动汽车的启动与制动几个实际问题几个实际问题第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-1 动量与冲量3-1 动量与冲量 动 量 冲 量第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-1 12-
3、1 动量与冲量动量与冲量 质点的质量质点的质量 m 与速度与速度 v 的乘积的乘积 mv 称为该称为该质点的动量质点的动量。1. 动量的定义动量的定义（1） 质点的动量质点的动量一、动一、动 量量动量是矢量，方向与速度相同，单位动量是矢量，方向与速度相同，单位: :kgm/skgm/s。鸟撞飞机势如炮弹鸟撞飞机势如炮弹 鸟重鸟重0.45公斤，飞机速度公斤，飞机速度80公里小时，相撞将产生公里小时，相撞将产生1500牛牛顿的力。顿的力。鸟重鸟重0.45公斤，飞机速度公斤，飞机速度960公里小时，相撞将产生公里小时，相撞将产生21.6万万牛顿的力。牛顿的力。鸟重鸟重1.8公斤，飞机速度公斤，飞机速
4、度700公里小时，相撞将产生比炮弹公里小时，相撞将产生比炮弹还大的冲击力。还大的冲击力。 第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-1 12-1 动量与冲量动量与冲量 K = miviKx = mivix ， Ky = miviy ， Kz = miviz1. 动量的定义动量的定义 质点系内各质点的动量的矢量和称为质点系内各质点的动量的矢量和称为质点系的动量质点系的动量，并用，并用 K 表示。表示。（2） 质点系的动量质点系的动量（3） 质点系动量的投影式质点系动量的投影式一、动一、动 量量第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 质点系的质心质点系的质心 C 的矢径表达式的矢径表达式m
5、 rC = miri将上式两端对时间求导数，即得将上式两端对时间求导数，即得K = mivi= mvC2. 质点系动量的简捷求法质点系动量的简捷求法 质点系动量质点系动量质点系动量质点系动量12-1 12-1 动量与冲量动量与冲量Kx = mivix = mvCx Ky = miviy = mvCyKz = miviz =mvCz投影到各坐标轴上有投影到各坐标轴上有可见可见，质点系的动量质点系的动量, ,等于质点系的总质量与质心速度的乘积。等于质点系的总质量与质心速度的乘积。第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 例例题题 12-1 椭椭圆圆机机构构由由匀匀质质的的曲曲柄柄 OA ，规规尺尺
6、 BD 以以及及滑滑块块B 和和 D 组组成成( 图图 a)，曲曲柄柄与与规规尺尺的的中中点点 A 铰铰接接。已已知知规规尺尺长长2l ，质质量量是是 2m1 ；两两滑滑块块的的质质量量都都是是 m2 ；曲曲柄柄长长 l ，质质量量是是 m1 ，并并以以角角速速度度绕绕定定轴轴 O 转转动动。试试求求当当曲曲柄柄 OA 与与水水平平成成角角时整个机构的动量。时整个机构的动量。xyOAD B(a)12-1 12-1 动量与冲量动量与冲量例题 3-1第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 整个机构的动量等于曲柄整个机构的动量等于曲柄OA、规尺规尺BD、滑块滑块B 和和D的动量的矢量和，即的动量的
7、矢量和，即解解: :K = KOA + KBD + KB +KD 例例例例 题题题题11-111-1 x xyO OA AD D BvDvAvBvEE12-1 12-1 动量与冲量动量与冲量系统的动量在坐标轴系统的动量在坐标轴 x，y 上的投影分别为：上的投影分别为：已知：已知： 曲柄曲柄OA长长 l ，质量是质量是 m1，并以角速度并以角速度绕定轴绕定轴 O 转动。转动。 规尺规尺BD长长2l ，质量是质量是 2m1 ，两滑块的质量都是两滑块的质量都是 m2 。C第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-1 12-1 动量与冲量动量与冲量系统的动量在系统的动量在 y 轴上的投影为：轴上
8、的投影为： 所以，系统的动量大小为所以，系统的动量大小为方向余弦为方向余弦为xyO OA AD D BvDvAvBvEEC 例例例例 题题题题11-111-1 第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-1 12-1 动量与冲量动量与冲量 常常力力F与作用时间与作用时间t 的乘积的乘积 Ft 称为称为常常力的力的冲量冲量。并用并用 S 表示，即有表示，即有S = Ft1. 常力的冲量常力的冲量2. 变力的冲量变力的冲量冲量是矢量，方向与力相同，单位冲量是矢量，方向与力相同，单位:Ns:Ns。元冲量元冲量力力F在在微小时间段微小时间段d dt 内的内的冲量称为冲量称为力力 F 的的元冲量元冲
9、量。变力变力F 在在t 时间间隔内的冲量为：时间间隔内的冲量为：二、冲二、冲 量量dS = F dt第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-1 12-1 动量与冲量动量与冲量投影形式投影形式2. 变力的冲量变力的冲量第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-2 动量定理动量定理动量守恒定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-2 12-2 动量定理动量定理质点系的动量为质点系的动量为一、动量定理一、动量定理一、动量定理K = mivi ,该式两端对时间求导数，有该式两端对时间求导数，有分析右端，把作用于每个质点的力分析右端，把作用于每个质点的力F 分为内力分为内力F（
10、i ) 和和外力外力F( e )，则得则得因为内力之和因为内力之和则有则有第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-2 12-2 动量定理动量定理即即，质质点点系系动动量量对对时时间间的的导导数数，等等于于作作用用于于质质点点系系上上所所有有外外力力的的矢矢量量和和，这就是质点系动量定理的这就是质点系动量定理的微分形式微分形式。常称为常称为动量定理。动量定理。投影形式，即投影形式，即即即，质点系的动量在某固定轴上的投影对时间的导数质点系的动量在某固定轴上的投影对时间的导数, ,等于该质点系的所等于该质点系的所有外力在同一轴上的投影的代数和。有外力在同一轴上的投影的代数和。 动量定理动量定
11、理动量定理动量定理 第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-2 12-2 动量定理动量定理设在设在 t1 到到 t2 过程中，质点系的动量由过程中，质点系的动量由K1 变为变为 K2 ，则对上式积分，可得则对上式积分，可得二、冲量定理 可可见见，质质点点系系的的动动量量在在一一段段时时间间内内的的变变化化量量，等等于于作作用用于于质质点点系系的的外外力力在在同同一一段段时时间间内内的的冲冲量量的的矢矢量量和和。这这就就是是质质点点系系动动量量定定理理的的积积分分形形式式，也称为也称为质点系的冲量定理质点系的冲量定理。 动量定理动量定理动量定理动量定理 第十二章第十二章 动动 量量 定定
12、 理理 即即，质质点点系系动动量量在在某某固固定定轴轴上上投投影影的的变变化化量量, ,等等于于作作用用于于质质点点系系的的外外力在对应时间间隔内的冲量在同一轴上的投影的代数和。力在对应时间间隔内的冲量在同一轴上的投影的代数和。投影形式投影形式 动量定理动量定理动量定理动量定理 12-2 12-2 动量定理动量定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-2 12-2 动量定理动量定理1. 如果在上式中如果在上式中Fi（e) 0，则有则有K = K0 = 常矢量常矢量在在运运动动过过程程中中, ,如如作作用用于于质质点点系系的的所所有有外外力力的的矢矢量量和和始始终终等等于于零零，则则质
13、质点点系的动量保持不变系的动量保持不变。这就是质点系的这就是质点系的动量守恒定理。动量守恒定理。 动量定理动量定理动量定理动量定理 二、动量守恒定理二、动量守恒定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-2 12-2 动量定理动量定理2. 如果在上式中如果在上式中F ix（e) 0，则有则有K x = K0 x = 常量常量 在在运运动动过过程程中中, ,如如作作用用于于质质点点系系的的所所有有外外力力在在某某一一轴轴上上的的投投影影的的代代数数和始终等于零，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。和始终等于零，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。二、动量守恒定理二、动量守恒定理 动量
14、定理动量定理动量定理动量定理 第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 实例分析：实例分析：人在光滑水平面小车上行走人在光滑水平面小车上行走工程工程工程工程实例实例实例实例在水平方向动量守恒：在水平方向动量守恒：m1v1-m2v2=0第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 内内力力不不改改变变整整个个质质点点系系的的动动量量，但但是是质质点点系系每每一一部部分分的的动动量可能会改变。量可能会改变。工程工程工程工程实例实例实例实例 实实例例分分析析： 炮炮 车车 反反 座座第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 例例题题 12-2 火火炮炮（包包括括炮炮车车与与炮炮筒筒）的的质质量量是是 m
15、1，炮炮弹弹的的质质量量是是 m2，炮炮弹弹相相对对炮炮车车的的发发射射速速度度是是 vr，炮炮筒筒对对水水平平面面的的仰仰角角是是 （图图a）。设设火火炮炮放放在在光光滑滑水水平平面面上上，且且炮炮筒筒与与炮炮车车相相固固连连，试试求求火火炮炮的的后后坐坐速速度度和和炮炮弹弹的的发射速度。发射速度。(a)ABFAFBm1gm2guxyvr例题 3-212-2 12-2 动量定理动量定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 取取火火炮炮和和炮炮弹弹（包包括括炸炸药药）这这个个系系统作为研究对象。统作为研究对象。解解: 设设火火炮炮的的反反座座速速度度是是 u，炮炮弹弹的的发发射射速度是速度
16、是 v，对水平面的仰角是对水平面的仰角是 （图图b）。 炸炸药药（其其质质量量略略去去不不计计）的的爆爆炸炸力力是是内内力力，作作用用在在系系统统上上的的外外力力在在水水平平轴轴 x 的的投影都是零，即有投影都是零，即有 Fix = 0。 可可见见，系系统统的的动动量量在在轴轴 x 上上的的投投影影守守恒恒，考考虑虑到到初初始始瞬瞬时时系系统统处处于于静静止止，即即有有 K0x = 0，于是有于是有Kx = m2vcos m1u = 0(a)ABFAFBm1gm2guxyvr(b) vvevr 例例例例 题题题题12-212-2 第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 另一方面，对于炮弹应用
17、速度合成定理，可得另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得v = ve + vr考考虑虑到到 ve = u，并并将将上上式式投投影影到到轴轴 x 和和 y 上上，就得到就得到vcos = vrcos u vsin = vrsin 联立求解上列三个方程，即得联立求解上列三个方程，即得Kx = m2vcos m 1u = 0(b) vvevrABFAFBm1gm2guxyvr 例例例例 题题题题11-211-2 第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-3 质心运动定理18-3 质心运动定理质心运动定理质心运动守恒定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 质点系动量定理质点系动量定理引入
18、质心的加速度引入质心的加速度 aC = dvc / dt，则，则上式可改写成上式可改写成maC = Fi（e）即即，质点系的总质量与其质心加速度的乘积质点系的总质量与其质心加速度的乘积, ,等于作用在该质点系上所有等于作用在该质点系上所有外力的矢量和（主矢）外力的矢量和（主矢）, ,这就是这就是质心运动定理质心运动定理。一、质心运动定理一、质心运动定理一、质心运动定理 把质点系动量的表达式把质点系动量的表达式 K = mivi = mvC代入代入上式，可得上式，可得 1. 质心运动定理质心运动定理12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第
19、十二章 动动 量量 定定 理理 12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理 2. 投影表达式投影表达式mac = F i（e）质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 即即，如如作作用用于于质质点点系系的的所所有有外外力力的的矢矢量量和和（主主矢矢）始始终终等等于于零零，则则质质心心运运动动守守恒恒，即即质质心心作作惯惯性性运运动动；如如果果在在初初瞬瞬时时质质心心处处于于静静止止，则则它它将停留在原处。将停留在原处。1. 如果如果Fi（e） 0，则由上式可知则由上式可知 aC
20、= 0，从而有从而有vc = 常矢量常矢量maC = Fi（e）质心运动定理质心运动定理二、质心运动守恒定理二、质心运动守恒定理12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 2. 如果如果Fix (e) 0，则由上式可知则由上式可知 d2xC / dt 2 = aCx = 0，从而从而dxC / dt = vCx = 常量常量即即，如如果果作作用用于于质质点点系系的的所所有有外外力力在在某某固固定定轴轴上上投投影影的的代代数数和和始始终终等等于于零零, ,则质心在该轴方向的运动守恒。则质心在该轴方向的运动守恒。
21、质心运动守恒质心运动守恒质心运动守恒质心运动守恒质心运动定理质心运动定理投影表达式投影表达式另另外外，如如果果初初瞬瞬时时质质心心的的速速度度在在该该轴轴上上的的投投影影也也等等于于零零（即即vCx = 0),),则则质质心沿该轴的位置坐标不变心沿该轴的位置坐标不变。即即xC = xC0 = 常量常量12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 实例分析：实例分析：汽车的启动与制动汽车的启动与制动第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 实例分析：实例分析：汽车的启动与制动汽车的启动与制动第十二章第十二章 动动
22、 量量 定定 理理 实实 例例 分分 析析maC= FNmg ,mgmgF FN Na aC CFN = m(aC +g)第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 实实 例例 分分 析析:定向爆破定向爆破第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 PVc质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理 均均质质曲曲柄柄AB长长r，质质量量为为m1，假假设设受受力力偶偶作作用用以以不不变变的的角角速速度度转转动动，并并带带动动滑滑槽槽连连杆杆以以及及与与它它固固连连的的
23、活活塞塞D，如如图图所所示示。滑滑槽槽、连连杆杆、活活塞塞总总质质量量为为m2 ，质质心心在在点点C。在在活活塞塞上上作作用用一一恒恒力力F。滑滑块块B质质量量为为m，不不计计摩擦，求作用在曲柄轴摩擦，求作用在曲柄轴A处的水平反力处的水平反力Fx。 BCbDF FF Fx xxyA例题例题 12-3第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 BCbDF FF Fx xxyA 选取整个机构为研究的质点系。选取整个机构为研究的质点系。解：解：Em m1 1g gm m2 2g gF Fy yF FNNm mg gaEaBaC即即由由质心运动定理质心运动定理求得作用在曲柄轴求得作用在曲柄轴A处的水平反
24、力处的水平反力 得得第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 BCbDF FF Fx xxyA 选取杆选取杆AB和滑块和滑块B为研究的质点系。为研究的质点系。解：解：E即即由由质心运动定理质心运动定理求得作用在曲柄轴求得作用在曲柄轴A处的竖直反力处的竖直反力 得得如何求作用在曲柄轴如何求作用在曲柄轴A处的竖直反力？处的竖直反力？ F F1 1m m1 1g gF Fy ym mg g F Fx xAEaEaBB 讨 论第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理 例例题题 12-4 电电动动机机的的外外壳壳用
25、用螺螺栓栓固固定定在在水水平平基基础础上上，定定子子的的质质量量是是 m1，转转子子的的质质量量是是 m2，转转子子的的轴轴线线通通过过定定子子的的质质心心 O1。制制造造和和安安装装的的误误差差，使使转转子子的的质质心心 O2对对它它的的轴轴线线有有一一个个很很小小的的偏偏心心距距 e。求求转转子子以以匀匀角角速速度度 转转动动时时，电动机所受的总水平反力和铅直反力。电动机所受的总水平反力和铅直反力。例题 3-6第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 取整个电动机（包括定子和转子）作为研究对象。取整个电动机（包括定子和转子）作为研究对象。解：解：e eO1O2xytm1gm2gFxFya2
26、由由质心运动定理有质心运动定理有由此求得电动机所受的总水平反力和铅直反力由此求得电动机所受的总水平反力和铅直反力Fx = m2e2costFy = (m1 + m2)g m2e2sint第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 例例题题 12-5 若若上上例例中中电电动动机机没没有有用用螺螺栓栓固固定定，各各处处摩摩擦擦不不计计，初初始始时时电电动动机机静静止止。试试求求：（1 1） 转转子子以以匀匀角角速速 转转动动时时电电动动机机外外壳壳在在水水平平方方向向的的运运动动方方程程；（2）电电动动机机跳跳起起的的最最小角速度。小角速度。e etm1gm2gO1O2xyOas例题 3-7第十二章
27、第十二章 动动 量量 定定 理理 实实 例例 分分 析析第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 实实 例例 分分 析析第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 1. 电动机外壳在水平方向的运动方程电动机外壳在水平方向的运动方程12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理设电动机的水平位移为设电动机的水平位移为 x 。由于电动机不固定，且不计摩擦，故外力在水平轴上的投影之和等由于电动机不固定，且不计摩擦，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即于零，即Fix 0。则有则有又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不
28、变。即有持不变。即有xC 0 = a，已知已知e etm1gm2gO1O2xyOaxFy解解第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 由由xC = xC0 解得电动机外壳在水平方向的运动方程：解得电动机外壳在水平方向的运动方程：由此可见，当转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。由此可见，当转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。 12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理已知已知 xC 0 = a，e etm1gm2gO1O2xyOaxFy第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 2. 求电动机起跳条件求电动机起跳
29、条件 电动机起跳的条件为：电动机起跳的条件为： Fy = 0 因此求得机座的铅直反力因此求得机座的铅直反力 ：由此求得电动机起跳的最小角速度由此求得电动机起跳的最小角速度e etm1gm2gO1O2xyFyOa an n12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理由由质心运动定理有质心运动定理有即即而机座铅直反力的最小值：而机座铅直反力的最小值：电动机是否会起跳电动机是否会起跳 ？起跳的条件是什么？起跳的条件是什么？ 思考题第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定
30、理实实 例例 分分 析析第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理解题的步骤：质心运动定理解题的步骤：（1）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束力；）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束力；（2）为求未知力，可计算质心坐标，求质心的加速度，然）为求未知力，可计算质心坐标，求质心的加速度，然后应用质心运动定理求解。后应用质心运动定理求解。（3）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，其解法）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，其解法与质点动力学第二类问题相同；与质点动力学第二类问题
31、相同；（4）如果外力主矢为零，且初始时质点系为静止，则质心）如果外力主矢为零，且初始时质点系为静止，则质心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心的坐标，令其相等，坐标保持不变。分别列出两个时刻质心的坐标，令其相等，即可求得所求质点的位移。即可求得所求质点的位移。第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 例题例题 12-6如图所示，在静止的小船上，一人自船头走如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为到船尾，设人质量为m2，船的质量为船的质量为m1 ，船长船长l，水的阻力水的阻力不计。求船的位移。不计。求船的位移。 Olxabxxym m1 1g gm m2 2g gm m1 1g g
32、m m2 2g g12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理例题 3-4第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 解：解：取人与船组成质点系。取人与船组成质点系。人走到船尾时，船移动的距离为人走到船尾时，船移动的距离为 x，则质，则质心的坐标为心的坐标为 取取坐坐标标轴轴如如图图所所示示。在在人人走走动动前前，系系统统的的质心坐标为质心坐标为 因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即Fix 0。则有则有又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。即有又因系统初瞬时静止，因此质心在水
33、平轴上保持不变。即有Olxabxxym m1 1g gm m2 2g gm m1 1g gm m2 2g g第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 可以求得小船移动的位移可以求得小船移动的位移上式代入上式代入Olxabxxym m1 1g gm m2 2g gm m1 1g gm m2 2g g第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 例题例题12-7 如图表示水流流经变截面弯管的示意图。如图表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求流体对管壁的设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求流体对管壁的作用力。作用力。 a aa aa a1 1a a1 1b b1 1b b1
34、 1b bb bF FWWF Fa av vb bv va aF Fb b12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 从管中取出所研究的两个截面从管中取出所研究的两个截面aa与与bb之间的流体作为质点系。之间的流体作为质点系。时间间隔时间间隔dt内质点系动量的变化为内质点系动量的变化为 a aa aa a1 1a a1 1b b1 1b b1 1b bb bF FWWF Fa av vb bv va aF Fb b解：解： 设设想想经经过过无无限限小小的的时时间间间间隔隔dt，这这一一部部分分流流体体流流到到
35、两两个个截截面面a1a1与与b1b1之之间间。令令qv为为流流体体在在单单位位时时间间内内流流过过截面的体积流量，截面的体积流量，为密度。为密度。则质点系在时间则质点系在时间dt内流过截面的质量为内流过截面的质量为12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 将动量定理应用于所研究的质点系，将动量定理应用于所研究的质点系，则有则有 因为管内流动是稳定的，有因为管内流动是稳定的，有 于是于是 dt为极小，可认为在截面为极小，可认为在截面aa与与a1a1之之间各质点的速度相同，截面间各质点的速度相同，截面b1b1与
36、与bb之间各质点的速度相同，于是得之间各质点的速度相同，于是得 F Fb ba aa aa a1 1a a1 1b b1 1b b1 1b bb bF FWWF Fa av vb bv va a12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 消去时间消去时间dt，得得 若将管壁对于流体的约束力若将管壁对于流体的约束力F分为两部分为两部分：分：F为与外力为与外力W，Fa和和Fb相平衡的管相平衡的管壁静约束力。壁静约束力。F为由于流体的动量发生为由于流体的动量发生变化而产生的附加动约束力。即变化而产生的附加动约束力。
37、即F由下由下式计算：式计算： 附加动约束力由下式确定：附加动约束力由下式确定： 设截面设截面aa与与bb的面积分别为的面积分别为Sa和和Sb，由不可压缩流由不可压缩流体的连续性定律知体的连续性定律知 a aa aa a1 1a a1 1b b1 1b b1 1b bb bF FWWF Fa av vb bv va a12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理 因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附加动约束力。加动约束力。 如图为一水平等截面直角弯管，流体对管壁的附如图为一水平等截面直角弯管，流体对管壁的附加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，即即由由此此可可见见，当当流流速速很很高高或或管管子子截截面面积积很很大大时时，附附加加动动压压力力很很大大，在在管管子子的的弯弯头头处应该安装支座。处应该安装支座。 v v2 2v v1 1O Ox xy y在应用前面的公式时应取投影形式。在应用前面的公式时应取投影形式。12-3 12-3 12-3 12-3 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理第十二章第十二章 动动 量量 定定 理理
