细分曲面造型及应用

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1、细分曲面造型及应用李桂清浙江大学浙江大学浙江大学浙江大学CADCADCGCG国家重点实验室国家重点实验室国家重点实验室国家重点实验室2001-09-282001-09-28内内容容提提要要gg1 1 背景背景gg2 2 细分曲面简介细分曲面简介gg3 3 尖锐特征造型尖锐特征造型gg4 4 曲面混合曲面混合gg5 5 N N边洞填充边洞填充gg6 6 3 3D D布状样条曲线和曲面布状样条曲线和曲面gg7 7 法向插值与网格简化法向插值与网格简化gg8 8 结论与展望结论与展望2背景gg参数曲面造型的困境参数曲面造型的困境22物体复杂性受到限制物体复杂性受到限制gg曲面的曲面的曲面的曲面的3

2、3 3 3D D D D网格逼近表示受关注网格逼近表示受关注网格逼近表示受关注网格逼近表示受关注223 3D D医学数据、医学数据、3 3D D散乱数据散乱数据gg3 3 3 3D D D D网格数据的有效表示网格数据的有效表示网格数据的有效表示网格数据的有效表示22 传输、存储、编辑、变形等传输、存储、编辑、变形等gg定位定位:算法研究算法研究32 2 细细分分曲曲面面简简介介gg2.1 2.1 细分方法发展历史细分方法发展历史gg2.2 2.2 什么是细分曲面什么是细分曲面? ?gg2.3 2.3 细分方法研究内容细分方法研究内容gg2.4 2.4 细分模式举例细分模式举例42.1 细分方

3、法发展历史gg19198080年前后年前后年前后年前后22ChaikinChaikin曲线曲线算法算法(1974)(1974)22CatmullCatmull-Clark-Clark模式模式、DooDoo- -SabinSabin特征分析特征分析（7878）gg19199090年前后年前后年前后年前后22Loop(1987)Loop(1987)，DynDyn-Levin-Levin-SabinSabin(1989,1990)(1989,1990)22BallBall & & StorryStorry：CatmullCatmull-Clark-Clark曲面曲面切平面连续切平面连续gg19199

4、 95 5年后年后年后年后 22连续条件：连续条件：R Reifeif 95, 95, ZorinZorin 98, 98, Prautzsch Prautzsch 95,9895,9822多分辩率分析及应用多分辩率分析及应用: : LounsberyLounsbery 1994, Eck 1995 1994, Eck 199522商业系统：商业系统：Maya, Maya, RendermanRenderman, , Lightwave Lightwave 3D3D等等52.22.2 什么是细分曲面什么是细分曲面?gg初始控制网格初始控制网格gg插入新顶点插入新顶点22拓扑规则拓扑规则( (顶

5、点顶点 / / 面分裂面分裂) )gg计算新顶点位置计算新顶点位置22几何规则几何规则gg细分曲面细分曲面22网格序列网格序列 的极限（图的极限（图2.1):2.1):gg细分模式细分模式细分模式细分模式= =初始网格初始网格 + + 拓扑规则拓扑规则 + + 几何规则几何规则 图2.162.3 细分方法研究内容新模式构造：高阶光滑曲面新模式构造：高阶光滑曲面新模式构造：高阶光滑曲面新模式构造：高阶光滑曲面、非流型曲面、非流型曲面、非流型曲面、非流型曲面收敛性、连续性等理论收敛性、连续性等理论收敛性、连续性等理论收敛性、连续性等理论造型方法：插值、各种特殊效果、光顺造型方法：插值、各种特殊效果

6、、光顺造型方法：插值、各种特殊效果、光顺造型方法：插值、各种特殊效果、光顺细分曲面的逻辑运算：并、交、差细分曲面的逻辑运算：并、交、差细分曲面的逻辑运算：并、交、差细分曲面的逻辑运算：并、交、差，裁剪裁剪裁剪裁剪应用应用应用应用：大规模网格拟合及多分辨率表示：大规模网格拟合及多分辨率表示：大规模网格拟合及多分辨率表示：大规模网格拟合及多分辨率表示与参数表示的溶合与参数表示的溶合与参数表示的溶合与参数表示的溶合72.4 例1: Catmull-Clark模式gg19781978221-4 1-4 面分裂面分裂( (图图2.2)2.2)22V-V-顶点、顶点、E-E-顶点、顶点、F-F-顶点顶点2

7、2奇异点处一阶光滑，正则情形为三次奇异点处一阶光滑，正则情形为三次B B样条曲面样条曲面22图例图例( (图图2.3)2.3)图图2.22.2图图2.3 2.3 CatmullCatmull-Clark-Clark曲面曲面. .82.5 例2：Loop模式ggLoop Loop 19871987221-41-4面分裂面分裂( (图图2.4)2.4)22初始网格为三角网格初始网格为三角网格22奇异顶点处一阶光滑奇异顶点处一阶光滑gg图例图例( (图图2.5)2.5)图图2.4 1-42.4 1-4分裂分裂图图2.5 2.5 LoopLoop曲面曲面1/81/83/83/892.5 例2：蝶形（B

8、utterfly)模式gg蝶形模式蝶形模式22初始网格为三角网格，初始网格为三角网格，1-41-4面分裂面分裂22插值模式插值模式gg图例图例( (图图2.62.6) )图图2.6 2.6 图例图例. .-1/16-1/16 1/8-1/16-1/161/81/21/2102.5 例4： Doo-Sabin模式ggDoo-SabinDoo-Sabin模式模式22顶点分裂顶点分裂gg一阶光滑一阶光滑gg正则网格时为二次正则网格时为二次B B样条曲面样条曲面gg图例图例( (图图2.11)2.11)图图2.72.7顶点分裂顶点分裂图图2.7 2.7 图例图例. .113 3 尖尖锐锐特特征征造造型

9、型gg3.1 3.1 什么是尖锐特征造型？什么是尖锐特征造型？gg3.2 3.2 已有方法介绍已有方法介绍gg3.3 3.3 基于网格拓扑修改的方法基于网格拓扑修改的方法gg3.4 3.4 小结小结123.1 什么是尖锐特征？gg曲面上不光滑点构成的集合曲面上不光滑点构成的集合gg尖锐特征分类尖锐特征分类22折痕折痕 22尖刺尖刺22锥锥22角角133.2 已有方法gg已有方法已有方法已有方法已有方法22HuguesHugues Hoppe et al (1994) Hoppe et al (1994)22DeRose DeRose et al (1998)et al (1998)22Sede

10、bergSedeberg et al et al （19981998）22HabbibHabbib & Warren & Warren方法方法方法方法(1999(1999）gg存在问题存在问题存在问题存在问题22都是基于细分规则修改：不直观，不易推都是基于细分规则修改：不直观，不易推广到其它模式，复杂，需要重新考虑连续广到其它模式，复杂，需要重新考虑连续性问题性问题143.3 一种基于网格拓扑修改的方法gg思想思想22尖锐特征的尖锐特征的内部内部顶点和边顶点和边 边界边界顶点和边顶点和边gg步骤步骤22标记：标记各类特殊效果顶点标记：标记各类特殊效果顶点22分裂：特殊效果的顶点和边分裂分裂：特

11、殊效果的顶点和边分裂22细分：以新网格生成细分曲面细分：以新网格生成细分曲面153.3.1 标记图图3.1 3.1 顶点标记顶点标记锥点锥点角点角点折痕内点折痕内点折痕端点折痕端点163.3.2 分裂（1）图图3.23.2gg折痕折痕(Crease)22被标记为网格顶点链被标记为网格顶点链( (图图3.2)3.2)22内部折痕点分裂为内部折痕点分裂为2 222折痕的每条边分裂为折痕的每条边分裂为2 222折痕端点折痕端点yy内部：分裂为内部：分裂为1 1，边界角点，边界角点yy边界：分裂为边界：分裂为2 2，边界角点，边界角点gg尖刺尖刺尖刺尖刺( (Darts)Darts)：折痕端点折痕端点

12、折痕端点折痕端点173.3.2 分裂（2）gg锥点锥点22分裂为分裂为n n个顶点个顶点( (n n为顶点的邻边数为顶点的邻边数, ,图图3.3)3.3)22多边形处理多边形处理( (图图3.4)3.4)图图3.33.3锥顶点分裂锥顶点分裂图图3.4 3.4 出现非四边形情形出现非四边形情形183.3.2 分裂（3）gg内部角点内部角点(Corners)22各条折痕其余部分与各条折痕其余部分与3.23.2节类似节类似22角点处理角点处理( (图图3.53.5折痕数为折痕数为3)3)图图3.53.5193.3.2 图例（1）gg折痕折痕: : 图图3.63.6开折痕；图表开折痕；图表3.73.7

13、闭折痕闭折痕图图3.6 3.6 开折痕的初始控制网格及效果图开折痕的初始控制网格及效果图图图3.7 3.7 闭折痕闭折痕203.3.2 图例（2）gg锥：锥：锥：锥：图图3.83.8图图3.8 3.8 锥的初始控制网格及效果图锥的初始控制网格及效果图213.3.2 图例（3）gg角角: : 图图3.93.9图图3.93.9角的初始控制网格及效果图角的初始控制网格及效果图223.3.3 连续性讨论gg在折痕上是连续的在折痕上是连续的gg沿折痕是不光滑的沿折痕是不光滑的gg非特非特尖锐特征处的连续阶尖锐特征处的连续阶22由标准细分模式确定由标准细分模式确定233.4 小结gg特点特点22直观直观直

14、观直观：基于网格拓扑修改：基于网格拓扑修改22简单简单简单简单：不改变子分规则：不改变子分规则22一致一致一致一致：归为边界的生成：归为边界的生成22易推广易推广易推广易推广：推广到其它模式：推广到其它模式22有效有效有效有效：生成大部分效果：生成大部分效果244 4 基基于于细细分分方方法法 的的参参数数曲曲面面混混合合gg4.1 4.1 曲面混合曲面混合gg4.2 4.2 基于轮廓删除的细分模式基于轮廓删除的细分模式gg4.3 4.3 基于细分曲面的混合基于细分曲面的混合gg4.4 4.4 图例图例gg4.5 4.5 小结小结25 4.1 什么是曲面混合？gg在两片或多片曲面之间进行平滑过

15、渡在两片或多片曲面之间进行平滑过渡22基曲面基曲面, ,混合曲面混合曲面gg滚动球方法滚动球方法（Rolling Balls):Rolling Balls):混合曲面次数偏混合曲面次数偏高，往往只能得到近似解高，往往只能得到近似解gg参数曲面方法参数曲面方法:不适于三片以上曲面片间的不适于三片以上曲面片间的混合混合gg隐式曲面方法隐式曲面方法: 构造与计算都比较复杂构造与计算都比较复杂ggPDEPDE方法方法方法方法: : 混合曲面形状难控制混合曲面形状难控制26 4.2 基于轮廓删除的细分模式gg以以CatmullCatmull-Clark-Clark模式为基模式模式为基模式gg方法描述方法

16、描述( (图4.1) )22采用采用CatmullCatmullCatmullCatmull-Clark-Clark-Clark-Clark方法作一次细分方法作一次细分22删除所得网格的删除所得网格的边界边边界边、顶点、面顶点、面（轮廓）（轮廓）图图4.1 4.1 初始控制网格；初始控制网格；CatmullCatmull-Clark-Clark细分；细分；删除轮廓删除轮廓. .27 4.2.1 图例 图图4.3 4.3 带凹角的曲面带凹角的曲面. . 图图4.2 4.2 逐片光滑曲面逐片光滑曲面. . gg逐段光滑曲面片逐段光滑曲面片( (图图4.2)4.2)与凹角曲面片与凹角曲面片( (图图

17、4.3)4.3)28 4.2.2 轮廓删除法生成曲面的性质gg是是CatmullCatmull-Clark-Clark曲面的一部分曲面的一部分（图（图4.44.4）gg对正则网格，是双三次对正则网格，是双三次B B样条曲面样条曲面 图图4.4 4.4 新曲面与控制网格的对应新曲面与控制网格的对应. .294.3 基于细分曲面的混合 图图4.5 4.5 网格构造网格构造. .gg问题描述问题描述22基曲面为基曲面为 三次样条三次样条22构造细分混合曲面构造细分混合曲面gg初始网格构造初始网格构造（图（图4.5)4.5)22从基曲面上各取三行顶点从基曲面上各取三行顶点22加入若干新顶点加入若干新顶

18、点22新顶点计算新顶点计算304.4 图例 图图.6 .6 三片曲面混合三片曲面混合. .图图.7 .7 六管道混合控制网格六管道混合控制网格. .gg三张曲面片的混合三张曲面片的混合( (图图4.6)4.6)、六通管六通管( (图图4.7)4.7)314.5 小结gg基于轮廓删除的边界生成方法基于轮廓删除的边界生成方法gg对三次对三次B B样条曲面进行混合样条曲面进行混合, , 拼接拼接gg新顶点计算：启发式新顶点计算：启发式+ +交互交互325 基于细分方法 的参数曲面 边洞填充gg5.1 5.1 N N边洞填充回顾边洞填充回顾gg5.2 5.2 基于细分曲面的基于细分曲面的N N边洞边洞

19、 填充填充gg5.3 5.3 基于细分曲面的基于细分曲面的N N边洞边洞 填充填充gg5.4 5.4 实验结果实验结果gg5.5 5.5 小结小结33 5.1 N边洞填充回顾(1)gg复杂物体造型时，需要由多片曲面拼接，复杂物体造型时，需要由多片曲面拼接，从而导致从而导致N N边洞边洞( (图图5.1-5.3)5.1-5.3)图图5.15.1图图5.25.2图图5.35.334 5.1 N边洞填充回顾(2)gg基于参数曲面的两类方法基于参数曲面的两类方法22四边或三边片拼接方法（DuDu 1990, 1990, Gregory 1989Gregory 1989，19941994，1999, 1

20、999, VaradyVarady 1991,Ye1996,Wu 19961991,Ye1996,Wu 1996）22N边曲面片拼接方法边曲面片拼接方法（CharrotCharrot 1987, 1987, HosakaHosaka 1984, Loop 1989, 1984, Loop 1989, SchichtelSchichtel 1993, Loop 1990, 1993, Loop 1990, KuriyamaKuriyama 1994 1994）gg存在问题存在问题: 相容性问题，相容性问题，N N边域参数化问题边域参数化问题35gg以细分曲面为填充曲面的两个方法以细分曲面为填充曲

21、面的两个方法22Adi Adi LevinLevin方法方法: :修改修改Catmull-ClarkCatmull-Clark细分规细分规则则22Storry & BallStorry & Ball方法方法: : 基曲面是三次基曲面是三次HermiteHermite曲面，通过构造初始控制网格实现插值曲面，通过构造初始控制网格实现插值gg存在的问题存在的问题: :22前者需要修改细分规则涉及复杂的连续性分前者需要修改细分规则涉及复杂的连续性分析析; ;两种方法在拼接处只达到一阶连续两种方法在拼接处只达到一阶连续 5.1 N边洞填充回顾(3)36 5.2 基于细分曲面的N边洞 填充gg问题描述问题

22、描述22参数曲面为三次样条参数曲面为三次样条22构造细分填充曲面构造细分填充曲面gg方法方法22取基曲面前三行顶点取基曲面前三行顶点22增加增加1 1个新顶点，连接个新顶点，连接关系如图关系如图5.45.4所示所示图图5.4 5.4 ( (a)Na)N边边洞洞;(;(b)b)细细分分曲面的初始控制网格曲面的初始控制网格. .( (a)a)( (b)b)37 5.3 基于细分曲面的N边洞 填充gg问题描述与构造方法与问题描述与构造方法与问题描述与构造方法与问题描述与构造方法与 填充完全相同填充完全相同填充完全相同填充完全相同gg中心顶点采用中心顶点采用中心顶点采用中心顶点采用rautzschra

23、utzschrautzschrautzsch- - - -UmlaufUmlaufUmlaufUmlauf权值权值权值权值图图5.5 5.5 与奇顶点相邻的边点与面点模板与奇顶点相邻的边点与面点模板. .比较比较38 5.4 实验结果 图图5.7 5.7 六边洞填充六边洞填充. . 图图5.6 5.6 三边洞填充三边洞填充. .图图5.8 5.8 八边洞连续填充八边洞连续填充. .gg三边洞与六边洞三边洞与六边洞 填充填充( ( ( (图图5.6-5.75.6-5.7) ) ) )gg八边洞八边洞 填充填充( ( ( (图图5.85.8) ) ) )395.5 小结gg三次三次B B样条曲面的

24、样条曲面的N N边洞边洞 和和 连续连续填充填充gg基曲面与填充曲面二阶连续拼接基曲面与填充曲面二阶连续拼接 gg新顶点计算：启发式新顶点计算：启发式+ +交互交互406 6 离离散散布布状状样样条条gg6.1 6.1 背景介绍背景介绍gg6.2 6.2 离散曲率离散曲率gg6.3 6.3 离散布状样条离散布状样条gg6.4 6.4 离散离散FrenetFrenet标架标架gg6.5 6.5 3 3D D离散布状样条曲线离散布状样条曲线gg6.6 6.6 开网格上的离散布状样条曲面开网格上的离散布状样条曲面gg6.7 6.7 小结小结41 6.1 背景介绍gg3 3D D曲线造型曲线造型22曲

25、面造型曲面造型, ,娱乐设施娱乐设施( (过山车过山车),),高速公路高速公路gg构造光顺曲线曲面的两种方法构造光顺曲线曲面的两种方法22最小能量方法最小能量方法: :MoretonMoreton 92,Welch & 92,Welch & Witkin Witkin 929222曲率分布方法曲率分布方法yyBrunnettBrunnett & Kiefer 94: & Kiefer 94:分段多项式曲率函数分段多项式曲率函数, ,Frey&Field 00Frey&Field 00：单调曲率的圆锥曲线段单调曲率的圆锥曲线段, , Meek Meek 91:91:布状样条布状样条. .42 6

26、.2 离散曲率(1)gg多边形离散曲率估计多边形离散曲率估计( (顶点曲率顶点曲率) )图图6.1 6.1 多边形和曲率圆多边形和曲率圆. . 图图6.26.2 凹和凸顶点凹和凸顶点. .43 6.2 离散曲率(2)gg网格离散平均曲率估计网格离散平均曲率估计（DesbrunDesbrun 2000) 2000)22平均曲率为如下向量模长，是一个积分均值平均曲率为如下向量模长，是一个积分均值 图图6.3 6.3 顶点顶点I I的的1-1-邻域及边有两对角邻域及边有两对角. .44 6.3 离散布状（Clothoid)样条(1)gg离散布状样条曲线离散布状样条曲线(S(Schneider chn

27、eider & & Kobbelt Kobbelt 19991999) )22 , , , 22 称为关于称为关于 的的PDCS(PDCS(图图6.4)6.4)，如果，如果yy均匀参数化：均匀参数化： ， yy线性分布线性分布 , , gg存在问题:只能得到平面曲线只能得到平面曲线 图图6.4 6.4 新旧多边形新旧多边形45 6.3 离散布状样条(2)gg 闭网格上的离散布状样条曲面（闭网格上的离散布状样条曲面（DCSS)DCSS)22已知网格已知网格 和和 且且 22插值顶点插值顶点和和内部顶点内部顶点 22 称称 为为 的的DCSSDCSS，如果如果( (图图6.5)6.5)yy内部顶点

28、均匀参数化内部顶点均匀参数化yy平均曲率是逐片线性分布的平均曲率是逐片线性分布的gg存在问题存在问题: :22不能自然推广到开网格上不能自然推广到开网格上 图图6.56.5白色：新网格白色：新网格; ; 黄色黄色: : 旧网格旧网格46 6.4 离散Frenet标架gg多边形多边形 离散离散FrenetFrenet 标架定义为标架定义为( (图图6.66.6):):图图6.6 6.6 离散离散FrenetFrenet标架标架. .47 6.5 3D离散布状样条曲线(1)gg离散曲率密切向量离散曲率密切向量gg3 3D D离散布状样条离散布状样条(3(3D DCS)D DCS)22均匀参化均匀参

29、化22最小二乘意义下离散曲率密切向量线性分布最小二乘意义下离散曲率密切向量线性分布取极小值48 6.5 3D离散布状样条曲线(2)gg构造构造3 3D DCSD DCS的迭代算法的迭代算法( (从从3 3D D多边形多边形 构造构造 ) )22对对 作一次作一次r r倍线性线分得倍线性线分得22从从 到到 重复如下步骤重复如下步骤( (图图6.7,6.8)6.7,6.8)y求 中插值顶点的离散曲率密切法向y估计 的离散Frenet标架2所有 的顶点个数相同: 图图6.7 6.7 新顶点计算新顶点计算 图图6.8 6.8 流程流程求曲率49 6.5 3D离散布状样条曲线(3)gg图例图例 图图6

30、.9 36.9 3D DCSD DCS 图图6.10 6.10 开开3 3D DCSD DCS 图图6.11 6.11 PDCSPDCS50 6.5 3D离散布状样条曲线(3)gg迭代算法的数值收敛性迭代算法的数值收敛性22误差误差: :相应顶点距离之和相应顶点距离之和22迭代次数与平均误差关系迭代次数与平均误差关系( (图图6.12),6.12),一次细分一次细分 PDCS3D DCS3D DCS偶数序列 图图6.12 6.12 数值收敛性数值收敛性51 6.5 开网格上的离散布状样条曲面(1)gg定义定义22与闭网格类似与闭网格类似, ,但边界曲线定义成但边界曲线定义成3 3D DCSD

31、DCSgg构造构造22基本与基本与Schneider & Schneider & KobbeltKobbelt方法相同方法相同, ,但采用但采用 DesbrunDesbrun方法增强鲁棒性方法增强鲁棒性 52 6.5 开网格上的离散布状样条曲面(2) 图6.13 (a-c)开网格上的DCSS;(d-e)Loop曲面;(f-g)蝶形曲面53 6.6 小结gg定义定义离散离散FrenetFrenet标架标架和和离散曲率密切向量离散曲率密切向量gg将将P PDCSDCS推广到推广到3 3D DCSD DCS22在数值上对算法的收敛作了分析在数值上对算法的收敛作了分析gg在此基础上构造在此基础上构造开

32、网格上的开网格上的DCSSDCSS22比比LoopLoop曲面更能保持特征；比蝶形曲面更光顺曲面更能保持特征；比蝶形曲面更光顺gg用途用途22构造光顺离散曲面构造光顺离散曲面22生成光顺控制顶点生成光顺控制顶点547 7应应用用gg7.1 7.1 法向插值法向插值gg7.2 7.2 二次二次B B样条顶点和法向插值样条顶点和法向插值gg7.3 7.3 三次三次B B样条顶点和法向插值样条顶点和法向插值gg7.4 7.4 三角网格简化三角网格简化gg7.5 7.5 一个三角网格简化算法一个三角网格简化算法gg7.6 7.6 小结小结 55 7.1 法向插值gg法向插值应用法向插值应用22显示屏曝

33、光用的校正透镜显示屏曝光用的校正透镜 毕毕20002000，曹，曹2000200022曲线和曲面形状的设计曲线和曲面形状的设计Biermann 2000Biermann 2000gg传统参数方法传统参数方法22反求顶点实现位置插值反求顶点实现位置插值FFarin arin 1997199722逐片构造实现法向插值逐片构造实现法向插值 曹曹 2000 2000 gg存在问题存在问题22把法向分解为切向，不唯一把法向分解为切向，不唯一, ,一阶连续一阶连续56 7.2 二次B样条顶点与法向插值gg问题描述问题描述：（图：（图7.1)7.1)22矩形网格矩形网格 + +顶点法向顶点法向N N22求求

34、: :二次二次B B样条插值曲面样条插值曲面gg二次二次B B样条曲面性质样条曲面性质 22过四边形面的中心过四边形面的中心( (图图7.2)7.2)22中心点处法向为四边形的平均法向中心点处法向为四边形的平均法向图图7.1 7.1 顶点与法向顶点与法向图图7.2 7.2 四边形四边形57 7.2.1 方法(图7.3)gg设设网格网格 与与 有相同拓扑有相同拓扑gg求求W W使使 的四边形面中心对应的四边形面中心对应V V中指定顶点中指定顶点gg以以DooDoo- -SabinSabin模式对模式对 细分得细分得gg旋转旋转 的与插值顶点相对应的四边形面的与插值顶点相对应的四边形面, , 但保

35、持中心不变但保持中心不变DSDS细分细分图图7.3 7.3 流程流程 58 7.2.2 实验结果gg两组不同法向的结果两组不同法向的结果（图图7.47.4）gg分片构造分片构造, ,避免求解大型线性方程组避免求解大型线性方程组( (图图7.57.5）图图7.4 7.4 单片插值单片插值 图图7.5 7.5 分片构造分片构造59 7.3 三次B样条顶点与法向插值gg问题描述：问题描述：22矩形网格矩形网格V+V+顶点法向顶点法向N N22求求: :三次三次B B样条插值曲面样条插值曲面gg三次三次B B样条曲面性质样条曲面性质 22过过 模板中心模板中心( (图图7.6)7.6)22中心点处法向

36、为四边形的平均法向中心点处法向为四边形的平均法向图图7.6 7.6 模板模板 60 7.3.1 方法(图7.7)gg设设网格网格 与与 有相同拓扑有相同拓扑gg求求gg对对 作作CatmullCatmull-Clark-Clark细分得细分得gg对对 作作DooDoo- -SabinSabin细分得细分得gg旋转旋转 中模板使插值法向中模板使插值法向CCCC细分细分图图7.7 7.7 流程流程 DSDS细分细分61 7.3.2 实验结果gg三次三次B B样条插值曲面样条插值曲面( (图图7.8)7.8)gg法向分布与光顺法向分布与光顺( (图图7.9)7.9)图图7.8 7.8 单片插值单片插

37、值 图图7.9 7.9 分片构造分片构造62 7.4 三角网格简化(1)gg三角网格简化分类三角网格简化分类( (按简化网格顶点的构成，按简化网格顶点的构成，图图7.10)7.10)22无新顶点无新顶点 KalvinKalvin 1996, 1996, 马小虎马小虎1998, 1998, Schroeder 1992, Schroeder 1992, 周昆周昆19981998 22全部新顶点全部新顶点Greg Turk 92,Eck 1995Greg Turk 92,Eck 199522混合型混合型Hoppe 93,96,97 Hoppe 93,96,97 图图7.10 7.10 分类图示分类

38、图示63 7.4 三角网格简化(2)gg基于三角形折叠的方法基于三角形折叠的方法 HamannHamann 1994 1994 22三角形折叠（图三角形折叠（图7.117.11） 22新顶点计算：二次曲面拟合新顶点计算：二次曲面拟合( (图图7.12)7.12)yy较复杂较复杂yy可能不稳定可能不稳定图图7.12 7.12 新顶点计算新顶点计算 折叠折叠图图7.11 7.11 三角形折叠三角形折叠. .64 7.5 一个三角网格简化算法(1)gg三角形三角形 平坦度平坦度( (图图7.13)7.13)图7.13 的1-环.T65 7.5 一个三角网格简化算法(2)gg新顶点计算新顶点计算22蝶

39、形模式蝶形模式22提取提取1-1-环环( (图图7.3)7.3)22逼近解逼近解( (图图7.4)7.4)图7.14 的1-环.图7.15 的1-环.66 7.5 三角网格简化(3)gg改进改进 李现民李现民 2001 2001 22基于边折叠基于边折叠gg图例图例( (图图7.16)7.16) 原网v=48485,f=96966r=21.68%r=1.60%r=0.71%图7.16 一个简化的例子67 7.6 小结gg法向插值法向插值22给出二次和三次给出二次和三次B B样条曲面的简单性质样条曲面的简单性质22应用细分模式设计求解插值曲面的方法应用细分模式设计求解插值曲面的方法22一、二阶连

40、续一、二阶连续; ;可分片求解可分片求解gg三角网格简化三角网格简化22提出一种平坦度度量方法提出一种平坦度度量方法22采用蝶形模式求新顶点采用蝶形模式求新顶点688 8 结结论论与与展展望望gg8.1 8.1 结论结论gg8.2 8.2 将来的工作将来的工作 698.1 结论gg基于网格拓扑修改的尖锐特征生成方法基于网格拓扑修改的尖锐特征生成方法gg曲面混合曲面混合 & N边洞填充边洞填充,二阶连续拼接二阶连续拼接gg3D DCS & 开网格上的开网格上的DCSSgg把蝶形细分模式应用于参数曲面法向插值把蝶形细分模式应用于参数曲面法向插值 & 三角网格简化三角网格简化 70gg生成生成非等参线的尖锐特征非等参线的尖锐特征ggDCSS的的造型技术造型技术,其它其它动态细分方法动态细分方法gg基于细分曲面的基于细分曲面的实体造型实体造型gg带细节的带细节的细分曲面拟合细分曲面拟合及应用（如：于及应用（如：于3D网格网格重构或重新网格化等）重构或重新网格化等）8.2 将来的工作719 9 致致谢谢谢谢大家72