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1、实验：常微分方程的符号解实验：常微分方程的符号解 一、实验目的一、实验目的(1) 熟练掌握熟练掌握Matlab求解常微分方程和方求解常微分方程和方程组符号解的函数和基本方法程组符号解的函数和基本方法.(2) 掌握利用掌握利用Matlab进行常微分方程和常进行常微分方程和常微分方程组的求解微分方程组的求解.(3) 充分理解掌握常微分方程的理论知识充分理解掌握常微分方程的理论知识.二、实验的基本理论与方法二、实验的基本理论与方法 常系数微分方程的基本概念常系数微分方程的基本概念三、实验使用的函数与命令三、实验使用的函数与命令求解线性常微分方程函数求解线性常微分方程函数 r=dsove(eq1,eq
2、2,., cond1,cond2,., v)可以有以下几种调用格式可以有以下几种调用格式.(1) r=dsolve(eqn,v):输入输入eqn为符号微分方程，为符号微分方程，v为自变量，为自变量，系统缺省的自变量为系统缺省的自变量为t,返回方程通解；返回方程通解；(2) r=dsolve(eq1,eq2,.,v): 输入输入eq1,eq2.为符号微分方程组，为符号微分方程组，v为自变量，返回方程通解；为自变量，返回方程通解；(3) r=dsolve(eqn, cond1,cond2,., v):输入输入eqn为符号微分方为符号微分方程，而程，而cond1,cond2初始条件，初始条件，v为自
3、变量，返回方程特解；为自变量，返回方程特解；(4) r=dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v):输入输入eq1,eq2.为为符号微分方程组，而符号微分方程组，而cond1,cond2初始条件，初始条件，v为自变量，返回为自变量，返回方程组特解；方程组特解；一阶导一阶导dy/dx写成写成Dy, n 阶导写成阶导写成Dny.四、实验指导四、实验指导例1 求下列常微分方程的通解：(1) dy/dx=2xy;(2) dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)(5/2);(3) y-5y+6y=xe(2x).解 输入程序并运行 (1) dy/dx=2xy; dsolve(D
4、y=2*x*y,x) ans = C1*exp(x2) (2) dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)(5/2); dsolve(Dy-2*y/(x+1)=(x+1)(5/2),x) ans =2/3*(x+1)(3/2)*x2+4/3*(x+1)(3/2)*x+2/3*(x+1)(3/2)+C1*x2+2*C1*x+C1(3) y-5y+6y=xe(2x). dsolve(D2y-5*Dy+6*y=x*exp(2*x),x) ans =-1/2*exp(2*x)*(x2+2*x+2)+C1*exp(2*x)+C2*exp(3*x) (4) y-2y-3y=0 系统默认变量t. dsolve
5、(D2y-2*y-3*y=0) ans = C1*sinh(5(1/2)*t)+C2*cosh(5(1/2)*t)例2 求解下列微分方程组的通解(1)dy/dx=3y-2z; dz/dx=2y-z; Y,Z=dsolve(Dy=3*y-2*z,Dz=2*y-z,x) Y = -exp(x)*(-C1-2*x*C1+2*x*C2) Z = -exp(x)*(-2*x*C1-C2+2*x*C2)(2)(d2)x/dt2+dy/dt-x=e(t); (d2)y/dt2+dx/dt+y=0. X,Y=dsolve(D2y+Dy-x=exp(t),D2y+Dx+y=0) 例3 求下列常微分方程或方程组的
6、特解(1) dsolve(1+x2)*D2y=2*x*Dy,y(0)=1,Dy(0)=3,x) ans = 1+x3+3*x(2)X,Y=dsolve(Dx+Dy-x+3*y=exp(-t)-1,Dx+2*x+Dy+y=exp(2*t)+t,x(0)=48/49,y(0)=95/98) X = 3/7*t-1/49+5/17*exp(2*t)+12/17*exp(-7/5*t) Y = 1/7*t-26/49-1/17*exp(2*t)+1/2*exp(-t)+18/17*exp(-7/5*t)例4 试求一阶非线性微分方程 y=y(y-y2). dsolve(Dy=y*(1-y2) ans = 1/(1+exp(-2*t)*C1)(1/2) -1/(1+exp(-2*t)*C1)(1/2)五、实验内容与练习五、实验内容与练习1求下列常微分方程或方程组的通解：2求下列常微分方程或方程组的特解：
