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1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形第第7 7章章 弯曲变形弯曲变形 工程问题中的弯曲变形工程问题中的弯曲变形 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 简单静不定梁简单静不定梁 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-1 7-1 概概 述述 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。常工作。一、工程
2、实践中的弯曲变形问题一、工程实践中的弯曲变形问题第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。的加工精度，甚至会出现废品。 F FF F第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，则会使小车行走困难，出现爬坡现象。出现爬坡现象。P PP P第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，
3、车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。以缓解车辆受到的冲击和振动作用。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念Fx xl lx xABl l描述截面上任一点的位移描述截面上任一点的位移:1 1、形心轴的线位移、形心轴的线位移 挠度挠度 v2 2、截面绕形心轴的角位移、截面绕形心轴的角位移 转角转角 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ABF二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念x xl lx xl lF 变弯的形心轴变弯的形心轴 挠曲线挠曲线F 挠度随坐标变化的方程挠度随坐标变化的方程 挠
4、曲线方程挠曲线方程F 忽略剪切变形忽略剪切变形 + + 梁的转角一般很小梁的转角一般很小 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-2 7-2 梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式由高等数学知识由高等数学知识 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 （推广到非纯弯推广到非纯弯）（纯弯纯弯）第七章第七章 弯曲变形弯曲变形正负号确定正负号确定确定坐标系确定坐标系:v 向上为正向上为正, , 逆时针为正逆时针为正. .方程简化方程简化小变形时小变形时：xv vxv v第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-3 7-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形F C
5、、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形边界条件：边界条件：梁截面的已知位移条件梁截面的已知位移条件 连续条件：连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件连续连续: :光滑光滑: :ACDMFB$ 挠曲线在挠曲线在B、C点连续且光滑点连续且光滑第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 可动铰可动铰: :自由端：自由端：无位移边界条件无位移边界条件固定端固定端: : 连续条件：连续条件：边界条件：边界条件：ABCDFE 例例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和
6、连续条件第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例2 2：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax。l l第七章第七章 弯曲变形弯曲变形l lx xx xy y解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形l lx xx xy y梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例3：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试
7、求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax。x xy yABPl lx x解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy yABPl lx x梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy y例例4：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力。试求图示简支梁在集中力 P 作用作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定下的转角方程、挠曲线
8、方程，并确定 max 和和 vmax 。ABPCx x第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy y解：解：AC段段:ABPCx x由对称条件：由对称条件：由边界条件：由边界条件：得：得：得：得：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形x xy yABPCx xAC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形画挠曲线的大致形状画挠曲线的大致形状ADBC+_Q+MF 根据弯矩图定凹凸性，根据弯矩图定凹凸性，F 弯矩图过零点处为拐点，弯矩图过零点处为拐点，F 支座限定支座处的位移。支座限定支座处的位移。凹凹
9、凸凸凹凹直线直线大致形状大致形状第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-4 7-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。的变形，然后叠加。 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与载荷与它所引起的变形成
10、线性关系。它所引起的变形成线性关系。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形MP例例例例5 5：用叠加法求：用叠加法求：用叠加法求：用叠加法求 vC、 A、 B 。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形PM第七章第七章 弯曲变形弯曲变形PM第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例6：若图示梁：若图示梁B 端的转角端的转角 B=0，则力偶矩，则力偶矩 M 等于多少？等于多少？PMABa aCa aMABCPABC解：解：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例7: 7: 求图示外伸梁求图示外伸梁 C 点的挠度和转角。点的挠度和转角。仅考虑仅考虑BC段变形段变形( (刚化刚化AB, ,可视可视BC为悬臂梁为悬臂梁) )ABC静
11、定梁或刚架的任一横静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各截面的总位移，等于各梁段单独变形梁段单独变形 (其余梁其余梁段刚化段刚化)在该截面引起的在该截面引起的位位移的代数和或矢量和移的代数和或矢量和ABC第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ABCABC仅考虑仅考虑AB段变形段变形( (刚化刚化BC) )ABCqaqa2/2第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例8：已知：已知 E 为为常数，常数，I2=2I1，求求 WC， C。FABC第七章第七章 弯曲变形弯曲变形FABC刚化刚化AB段：段：ABCF仅考虑仅考虑 BC 段变形：段变形：刚化刚化BC段：段：F仅考虑仅考虑 AB 段变形：段变形：第七章第七
12、章 弯曲变形弯曲变形FABCABCFF第七章第七章 弯曲变形弯曲变形FABCEFABCEFABCEFABC对称性在变形分析中的应用对称性在变形分析中的应用F/2CFB例例9：已知：已知 E 为为常数，常数，I2=2I1，求求 WC， B。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例10：利用对称性求下面梁中点挠度与转角：利用对称性求下面梁中点挠度与转角 反对称反对称, 挠度为挠度为0(弯矩为弯矩为0, 拐点拐点)对称对称, 转角为转角为0qACBBACq/2ACq/2第七章第七章 弯曲变形弯曲变形反对称反对称, 挠度为挠度为0(弯矩为弯矩为0, 拐点拐点)ACq/2Cq/2第七章第七章 弯曲变形弯曲变形
13、二、梁的刚度计算二、梁的刚度计算刚度条件：刚度条件：v、 是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。正常工作时的要求。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形CL9TU40例例11：图示工字钢梁，：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。Pz zI20aI20a第七章第七章 弯曲变形弯曲变形解：由刚度条件解：由刚度条件:因此满足强度要求因此满足强度要求第七章第七章
14、 弯曲变形弯曲变形7-5 7-5 用变形比较法解静不定梁用变形比较法解静不定梁静不定度与静不定度与多余约束多余约束多余约束多余约束多余约束多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力多余反力多余反力多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度静不定度静不定度静不定度 支反力（力偶）数有效平衡方程数支反力（力偶）数有效平衡方程数静不定度多余约束数静不定度多余约束数5-3=2 5-3=2 度静不定度静不定6-36-3 = = 3 3 度静不定度静不定第七章第七章 弯曲变形弯曲变形相当系统：相当系统：受力与原静不受力与原静不定梁相同
15、的静定梁，定梁相同的静定梁，相当相当系统的选择不是唯一的。系统的选择不是唯一的。相当系统相当系统1 1相当系统相当系统2 2相当系统相当系统qABAFBqABABMA第七章第七章 弯曲变形弯曲变形总结：分析方法与分析步骤总结：分析方法与分析步骤1 1、 判断静不定度（确定多余约束数）；判断静不定度（确定多余约束数）；2 2 、解除多余约束，建立相当系统；、解除多余约束，建立相当系统；3 3 、列出多余约束处的变形协调条件、列出多余约束处的变形协调条件( (位移边界条件位移边界条件) )； 4 4、 结合平衡方程，求多余支反力。结合平衡方程，求多余支反力。解除多余约束，代之以支反力；解除多余约束
16、，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件F 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。方法：方法：方法：方法：步骤：步骤：步骤：步骤：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形AB静定基静定基: :相当系统：相当系统：AB静定基与相当系统的选取：静定基与相当系统的选取：qABFBqABABMA第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例12：求图示梁的支反力。：求图示梁的支反力。qABFBqAB解：解：1.解除多余约束，解除多余约束，2. 建立相当系统。建立相当系统。2. 建立变形协调条件建
17、立变形协调条件3. 联立求解联立求解第七章第七章 弯曲变形弯曲变形qAB解解2：1.解除多余约束，解除多余约束，2. 建立相当系统。建立相当系统。2. 建立变形协调条件建立变形协调条件3. 联立求解联立求解ABMA第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例13：为了提高悬臂梁：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁CD加固。加固。设二梁设二梁EI相同，试求：相同，试求： (1) 二梁接触处的压力；二梁接触处的压力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。a aa aA AB BC CD DP P第七章
18、第七章 弯曲变形弯曲变形A AB BC CD DP PF FD D解：解：(1)变形协调条件变形协调条件第七章第七章 弯曲变形弯曲变形解：解：(2) 加固前后加固前后AB梁的最大弯矩梁的最大弯矩A AB BP PP PA AB BF FD D第七章第七章 弯曲变形弯曲变形解：解：(3) 加固前后加固前后B点挠度点挠度A AB BP PP PA AB BF FD D第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ABAB存在装配误差的静不定问题分析存在装配误差的静不定问题分析第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例例: : 直径为直径为d 的圆截面梁的圆截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 ， maxmax=?=?AB解：
19、解：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-6 7-6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施依据依据 对比强度问题对比强度问题 或或让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面与梁的合理强度设计相似点与梁的合理强度设计相似点 与与 的比较的比较合理安排约束与加载方式（分散载荷等）合理安排约束与加载方式（分散载荷等）第七章第七章 弯曲变形弯曲变形合理安排约束与合理安排约束与加载方式加载方式l lqqFq=F/l第七章第七章 弯曲变形弯曲变形（1 1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）强度是局部量，刚度是整体量（积分）. . 辅梁、等强度梁是合理强
20、度设辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强须整体加强 小孔显著影响强度，但对刚度小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微影响甚微与梁的合理强度设计的不同点与梁的合理强度设计的不同点第七章第七章 弯曲变形弯曲变形(2)(2)强度与材料强度与材料 和和 相关相关, ,刚度与刚度与E 相关相关高强度钢一般不提高高强度钢一般不提高E钢与合金钢钢与合金钢: :E = =200 220GPa铝合金铝合金: :E = =70 72GPa(3)(3)刚度对梁的跨度更敏感刚度对梁的跨度更敏感F第七章第七章 弯曲变形弯曲变形跨度微小改变，将导致挠度显著改变跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如例如 l 缩短缩短 20， max 将减少将减少 48.8%梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取F3max l 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形
