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1、高等数学高等数学第四节第四节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出三、可微的条件三、可微的条件二、微分的定义二、微分的定义五、微分形式的不变性五、微分形式的不变性四、微分的求法四、微分的求法重点重点: 微分的定义和求法微分的定义和求法难点：微分的理解、微分的作用难点：微分的理解、微分的作用高等数学高等数学一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.高等数学高等数学再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的
2、改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?高等数学高等数学二、微分的定义二、微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )高等数学高等数学由定义知由定义知: :高等数学高等数学MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图) ) P 高等数学高等数学三、可微的条件三、可微的条件定理定理证证 (1) 必要必要性性高等数学高等数学(2) 充分充分性性高等数学高等数学例例1 1解解高等数学高等数学四、微分的求法四、微分的求法求法一求法一: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式求法二求法二: : 利用
3、函数的微分公式和微分法则利用函数的微分公式和微分法则.高等数学高等数学2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则高等数学高等数学例例2 2解解例例3 3解解高等数学高等数学五、微分形式的不变性五、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性高等数学高等数学例例4 4解解例例3 3解解高等数学高等数学例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.高等数学高等数学六、小结六、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分
4、的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:高等数学高等数学导数与微分的区别导数与微分的区别:高等数学高等数学思考题思考题高等数学高等数学思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 高等数学高等数学 作作 业业 P75: 2, 4, 7. P81: 1(单单), 2, 4.
