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1、1. 三个基本无穷小三个基本无穷小一、重点内容一、重点内容第一章第一章 无穷小与极限无穷小与极限2. 关于无穷小的比较定理关于无穷小的比较定理且在点且在点a 的某个空心邻域内的某个空心邻域内 如果如果成立，成立，其中其中 C 为常数为常数.3. 设设 q为常数为常数,则则例例1 设函数设函数 解解 求出求出 的解析表达式的解析表达式. 证证 因因例例2 证明数列证明数列 是无穷小是无穷小. 而而 是无穷小是无穷小,根据根据比较定理比较定理, 数列数列 是无穷小是无穷小.例例3 证明证明证证由由定理定理1.3, 有有 不妨设不妨设 因因于是于是定理定理1 无穷小与有界函数的乘积为无穷小无穷小与有
2、界函数的乘积为无穷小.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系则则当当 时时, 设设 在在 的某空心邻域内有定义的某空心邻域内有定义,答案答案例例4 证明证明证证不妨设不妨设 因因于是于是先证明先证明所以所以故故无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系左极限左极限与与右极限右极限几个极限不存在的例子几个极限不存在的例子:因因因因但要但要注意到注意到:求求解解 可得可得由由例例5 若若定理定理2 (局部保号性局部保号性) 与与 A 同号同号.1. 设设 且且例例6 设函数设函数 在在 a, b上可导上可导, 若若使得使得则至少有一点则至少有一点定理定理3 极限四则运算法则极限四则运算法则 则
3、有则有 设设 这是因为这是因为推论推论例例7 已知已知解解求常数求常数 a, b.典型极限典型极限当当 为非负整数时为非负整数时, 有有解解原极限原极限例例8 已知已知 求常数求常数 a, b.例例9 求求解解原式原式求求解解 即即因为因为所以所以例例10 设设准则准则I 如果数列如果数列 及及 满足下列条件满足下列条件:那么数列那么数列 的极限存在的极限存在, 且且两个极限准则两个极限准则准则准则II 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.例例11 求求解解由由夹逼定理夹逼定理例例12 求求解解 先考虑先考虑因为因为所以所以故故定义定义记作记作记作记作常用等价无穷小常用等价无穷小:定理定
4、理4 (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)其它三个更高阶的无穷小其它三个更高阶的无穷小 【 】例例13 当当B时，下面四个函数哪一个是比时，下面四个函数哪一个是比解解解解 例例14 求求也可能是连续点也可能是连续点, 需要判定需要判定.初等函数无定义的孤立点是初等函数无定义的孤立点是间断点间断点.分段函数的分段点分段函数的分段点可能是间断点可能是间断点,求函数的间断点的方法求函数的间断点的方法间断点的分类间断点的分类1. 跳跃间断点跳跃间断点2. 可去间断点可去间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.3. 第二类间断点第二类间断点解解例例15
5、 求求例例16 求函数求函数 的的间断点并判断其类型间断点并判断其类型. 解解1. 铅直渐近线铅直渐近线 (垂直于垂直于x 轴的渐近线轴的渐近线)曲线的渐近线曲线的渐近线 2. 水平渐近线水平渐近线 (平行于平行于x 轴的渐近线轴的渐近线)例例17 求出曲线求出曲线 的水平与铅直渐近线的水平与铅直渐近线. . 解解的一条水平渐近线的一条水平渐近线. . 的铅直渐近线的铅直渐近线. . 定理定理4 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.定理定理5 (
6、 (零点定理零点定理) ) 设函数设函数 在闭区间在闭区间 a, b上连续，且上连续，且与与 异号异号( (即即 ) ), 那么那么在开区间在开区间 (a, b)内至少有函数内至少有函数 的一个零点的一个零点,即至少有一点即至少有一点 使使定理定理6 闭区间上连续的函数闭区间上连续的函数, 必取得介于最大必取得介于最大值值M 与最小值与最小值m 之间的任何值之间的任何值.则函数则函数例例18 设常数设常数 a 满足满足在区间在区间0, 1上的零点个数是上的零点个数是( )(A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3B 第第二二章章 导数与微分导数与微分导数导数定义的几种常用形式定义的几种常用形式
7、重点内容：重点内容：2. 右导数右导数单侧导数单侧导数1. 左导数左导数 切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为导数的几何意义导数的几何意义（D）0例例1 设设 在点在点 可导可导, 则则【 】A.不存在不存在 B. 3 C. 2 D. 1定理定理1 可导函数都是连续函数可导函数都是连续函数.ACA. 充分条件充分条件 B. 必要条件必要条件C. 充分必要条件充分必要条件 D.无因果关系无因果关系 D解解 例例5 设设函数函数解解解解定理定理2复合函数的求导法则复合函数的求导法则推广推广对数求导法对数求导法适用范围适用范围:由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数则则例例7解
8、解切点为切点为例例8 设函数设函数 由参数方程由参数方程所确定所确定, 求求解解 (1) 例例9 设设解解解解例例11解解例例12解解例例13解解例例14 设设解解罗尔罗尔定理定理(1) 在在闭区间闭区间a, b上上连续连续;(2) 在在开区间开区间(a, b)内可导内可导;(3)使得使得第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用利用罗尔定理的关键是构造辅助函数利用罗尔定理的关键是构造辅助函数.重点内容：重点内容：2. 因子法因子法如果待证等式为如果待证等式为 如果如果作辅助函数作辅助函数且且只要只要因此因此, 另一因子另一因子 可通过可通过确定确定.( f (x)是一个因子是一个
9、因子)则则证证 设辅助函数设辅助函数在在0, 1上用上用罗尔定理罗尔定理,使得使得即有即有例例1 设设分析分析:问题转化为证问题转化为证使得使得证明在证明在拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1) 在在闭区间闭区间a, b上上连续连续;(2) 在在开区间开区间(a, b)内可导内可导;使得使得例例2 已知函数已知函数 在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导内可导,且且分析分析 第一部分用闭区间上连续函数的介值定理；第一部分用闭区间上连续函数的介值定理；证明：证明：(1) 存在存在 使得使得使得使得(2) 存在两个不同的点存在两个不同的点第二部分为双介值问题，需两次使用第二部分为双介值问题
10、，需两次使用拉格朗日中值拉格朗日中值定理定理.证证 (1) 令令且且 F(0)= -10,于是由于是由介值定理介值定理知，知， 使得使得即即 则则 F(x) 在在0,1上连续，上连续，(2) 在在 和和 上对上对 分别应用分别应用拉格朗日中值拉格朗日中值定理定理，存在两个不同的点存在两个不同的点使得使得于是于是 解解1洛必达法则求极限洛必达法则求极限解解2例例4解解即即 (1) 式成立式成立.证证例例5 证明不等式证明不等式原不等式等价于原不等式等价于例例6证证原不等式得证原不等式得证. 例例7 设设(1) 求求 的驻点的驻点(2) 求求 的极值的极值.解解(1)(2)解解例例8 设函数设函数
11、例例9 设函数设函数 在定义域内可导，在定义域内可导，(A) 的图形如右图所示的图形如右图所示则其导函数则其导函数 的图形为的图形为【 】 (B) （C） （D）A(A)无实根无实根 (B)有且仅有一个实根有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根有无穷多个实根例例10 在区间在区间 内，方程内，方程 解解C设设因因 是偶函数，先讨论是偶函数，先讨论 在在内内根的情况根的情况. 由由而而在在(0,1)内内所以所以方程方程 在在(0,1)内有内有一个实根；一个实根； 当当 x1时，时，故方程故方程 在在 内有惟一内有惟一实根实根. 因此，原因此，原方程有且仅有两个实根方程有且仅有两个实根.
