曲线积分和曲面积分

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1、曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分 曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一、主要内容一、主要内容曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定 义义性性 质质计算公式计算公式两者关系两者关系对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定义定义实质实质分、粗、和、精分、粗、和、精分、粗、和、精分、粗、和、精背景背景

2、曲面块的质量曲面块的质量流向曲面指定侧的流量流向曲面指定侧的流量性质性质线性、可加、与侧无关线性、可加、与侧无关线性、可加、与侧有关线性、可加、与侧有关计算计算一代、二换、三投影一代、二换、三投影一代、二投、三定号一代、二投、三定号联系联系曲面积分曲面积分GreenGreen公式公式, ,GuassGuass公式公式, ,StokesStokes公式公式之间的关系之间的关系或推广推广定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系关于对称性关于对称性 对面积的

3、曲面积分与侧无关，具有与三重积对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性分相类似的奇偶性你对称，我奇偶你对称，我奇偶 积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个变量具有奇偶性变量具有奇偶性 对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性化为对面积的曲面积分，再使用对称性关于对面积的曲面积分的应用关于对面积的曲面积分的应用曲面面积曲面面积曲面质量曲面质量重心坐标重心坐标转动惯量转动惯量二、典型例题二、

4、典型例题例例1 求椭圆柱面求椭圆柱面位于位于xoy 面上方面上方和和平面平面 z = y 下方的那部分的侧面积下方的那部分的侧面积解一解一 易见曲面对称于易见曲面对称于 yoz 面面解二解二对弧长的曲线积分的几何意义：对弧长的曲线积分的几何意义：柱面上的曲边梯形的面积柱面上的曲边梯形的面积侧面积侧面积注注曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例2 计算计算及及平面平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧所围立体的表面的外侧解一解一由由 Gauss 公式公式解二解二上侧上侧下侧下侧外侧外侧（用用极坐标极坐标）解解由对

5、称性由对称性例例4 计算计算所截下的部分所截下的部分解解积分曲面关于积分曲面关于 yoz 面面 、 zox 面对称面对称被积函数被积函数 | xyz | 关于关于 x 和和 y 是偶函数是偶函数由对称性由对称性例例5 计算计算解解由对称性由对称性例例6 计算计算绕绕 z 轴旋转所成的曲面的下侧轴旋转所成的曲面的下侧解解 补上曲面补上曲面取上侧取上侧则则由由 Gauss 公式公式例例7解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系向量点积法向量点积法例例8解解利用向量点积法利用向量点积法解解( (如下图如下图) )例例10 计算计算的的外表面外表面解一解一先计算先计算下侧下侧上侧上侧同

6、理同理解二解二由由 Gauss 公式公式= 0 （用对称性）（用对称性）例例11 计算曲面积分计算曲面积分解解考虑使用考虑使用 Gauss 公式公式但从但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的几何上看，积分曲面是一个开口朝下的“ 碗碗 ”扣在扣在xoy坐标面上，与坐标面上，与xoy坐标面的截痕为坐标面的截痕为故故曲面不封闭，应用曲面不封闭，应用 z = 0 （下侧）下侧） 封住碗口封住碗口但要注意但要注意在（在（0，0，0）不存在）不存在而（而（0，0，0）又在）又在 z = 0 上，故须挖去上，故须挖去（0，0，0）考虑到考虑到P,Q,R的分母为的分母为为为简化计算用半径充分小的小球面挖去原点简化计算用半径充分小的小球面挖去原点下侧下侧故由故由Gauss 公式公式测验题测验题测验题答案测验题答案