第7章力法李廉锟结构力学中南大学课件章节讲课

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1、第第七七章章 力法力法 7-1 超静定结构概述超静定结构概述7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定7-3 力法的基本概念力法的基本概念7-4力法的典型方程力法的典型方程7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例7-6对称性的利用对称性的利用7-7 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算7-8 最后内力图的校核最后内力图的校核7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算7-11* 用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱7-12* 两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱7-13 超静定结构的特性超静定结构的特性超静定

2、结构超静定结构：具有多余约束的结构。具有多余约束的结构。几何特征：几何特征：具有具有多余约束多余约束的几何不变体系。的几何不变体系。 静力特征静力特征：反力和内力反力和内力不能不能仅由平衡条件全部解出。仅由平衡条件全部解出。 外部一次超静定结构外部一次超静定结构内部一次超静定结构内部一次超静定结构一、超静定结构的一、超静定结构的静力特征静力特征和和几何特征几何特征7-1超静定结构超静定结构概述概述思考：思考：多余约束是多余约束是多余多余的吗？的吗？从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。超静定结构的超静定结构的优点优点为为:1.内力分布均

3、匀内力分布均匀2.抵抗破坏的能力强抵抗破坏的能力强7-1超静定结构超静定结构概述概述二、超静定结构的二、超静定结构的类型类型超静定梁超静定梁超静定刚架超静定刚架超静定拱超静定拱两铰拱两铰拱无铰拱无铰拱7-1超静定结构超静定结构概述概述超静定桁架超静定桁架超静定组合结构超静定组合结构7-1超静定结构超静定结构概述概述MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructuresMethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures遵循遵循同时考虑同时考虑“变形、本构、平衡变形、本构、平衡”分析超静定问分析

4、超静定问题的思想题的思想，可有不同的出发点：，可有不同的出发点： 以以力力作作为为基基本本未未知知量量，在在自自动动满满足足平平衡衡条条件件的的基基础础上上进进行行分分析析，这这时时主主要要应应解解决决变变形形协协调调问问题题，这这种种分分析方法称为析方法称为力法力法（force methodforce method）。）。三、超静定结构三、超静定结构求解方法求解方法概述概述1.力法力法-以多余约束力作为基本未知量以多余约束力作为基本未知量基本未知量：基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全当它确定后，其它力学量即可完全 确定。确定。-关键量关键量 7-1超静定结构超静定结构概述概述 以以位

5、位移移作作为为基基本本未未知知量量，在在自自动动满满足足变变形形协协调调条条件件的的基基础础上上来来分分析析，当当然然这这时时主主要要需需解解决决平平衡衡问问题题，这种分析方法称为这种分析方法称为位移法位移法（displacement methoddisplacement method）。 如如果果一一个个问问题题中中既既有有力力的的未未知知量量，也也有有位位移移的的未未知知量量，力力的的部部分分考考虑虑位位移移协协调调，位位移移的的部部分分考考虑虑力力的的平平衡衡，这这样样一一种种分分析析方方案案称称为为混混合合法法（mixture mixture methodmethod）。2.位移法位移

6、法-以结点位移作为基本未知量以结点位移作为基本未知量3.混合法混合法-以结点位移和多余约束力作为以结点位移和多余约束力作为基本未知量基本未知量7-1超静定结构超静定结构概述概述4.力矩分配法力矩分配法-近似计算方法近似计算方法 位移法位移法的变体，便于手算，不用解方程。的变体，便于手算，不用解方程。5.结构矩阵分析法结构矩阵分析法-有限元法有限元法.以上各种方法共同的以上各种方法共同的基本思想基本思想:4.消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。3.找出改造后的问题与原问题的差别；找出改造后的问题与原问题的差别；2.将其化成会求解的问题；将其化成

7、会求解的问题；1.找出未知问题不能求解的原因；找出未知问题不能求解的原因；适用于电算适用于电算 7-1超静定结构超静定结构概述概述超静定次数：超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。多余约束（联系）或基本未知力的个数。一、概念一、概念 二、确定方法二、确定方法 1 1）由）由计算自由度计算自由度 确定确定2 2）去）去约束约束法法 将多余约束去掉，使原结构转化为将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构静定结构。 ？7-2超静定次数的确定超静定次数的确定 解解除除多多余余约约束束的的办办法法确确定定超超静静定定结结构构的的超超静静定定次次数数，应应注意注意以下几点以下几点：（1）去掉去掉一

8、根链杆一根链杆，等于拆掉，等于拆掉一个约束一个约束。两铰拱，一次超静定结构。两铰拱，一次超静定结构。一次超静定桁架一次超静定桁架曲梁，静定结构。曲梁，静定结构。静定桁架静定桁架7-2超静定次数的确定超静定次数的确定去掉几个约束后成为静去掉几个约束后成为静定结构定结构, ,则为几次超静定则为几次超静定X X1 1X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3X X3 3X X1 1X X2 2X X3 3去掉一个链杆或切断一个链杆相去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束当于去掉一个约束7-2超静定次数的确定超静定次数的确定（2）去掉去掉一个铰支座一个铰支座或或一个单铰一个单铰，等于拆掉，

9、等于拆掉两个约束两个约束。（3）去掉去掉一个固定支座一个固定支座或切断或切断一个梁式杆一个梁式杆，等于拆掉，等于拆掉三个约束三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。7-2超静定次数的确定超静定次数的确定（4）在在梁式杆上加上一个单铰梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉，等于拆掉一个约束一个约束。三次超静定刚架三次超静定刚架静定三铰刚架静定三铰刚架静定悬臂刚架静定悬臂刚架（5）去掉一个去掉一个连接连接n个杆件的铰结点个杆件的铰结点，等于拆掉，等于拆掉2(n-1)个约束个约束。（6）去掉一个去掉一个连接连接n个杆件的刚结点个杆件的刚结点，等于拆掉，等于拆掉3(n-1

10、)个约束个约束。7-2超静定次数的确定超静定次数的确定五次超静定刚架五次超静定刚架注意：注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的个数是相同的式，但解除约束的个数是相同的, , 解除约束后的体系解除约束后的体系必须是几何不变的。必须是几何不变的。（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。（8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。7-2超静定次数的确定超静定次数的确定 以五个支座链杆为多余约束以五个支座链杆为多余约束静定悬臂刚架静定悬臂刚

11、架其它形式的静定刚架：其它形式的静定刚架：静定三铰刚架静定三铰刚架静定简支刚架静定简支刚架7-2超静定次数的确定超静定次数的确定3 3）框格法）框格法一个封闭无铰框格一个封闭无铰框格 个封闭个封闭无铰框格无铰框格7-2超静定次数的确定超静定次数的确定若有铰若有铰 单铰数，则单铰数，则 注意：注意：多少个封闭无铰框格？多少个封闭无铰框格？7-2超静定次数的确定超静定次数的确定三、计算示例三、计算示例 拆除多余联系变成的拆除多余联系变成的静定结构形式：静定结构形式：7-2超静定次数的确定超静定次数的确定7-2超静定次数的确定超静定次数的确定1.力法基本思路力法基本思路待解的未知问题待解的未知问题

12、原（一次超静定）结构原（一次超静定）结构1)1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构( (基本体系基本体系) )。基本体系基本体系力法基本未知量力法基本未知量去掉余约束代之以多余未去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。知力，得到基本体系。7-3力法的基本概念力法的基本概念2)2)、沿多余未知力方向建立、沿多余未知力方向建立位移协调方程位移协调方程，解方，解方程就可以求出多余未知力程就可以求出多余未知力X1。原原结结构构的的B是是刚刚性性支支座座, , 该该点点的的

13、竖竖向向位位移移是是零零。即原即原结构在的结构在的X1位移为：位移为： 位移协调条件：位移协调条件：基本结构在原有荷载基本结构在原有荷载q 和多余和多余力力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。结构相应的位移相等。变形条件变形条件在变形条件成立条件下在变形条件成立条件下在变形条件成立条件下在变形条件成立条件下, , , ,基本体系的内力和基本体系的内力和基本体系的内力和基本体系的内力和位移与原结构等价位移与原结构等价位移与原结构等价位移与原结构等价. . . .7-3力法的基本概念力法的基本概念超静定结构计算超静定结构计算静定结

14、构计算静定结构计算 基本结构基本结构（悬臂梁）悬臂梁） 对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。 7-3力法的基本概念力法的基本概念 在在荷荷载载作作用用下下B 点点产产生生向向下下的的位位移移为为1P,未未知知力力的作用将使的作用将使B点产生的向上的位移为点产生的向上的位移为1 1X 。 要使体系的受力情况与原结构一样要使体系的受力情况与原结构一样, , 则必须则必须B 的的位移也与原结构一样，要求：位移也与原结构一样，要求：位移协调条位移协调条件件1= =1X+ +1P=0=0 (a) 1P基本结构由荷载引起的竖向位移基本结构由荷载引起的竖向位移

15、, 1X 基本结构由知力引起的竖向位移。基本结构由知力引起的竖向位移。7-3力法的基本概念力法的基本概念由叠加原理由叠加原理 1X=11X11111X1 1+ +1P=0 =0 (b) 力法典型方程力法典型方程位移系数位移系数自自乘乘广义荷载位移广义荷载位移互乘互乘7-3力法的基本概念力法的基本概念将将1111、1P 1P 入力法典型方程，解得入力法典型方程，解得: : 3)3)、将将求求出出的的多多余余未未知知力力作作用用于于基基本本结结构构，用用叠叠加加法即可求出超静定结构的内力。法即可求出超静定结构的内力。7-3力法的基本概念力法的基本概念2.几个概念几个概念 力法的基本未知数力法的基本

16、未知数: :超静定结构多余约束的未知约超静定结构多余约束的未知约束力束力, , 即超静定次数。即超静定次数。 力法的基本结构力法的基本结构: :把原超静定结构的多余约束去掉把原超静定结构的多余约束去掉, , 所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。 力法的基本体系力法的基本体系: :在基本结构上加上外荷载及多余在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了基本体系。约束力，就得到了基本体系。 力法的基本方程力法的基本方程: :根据原结构已知变形条件建立的力根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件法方程。对于线性变形体系

17、，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。7-3力法的基本概念力法的基本概念选取基本体系的原则：选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。超静定的基本体系。7-3力法的基本概念力法的基本概念力法基本思路小结力法基本思路小结:根据结构组成分析，正确判断多余约束个数根据结构组成分析，正确判断多余约束个数根据结构组成分析，正确判断多余约束个数根据结构组成分析，正确判断多余约束个数超静定次数。超

18、静定次数。超静定次数。超静定次数。解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力束代以多余未知力束代以多余未知力束代以多余未知力基本未知力。基本未知力。基本未知力。基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件下的位移，建立位移协调条件下的位移，建立位移协调条件下的位移，建立位移协调条件力法典型方程。

19、力法典型方程。力法典型方程。力法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。了解决。了解决。了解决。7-3力法的基本概念力法的基本概念 超静定刚架如图所示超静定刚架如图所示, , 荷载是作用在刚性结点荷载是作用在刚性结点C上上的集中力矩的集中力矩M 。一、多次超静定的计算一、多次超

20、静定的计算原结构原结构基本结构基本结构基本体系基本体系（1）力法基本未知量）力法基本未知量X1与与X27-4力法的典型方程力法的典型方程（2 2）位位移移协协调调条条件件：基基本本结结构构在在原原有有荷荷载载M 和和多多余余力力X1、X2共共同同作作用用下下，在在去去掉掉多多余余联联系系处处的的位位移移应应与与原结构相应的位移相等。原结构相应的位移相等。（a）基本体系在基本体系在X1 1方向的位移为零，方向的位移为零，1=0 基本体系在基本体系在X2方向的位移为零方向的位移为零, , 2=0 7-4力法的典型方程力法的典型方程（b）将将 ， ， 代入代入（b）式，式，得两次超静定的力法基本方程

21、得两次超静定的力法基本方程（c）7-4力法的典型方程力法的典型方程 （3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力位力 与荷载单独作用下的弯矩图。与荷载单独作用下的弯矩图。7-4力法的典型方程力法的典型方程7-4力法的典型方程力法的典型方程（4）求出基本未知力。）求出基本未知力。将计算出来的系数与自由项代入典型方程将计算出来的系数与自由项代入典型方程得得解方程得解方程得 ，求得的求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。为正，表明与原假定的方向一致。 7-4力法的典型方程力法的典型方程先先作作弯弯矩矩图图（），把把弯弯矩矩图图画画在在杆杆件件的的受

22、受拉拉纤纤维维一一侧侧。再再作作剪剪力力图图，最最后后作轴力图。作轴力图。 由由刚刚结结点点C 的的平平衡衡可可知知M 图正确。图正确。(5)作内力图。作内力图。 7-4力法的典型方程力法的典型方程杆杆AC: 杆杆CB: 作剪力图的原则是作剪力图的原则是, , 截取每一杆为隔离体，由平截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。衡条件便可求出剪力。7-4力法的典型方程力法的典型方程取刚结点取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得为隔离体，由投影平衡条件解得 （拉），（拉），（压）（压） 作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的剪力便可求出轴力。剪力便

23、可求出轴力。7-4力法的典型方程力法的典型方程二、力法典型方程二、力法典型方程 n 次超静定定结构，力法典型方程为次超静定定结构，力法典型方程为 （7-1a） 柔柔度度系系数数 ij 表表示示当当单单位位未未知知力力Xj=1=1作作用用下下, , 引起基本体系中引起基本体系中Xi 的作用点沿的作用点沿Xi方向的位移。方向的位移。思考：柔度系数由什么的特点？思考：柔度系数由什么的特点？答：答： ， 。7-4力法的典型方程力法的典型方程 自自由由项项 iP荷荷载载作作用用下下引引起起基基本本体体系系中中Xi的的作用点沿作用点沿Xi方向的位移。方向的位移。通常先用叠加原理计算弯矩通常先用叠加原理计算

24、弯矩 由力法典型方程解出由力法典型方程解出n 个基本未知数个基本未知数X1，X2，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。后就己将超静定问题转化成静定问题了。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。7-4力法的典型方程力法的典型方程1 1、力法的典型方程是体系的变形协调方程；、力法的典型方程是体系的变形协调方程；2 2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理；、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理；3 3、柔度系数是体系常数；、柔度系数是体系常数；4 4、荷载作用时、荷载作用时, ,内力分布与刚度大小无关，与内力分布与刚度大小无关，与各杆刚度比

25、值有关，荷载不变，调整各杆刚度各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度比可使内力重分布。比可使内力重分布。小结：小结：7-4力法的典型方程力法的典型方程7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例例例:用力法计算图示刚架，并作用力法计算图示刚架，并作M图。图。解：解：)确定力法基本未知量和基本体系确定力法基本未知量和基本体系基本体系基本体系力法方程：力法方程：d d11x1+d d12x2+ 1P=0d d21x1+d d22x2+ 2P=0)作作M1、M2、MP图图7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例基本体系基本体系MP7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例）计算系数、自

26、由项）计算系数、自由项 d d11=5l/12EId d22=3l/4EId d12=d d21=0 1P=FPl2/32EI 2P=0说明说明: :力法计算刚架时，力法方程力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响：影响：d dii=l(Mi2/EI)dsd dij=l(MiMj/EI)ds iP=l(MiMP/EI)ds）代入力法方程，求多余力）代入力法方程，求多余力x x1 1、x x2 2 （5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40(3l/4EI)x2=0x2=0）叠加作）叠加作M M图图MAC=x1M1+x2M2

27、+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右侧受拉）右侧受拉）力法的解题步骤力法的解题步骤（1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束确定结构的超静定次数，选取适当的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束反力反力, , 即基本未知数。即得基本体系。即基本未知数。即得基本体系。（2）列力法方程式）列力法方程式（3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在）计算系数与自由项。分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。法计算。曲杆则列

28、出弯矩方程用积分公式计算。（4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。解此方程，求出基本未知力。（5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作出基本体系的内力图出基本体系的内力图, , 也就是原结构的内力图。也就是原结构的内力图。（6）校核。）校核。 7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-1 用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。剪力图。解解: :( (1) )确定超静定次数、选择基本体系。确定超静定次数、选择基本体系。原结构原结构基本

29、体系基本体系（2）列出力法典型方程）列出力法典型方程（a）7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例( (3) )计算系数及自由项。作计算系数及自由项。作 、 图图由图乘得由图乘得 7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例( (4) )解方程求未知力。解方程求未知力。将将 与与 代入式（代入式（a a），消去公因子），消去公因子 ，得，得解此方程得解此方程得( (5) )求作弯矩图。求作弯矩图。（左侧受拉）（左侧受拉）（右侧受拉）（右侧受拉）（下侧受拉）（下侧受拉） （ ）7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例由由 , ,得支座得支座B 的竖向反力为的竖向反力为7.5kN（

30、）。）。 ( (6) )作剪力图。作剪力图。利用利用BE 杆力偶系平衡条件得杆力偶系平衡条件得同理同理7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例支座支座A 的竖向反力为的竖向反力为22.5kN（），杆），杆DC 的的D 端剪力应等于端剪力应等于(7)作轴力图。作轴力图。根据根据最后剪力图可最后剪力图可作出最后轴力图。作出最后轴力图。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-2 用力法计算图示刚架，作弯矩图。用力法计算图示刚架，作弯矩图。 解解: :( (1) )确定超静定次数并选定基本结构。确定超静定次数并选定基本结构。 原结构原结构 基本体系基本体系 7-5力法的计算步骤和

31、示例力法的计算步骤和示例作作 、 、 图图 (3) 计算系数及自由项。计算系数及自由项。 (2)列出力法典型方程。列出力法典型方程。（a）7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例两个梯形相乘两个梯形相乘, ,可将梯形划分为两个三角形相乘可将梯形划分为两个三角形相乘. . 再令图再令图a与图与图b中的中的C d D相图乘，得相图乘，得将结果相加，得最终图乘结果：将结果相加，得最终图乘结果：令图令图a a与图与图b b中的中的c d C相图乘，得相图乘，得7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例计算计算 ij 由图的由图的 与与 的对称性的对称性, ,有有7-5力法的计算步骤和示例力法

32、的计算步骤和示例7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例将将 、 、 、 代入式代入式( (a)并消去公因子并消去公因子 得得(4) 解方程求未知力。解方程求未知力。 、 即为原刚架上铰即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。两侧截面上的剪力和轴力。解得解得7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。（外侧受拉）（外侧受拉） （内侧受拉）（内侧受拉） （内侧受拉）（内侧受拉） 最后弯矩图最后弯矩图 弯矩图弯矩图具有反对称具有反对称性质，这是由荷载与结性质，这是由荷载与结构的对称性决定的。构的对称性决定的。7-5力法的

33、计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-3 用力法计算图用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已知所示排架，作弯矩图。已知 ， ， 。忽略排架顶部拉杆的轴向。忽略排架顶部拉杆的轴向变形变形, , 将拉杆视为刚性杆。将拉杆视为刚性杆。 解解:(1) 确定超静定次数并选定基本体系。确定超静定次数并选定基本体系。 基本体系基本体系(2)列出力法方程。列出力法方程。 7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(3) 计算系数及自由项。计算系数及自由项。 作作MP、M1、M2图。注意图。注意11与与22都包括两部分，令都包括两部分，令M1图左边柱、中间柱的计算结果分别为图左边柱、中间柱的计算结果

34、分别为、由由M1图图得得 ，7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例计算自由项计算自由项 (4)解方程求未知力。解方程求未知力。 将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公因子后得因子后得7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例解得解得 ，(5)将将 、 及荷载加在基本结构上，利用平衡条件计及荷载加在基本结构上，利用平衡条件计算弯矩算弯矩表明轴力杆表明轴力杆DE、FG均受拉。均受拉。（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）作出弯矩图如图所示。作出弯矩图如图

35、所示。M图图( (kN.m) )7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-4 用力法计算图用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆示桁架，作轴力图。各杆EA相同。相同。基本体系基本体系(3) 计算系数及自由项。计算系数及自由项。 解解: : (1) 确定超静定次数及选定基本体系确定超静定次数及选定基本体系。(2) 列出力法方程为列出力法方程为: :计算计算FN1和和FNP。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例将将 、 代入式代入式a，消去公因子，消去公因子 后得后得(4)解方程求未知力解方程求未知力负号表明杆负号表明杆CD 受压。受压。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤

36、和示例(5)计算轴力时应用公式：计算轴力时应用公式：（拉）（拉）（压）（压）（拉）（拉）（压）（压）7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例注意：注意：1. . 排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架顶排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架顶部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架整体部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架整体沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋架与柱沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋架与柱顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称铰接排架。顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称铰接排架。2. . 超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆件超静定结构在荷载作用下

37、，结构的内力与杆件截面刚度截面刚度EI 的绝对值无关的绝对值无关, , 只与各杆截面刚度的相只与各杆截面刚度的相对值有关。对值有关。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例例例7-5 用力法计算图用力法计算图a a所示组合结构。已知梁式杆所示组合结构。已知梁式杆 ， 压杆压杆DC、EF的，的， ， 拉杆拉杆AD、DE、BE的的 。解解: : (1) 一次超静定。一次超静定。(2) 列出力法方程列出力法方程7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(3) 作作 、 、 、 图。图。利用位移的公式：利用位移的公式：7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例自相图乘的结果为自相图乘的结

38、果为自相图乘的结果为自相图乘的结果为7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例梁的轴向变形对梁的轴向变形对11的影响为的影响为占占11的0.28%，故计算，故计算11时可以略去。时可以略去。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力。解方程求未知力。 算得算得（拉）（拉）(5)作内力图。作内力图。 （上侧受拉）（上侧受拉）7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 讨讨论论：由由于于撑撑杆杆DC、EF的的存存在在，使使梁梁上上C、F截截面面出出现现了了负负弯弯矩矩，整整根根梁梁的的弯弯矩矩分分布布比比简简支支梁梁均均匀匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为本例中拉杆与

39、压杆的变形之比为 增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉杆截面杆截面, , 其轴力下降，导致梁上其轴力下降，导致梁上C、F截面上负弯矩值截面上负弯矩值减小；当减小；当EA30 0时，组合结构趋近简支梁。时，组合结构趋近简支梁。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例基本体系基本体系 解解: : (1)原结构是三次超静定。原结构是三次超静定。力法基本方程为：力法基本方程为：例例7-6试列出用力法求解图示刚架的力法方程。试列出用力法求解图示刚架的力法方程。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例作作MP、 、 、 图。图。(2)计算系数和自

40、由项。计算系数和自由项。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时, ,多余未知力分成对称与反对称的两组多余未知力分成对称与反对称的两组, ,使得副系数使得副系数32=23=0, , 31=13=0, ,方程方程a化为相互无关的两组。化为相互无关的两组。由于结构对称，由于结构对称， 对称，而对称，而 反对称，有反对称，有 ， ，方程式简化为方程式简化为7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例如果荷载对称如果荷载对称, ,则则MP图也对称图也对称, ,因而因而3P=0。 如果荷载反对称如果荷载反对称,

41、 ,则则MP图也反对称图也反对称, ,1P=0, ,2P=0。这样这样, ,就可以使计算进一步简化。就可以使计算进一步简化。7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-7 试试用用力力法法计计算算图图示示单单跨跨梁梁。梁梁的的B支支座座为为弹弹簧簧支支承承，弹弹簧簧的的刚刚度度系系数数为为k(当当B点点产产生生单单位位位位移移弹簧所产生的反力弹簧所产生的反力) )。基本基本体系体系 式中负号表示未知力式中负号表示未知力 X1与位移的方向相反与位移的方向相反, , 未未知力知力X1与位移与位移 的关系满足的关系满足 X1=k解：一次超静定结构，力法基本方程为解：一次超静定结构，力法基

42、本方程为因而因而, , 得得7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例得到力法方程：得到力法方程：由图乘得到由图乘得到M1 ，所以有所以有M令令 ，代入式上式可解得，代入式上式可解得作作M 图图7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 1. . 当当kk，即即弹弹簧簧非非常常刚刚硬硬。这这时时X1过过渡渡到到3ql/8，即，即B端过渡到刚性链杆支座的情况。端过渡到刚性链杆支座的情况。 k是悬臂梁是悬臂梁( (基本结构基本结构) )B点的刚度点的刚度, , 表示使悬臂梁表示使悬臂梁B点产生一单位位移时所需的力。点产生一单位位移时所需的力。讨论：讨论：2. . 当当k0（或或kt1，梁梁

43、的的线线膨膨胀胀系系数数，截截面面高高度度为为h, ,求求梁的内力。梁的内力。基本体系基本体系解解: : 此梁为此梁为3次超静定梁次超静定梁力法典型方程：力法典型方程：7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算作单位力弯矩图作单位力弯矩图由图乘法：由图乘法：7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算将系数和自由项代入力法典型方程将系数和自由项代入力法典型方程解得：解得：， X2=0，X3=EAt0 弯矩图由弯矩图由 而得；而得；剪力为零；剪力为零；轴力为一常数轴力为一常数 EAt0 （压力）（压力）. .M图图 结论：结论：对于任一等截面直杆只要知道杆件位移对于

44、任一等截面直杆只要知道杆件位移（角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可（角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算例例：设设图图示示刚刚架架外外侧侧温温度度不不变变，内内侧侧温温度度升升高高10。各各杆杆EI=常常量量，截截面面高高度度h=常常量量，截截面面形形心心在在截截面面高高度度h的的0.5处处,线线膨膨胀胀系系数数为为，试试求求由由于于温温度度变变化化在在刚刚架架中中引引起反力和内力。起反力和内力。（a）自由项自由项1t与与2t为

45、基本结构内侧温度升高为基本结构内侧温度升高10时在自时在自由端由端C沿沿X1、X2方向产生的位移。方向产生的位移。解解:1.刚架为二次超静定结构。刚架为二次超静定结构。2.根据变形条件建立力法方程根据变形条件建立力法方程7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算刚架内外侧温度差刚架内外侧温度差可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆轴线伸长，内侧受位。轴线伸长，内侧受位。3.计算系数和自由项计算系数和自由项温度参量温度参量t、t0的计算的计算说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。(1)计算自由项计

46、算自由项7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算在基本结构在基本结构C 处沿处沿X1、X2方向加单位力方向加单位力，作相应的内力图。作相应的内力图。同理同理7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算将将1t、2t、11、22、12、21、的的表表达达式代入式（式代入式（a）得）得(2)系数的计算系数的计算, , 只计弯曲影响。只计弯曲影响。（b），7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算解得：解得：由叠加法作由叠加法作M图图7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算 1.温度变化在超静定结构中引起的内力大小与温度变化在超静定结

47、构中引起的内力大小与杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大EI）来改）来改善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的途径。途径。 要点：要点：2.超静定结构因温度变化而引起的变形与静定超静定结构因温度变化而引起的变形与静定结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉.多数多数房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时可能房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时可能导致室外或室内开裂。导致室外或室内开裂。7-9温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算支座位移、温度改变等因

48、素（广义荷载）也会支座位移、温度改变等因素（广义荷载）也会使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不同于静定结构的一种力学性质。同于静定结构的一种力学性质。支座位移情形下的计算支座位移情形下的计算式式中中等等号号左左边边是是基基本本体体系系的的相相应应位位移移，右右边边是是实际结构在该点的实际位移。实际结构在该点的实际位移。 在支座位移问题中在支座位移问题中, ,力法典型方程的一般形式力法典型方程的一般形式可写成可写成: :7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算例例:图示梁的图示梁的A端产生了转角位移端产生了转角位移A，求解梁

49、的，求解梁的反力和内力并作弯矩图和剪力图。反力和内力并作弯矩图和剪力图。基本体系基本体系基本结构基本结构变形条件为：基本体系变形条件为：基本体系在在B点的位移与原结构相同。点的位移与原结构相同。（a）解解:(1)取支座取支座B的竖向反力的竖向反力X1为多余未知力。为多余未知力。(2)根据变形条件建立力法方程。根据变形条件建立力法方程。7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算 1c 是是当当支支座座A产产生生角角位位移移A时时在在基基本本结结构构中中产产生的沿生的沿X1方向引起的位移，由几何关系得出方向引起的位移，由几何关系得出系数系数11可由可由M1图求得图求得（1 1C

50、C 与与X1反向，取负号反向，取负号） 基本体系的位移基本体系的位移1 是由是由X1和支座和支座A的角位移的角位移A共同作用产生的，因此式共同作用产生的，因此式(a)可写成可写成也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得（b b）7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的X1与与B端剪力的关系为端剪力的关系为可可见见：支支座座位位移移在在超超静静定定结结构构中中引引起起的的内内力力的的大大小小与与杆杆件件截截面面刚刚度度和和支支座座位位移移值值有有关关

51、。这这是是与与荷荷载载作作用下的情况不同的。用下的情况不同的。(4)作弯矩图和剪力图作弯矩图和剪力图FS图图(3)解方程求未知力解方程求未知力将将11与与1c 代入式代入式(b)，解得解得7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算例例:图图示示单单跨跨梁梁支支座座A产产生生转转角角A，同同时时B支支座座产产生沉降生沉降。试用力法求梁的内力试用力法求梁的内力。在小变形情形下在小变形情形下，B端的轴向约束作用可略去不端的轴向约束作用可略去不计，即计，即X3可略去，简化为二次超静定问题。可略去，简化为二次超静定问题。(2)根据变形条件建立力法方程。根据变形条件建立力法方程。 解解:

52、(1) 三次超静定。三次超静定。基本体系基本体系（a）7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算(3)计算系数和自由项。计算系数和自由项。也可由几何关系得也可由几何关系得（与（与X1的方向一致）的方向一致）同理同理作作图、图、 图算得图算得，由由算得算得7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算(4)解方程求未知力解方程求未知力将系数和自由项代入方程式（将系数和自由项代入方程式（a），有），有解得解得可见可见，A在杆在杆AB近端近端（A端端）与远端与远端（B端端）引引起的弯矩分别为起的弯矩分别为和和，B端侧移端侧移在两端在两端产生的弯矩同为产生的弯矩同为。7

53、-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算两端剪力为（由隔离体的力偶系平衡条件算）两端剪力为（由隔离体的力偶系平衡条件算）杆端弯矩分别：杆端弯矩分别：思考：当思考：当B支座顺时针转了支座顺时针转了B时，结果如何时，结果如何？答：答：这些结果将在第八这些结果将在第八章位移法中用到。章位移法中用到。7-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算 超超静静定定拱拱是是土土木木建建筑筑工工程程中中常常用用的的一一种种结结构构形式，常见超静定拱有两铰拱和无铰拱。形式，常见超静定拱有两铰拱和无铰拱。两铰拱两铰拱无铰拱无铰拱7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱无

54、铰拱是三次超静定闭合结构。通常采用弹性中心法。无铰拱是三次超静定闭合结构。通常采用弹性中心法。对称无铰拱，通常选取对称的基本结构。对称无铰拱，通常选取对称的基本结构。力法典型方程为：力法典型方程为：， 由对称性，得由对称性，得二、无铰拱的计算二、无铰拱的计算基本体系基本体系7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱 可可见见：要要使使12为为零零，必必须须使使X2的的作作用用点点下下移移, ,使使y 值有不同的符号，积分才可能为零。值有不同的符号，积分才可能为零。 若系数若系数12也为零，则力法典型方程式完全解耦。也为零，则力法典型方程式完全解耦。基本结构在单位力作用下的内力方程为：

55、基本结构在单位力作用下的内力方程为：7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱 坐标系坐标系x1Cy1是原点在拱顶的坐标系是原点在拱顶的坐标系, , 它描述拱轴它描述拱轴线方程。坐标系线方程。坐标系xoy是原点在弹性中心是原点在弹性中心O的坐标系的坐标系, , 它它描述拱的内力方程，描述拱的内力方程，相当于计算内力时进行了一次坐相当于计算内力时进行了一次坐标变换标变换,目的是使目的是使 12= 21=0。 在在拱拱顶顶截截口口处处设设置置不不可可变变形形的的刚刚臂臂, , 设设刚刚臂臂长长为为a。使使未未知知力力作作用用点点移移至至刚刚臂臂的的端端点点O。O点点称称为为弹弹性性中心。

56、中心。7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱由由1212与与2121的计算式为可确定的计算式为可确定a要使要使12=21=0，必须有，必须有7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱 计算计算ii、ip时，如计入弯曲、剪切、轴向三个时，如计入弯曲、剪切、轴向三个变形的影响，计算应按下式进行：变形的影响，计算应按下式进行： 当未知力作用于弹性中心，力法方程组的全部副系当未知力作用于弹性中心，力法方程组的全部副系数为零，三个彼此独立的方程为数为零，三个彼此独立的方程为因而因而7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱 多数情况下可略去轴向变形与剪切变形的影响。常多

57、数情况下可略去轴向变形与剪切变形的影响。常见拱桥拱顶截面高度见拱桥拱顶截面高度hc l10，仅当，仅当f l5时将轴向时将轴向变形影响计入变形影响计入22 中。中。7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱 设一面积设一面积, ,其长度方向的轴线与拱轴线重合其长度方向的轴线与拱轴线重合, ,其宽其宽度为拱截面抗弯刚度的倒数度为拱截面抗弯刚度的倒数, ,即即 。此面积称为弹。此面积称为弹性面积。性面积。弹性中心就是该弹性面积的形心。弹性中心就是该弹性面积的形心。弹性中心的几何意弹性中心的几何意义义7-11用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱一、两铰拱的计算一、两铰拱的计算（1

58、1）基本体系基本体系 1.两铰拱是一次超静定结构，力法基本方程为：两铰拱是一次超静定结构，力法基本方程为：7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱2.计算系数与自由项。计算系数与自由项。基本结构基本结构X= =1作用下任意截面作用下任意截面K弯矩和轴力为弯矩和轴力为 （2） 习惯上假设：弯矩使杆件内侧受拉为正，轴习惯上假设：弯矩使杆件内侧受拉为正，轴力以受压为正。力以受压为正。系数与自由项为系数与自由项为7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱3.求未知力。求未知力。 弯矩弯矩MP是坐标是坐标x的函数的函数,当给出结构参量及当给出结构参量及荷载后便可确定。荷载后便可确定。 将将 和和 代入式（代入式（

59、2）7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱 将将求求出出的的多多余余未未知知力力X1回回代代到到基基本本体体系系中中, ,可可计计算出拱中任一截面上的内力。算出拱中任一截面上的内力。4.计算拱中任一截面上的内力。计算拱中任一截面上的内力。与三铰拱任一截面上的内力计算公式完全一样。与三铰拱任一截面上的内力计算公式完全一样。 7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱于是于是 两铰拱用作屋盖结构时，通常采用带拉杆的两铰拱，两铰拱用作屋盖结构时，通常采用带拉杆的两铰拱，用拉杆来承受水平向的反力。在计算系数时多了拉杆用拉杆来承受水平向的反力。在计算系数时多了拉杆AB的变形量。的变形量。注意注意: :以上计算是

60、在以上计算是在拱结构承受竖向荷拱结构承受竖向荷载情形下进行的。载情形下进行的。基本体系基本体系7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱拱截面拱截面 A=38410-3m2，惯性矩惯性矩 I=184310-6m4，弹性模量弹性模量 E=192GPa，矢高矢高 f=3.6m，(2)列力法方程。列力法方程。 例例7-15 用力法计算图示两铰拱。拱轴线方程为抛物线：用力法计算图示两铰拱。拱轴线方程为抛物线：基本体系基本体系跨度跨度l=18m =18m 。 ( 1)解解:(1)选取基本体系。选取基本体系。(3)计算系数和自由项。计算系数和自由项。7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱 当当f l3时时, ,在

61、计算系数在计算系数11时应考虑轴向变形影时应考虑轴向变形影响。而计算自由项时仍可不考虑其影响。在扁平拱情响。而计算自由项时仍可不考虑其影响。在扁平拱情形下，可认为形下，可认为 dsdx ，coscos= =11。 基本结构在基本结构在X1=1作用下，取截面作用下，取截面K以左部分杆段以左部分杆段为隔离体，内力方程为：为隔离体，内力方程为：7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱 基本结构在荷载作用下，取截面基本结构在荷载作用下，取截面K以左部分杆段为隔以左部分杆段为隔离体，内力方程为：离体，内力方程为：7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱代入代入E、I、A、l、q、f的值的值7-12两铰拱及系杆拱

62、两铰拱及系杆拱相应的简支梁的相应的简支梁的FS0和和M 0为：为：以支座以支座A以以右面的右面的x=6m处截面为例。处截面为例。(4)内力计算。内力计算。 拱中相应的拱中相应的y 值为：值为：7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱由由有有由由得所求截面内力得所求截面内力表明：表明：该截面上弯矩、剪力均该截面上弯矩、剪力均很小，截面所承受的内力主要很小，截面所承受的内力主要是轴向压力。是轴向压力。计算拱中相应的转角计算拱中相应的转角7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱系数系数1111中弯曲变形与轴向变形的影响分别为：中弯曲变形与轴向变形的影响分别为： 注注意意：不不能能象象直直杆杆那那样样作作拱拱

63、的的内内力力图图，只只能能取取若若干干截截面面（通通常常等等分分截截面面），算算出出这这些些截截面面上上的的内内力力，最最后后连线作出内力图。在计算中，宜列表计算。连线作出内力图。在计算中，宜列表计算。弯曲变形影响弯曲变形影响讨论讨论：轴向变形影响轴向变形影响可见，轴向变形对系数可见，轴向变形对系数11不起重要影响。不起重要影响。后者与前者之比后者与前者之比7-12两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱 1.由于超静定结构有多余的约束由于超静定结构有多余的约束,因此超静定结因此超静定结构的构的内力状态内力状态由平衡条件不能唯一地确定。由平衡条件不能唯一地确定。必须同时必须同时还要考虑变形条件才能求解。还

64、要考虑变形条件才能求解。超超静静定定结结构构（与与静静定定结结构构相相比比）有有如如下下一一些些重要特性重要特性： 2由于约束有多余的，因而超静定结构在某些约由于约束有多余的，因而超静定结构在某些约束被破坏后，结构仍保持几何不变体系，因而还具有束被破坏后，结构仍保持几何不变体系，因而还具有一定的承载能力；而静定结构在任一约束被破坏后，一定的承载能力；而静定结构在任一约束被破坏后，即变成几何可变体系，因而丧失承载能力。这说明即变成几何可变体系，因而丧失承载能力。这说明超超静定结构具有较强的防护能力静定结构具有较强的防护能力。7-13超静定结构的特性超静定结构的特性 3超静定结构，一般情况下，其内

65、力分布也比静超静定结构，一般情况下，其内力分布也比静定结构要均匀，内力的峰值也要小些。支梁最大弯矩定结构要均匀，内力的峰值也要小些。支梁最大弯矩在跨中在跨中,其值为其值为ql2/8,如果在跨中添加一支座变成连续如果在跨中添加一支座变成连续梁梁,则最大弯矩在中间支座处则最大弯矩在中间支座处,其值为其值为,比简支梁小比简支梁小4倍。倍。 7-13超静定结构的特性超静定结构的特性 4超静定结构的内力与结构的材料性质和截超静定结构的内力与结构的材料性质和截面尺寸有关。若结构构件截面尺寸和刚度有变化面尺寸有关。若结构构件截面尺寸和刚度有变化,则其内力分布也随之而变。则其内力分布也随之而变。 所以在设计超

66、静定结构时必先假定各杆的截面所以在设计超静定结构时必先假定各杆的截面尺寸才能计算尺寸才能计算, , 当荷载不变时，若要改变内力分布，当荷载不变时，若要改变内力分布，也必须修改各杆的截面尺寸或刚度。也必须修改各杆的截面尺寸或刚度。7-13超静定结构的特性超静定结构的特性 5.在超静定结构中，除荷载外，其它任何因素如在超静定结构中，除荷载外，其它任何因素如温度变化、支座移动、制造误差等都可以引起内力。温度变化、支座移动、制造误差等都可以引起内力。这种没有荷载作用而在结构中引起的内力状态称作自这种没有荷载作用而在结构中引起的内力状态称作自内力状态。自内力状态有不利的一面，也有有利的一内力状态。自内力

67、状态有不利的一面，也有有利的一面。面。防止地基不均匀沉降和温度变化等产生的自内力防止地基不均匀沉降和温度变化等产生的自内力引起的结构裂缝是工程中应注意的一个问题；而采用引起的结构裂缝是工程中应注意的一个问题；而采用预应力结构是主动利用自内力来调节结构截面应力的预应力结构是主动利用自内力来调节结构截面应力的典型例子。典型例子。7-13超静定结构的特性超静定结构的特性小小 结结 力力法法是是求求解解超超静静定定结结构构最最基基本本的的方方法法。力力法法的的基基本本原原理理是是将将原原超超静静定定结结构构中中的的多多余余约约束束解解除除，代代之之以以相相应应的的未未知知约约束束反反力力。原原结结构构

68、就就变变成成了了在在荷荷载载及及多多余余未未知知力力作作用用下下的的静静定定结结构构。这这个个静静定定结结构构称称为为原原结结构构的的基基本本体体系系, , 多多余余未未知知力力称称为为原原结结构构的的基基本本未未知知数数。根根据据基基本本体体系系中中多多余余未未知知力力作作用用点点的的位位移移应应与与原原结结构构一一致致的的条条件件，即即多多余余约约束束处处的的位位移移谐谐调调条条件件，建建立立位位移移协协调调方方程程。这这就就是是力力法法典典型型方方程程。方方程程中中的的基基本本未未知知数数是是体体系系的的多多余余未未知知力力。这这种种以以未未知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力

69、法。知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。由由于于基基本本体体系系满满足足位位移移谐谐调调条条件件, , 因因此此基基本本体体系系的的内内力力与与变变形形便便与与原原超超静静定定结结构构完完全全一一致致。利利用用位位移移约约束束条条件件解解出出多多余余未未知知力力是是力力法法的的关关键键, , 求求出出多多余余未未知知力力后后便便将将超超静静定定问问题题转转化化为为静静定定问问题题了了。以以后后的的计计算算便便与与静静定定结结构构的的求求解完全一样。解完全一样。小小结结理论上力法可以求解任何超静定结构。其原理具有物理概理论上力法可以求解任何超静定结构。其原理具有物理概念明晰、易于理

70、解的特点。其不足之处是：当多余约束较多念明晰、易于理解的特点。其不足之处是：当多余约束较多时，即超静定次数较高时时，即超静定次数较高时, , 计算工作量很大。而且力法的基计算工作量很大。而且力法的基本体系有多种选择本体系有多种选择, , 难以编成通用的计算机程序难以编成通用的计算机程序, , 这就极大这就极大地限制了力法的应用。用力法计算超静定结构，要做到超静地限制了力法的应用。用力法计算超静定结构，要做到超静定次数判断准确，基本结构选取适当，位移计算无误，最后定次数判断准确，基本结构选取适当，位移计算无误，最后校核仔细。校核仔细。用力法计算超静定结构的位移时用力法计算超静定结构的位移时, ,

71、 作单位弯矩图时可选择作单位弯矩图时可选择任意的基本结构。要理解这一点任意的基本结构。要理解这一点, , 就要理解基本体系的内力就要理解基本体系的内力与变形与原结构完全一致这一道理。因而与变形与原结构完全一致这一道理。因而, , 求超静定结构的求超静定结构的位移就是求基本体系的位移。基本体系的荷载弯矩图就是原位移就是求基本体系的位移。基本体系的荷载弯矩图就是原超静定结构的最终弯矩图。超静定结构的最终弯矩图。 所以所以, , 只要再画出基本体系在只要再画出基本体系在单位力作用下的弯矩图就行了。单位力作用下的弯矩图就行了。计算超静定拱计算超静定拱, , 是力法的强项。是力法的强项。 特别是无铰拱特

72、别是无铰拱, , 因为是因为是曲杆曲杆, , 位移计算很繁杂。如何简化计算就很重要。弹性中心位移计算很繁杂。如何简化计算就很重要。弹性中心法就是计算无铰拱的最有效的方法。它可以使力法典型方程法就是计算无铰拱的最有效的方法。它可以使力法典型方程小小结结力法典型方程由位移约束条件而来，其本质是原超静定力法典型方程由位移约束条件而来，其本质是原超静定结构上被解除多余约束处的位移应与原结构该点的位移一致结构上被解除多余约束处的位移应与原结构该点的位移一致的变形谐调条件，方程中的每项都是荷载或非荷载因素引起的变形谐调条件，方程中的每项都是荷载或非荷载因素引起的位移，其中包括多余未知力引起的位移。方程中的

73、每一项的位移，其中包括多余未知力引起的位移。方程中的每一项都不能单独使基本结构与原超静定结构的位移一致，只有将都不能单独使基本结构与原超静定结构的位移一致，只有将各项叠加起来才能作到这一点。所以各项叠加起来才能作到这一点。所以, , 本章导出的力法典型本章导出的力法典型方程只适用于线弹性结构。方程只适用于线弹性结构。中所有的负系数均为零中所有的负系数均为零, , 计算获得最大限度的简化。能够做计算获得最大限度的简化。能够做了这一步的关了这一步的关键是进行了坐标变换。把未知力的作用点移到键是进行了坐标变换。把未知力的作用点移到了弹性中心。了弹性中心。小小结结一、力法的计算方法一、力法的计算方法1

74、.力法的基本思路力法的基本思路 用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力方程，解方程就可以求出多余未知力; ;最后将求出的多余最后将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的未知力作用于基本结构，用

75、叠加法即可求出超静定结构的内力。内力。2.如何选取基本结构如何选取基本结构(1)力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静定容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静定结构作为基本结构。结构作为基本结构。小小结结例：例：用力法求图用力法求图a所示的九次超静定结构的内力。所示的九次超静定结构的内力。 小小结结 解：解：根据对称性知，杆根据对称性知，杆AB的剪力和弯矩均为零，只的剪力和弯矩均为零，只有轴力，则取基本体系如图有轴力，则取基本体系如图b所示，所示，MP图和图和 M1图分别如图分别如图图c、图

76、图d d所示。经计算得所示。经计算得代入力法典型方程代入力法典型方程11X1+1P=0=0，可以求出，可以求出 (2)同一个超静定结构可以选择许多种不同的力法基同一个超静定结构可以选择许多种不同的力法基本结构，但选取基本结构时需注意应使力法方程中的系本结构，但选取基本结构时需注意应使力法方程中的系数和自由项的计算尽可能方便，数和自由项的计算尽可能方便，或尽可能使较多的自由或尽可能使较多的自由项和副系数为零，且应使项和副系数为零，且应使图和图和MP图的绘制尽量简单。图的绘制尽量简单。无论选取怎样的基本结构，无论选取怎样的基本结构，最后结果都相同。最后结果都相同。，小小结结 例如例如, ,图图a中

77、的连续梁，选图中的连续梁，选图b、图、图c、图、图d所示的基本所示的基本体系都可以，但图体系都可以，但图d的基本体系可以使某些负系数为零，的基本体系可以使某些负系数为零，因此最简单。因此最简单。小小结结3.典型方程典型方程 超静定结构在荷载、支座位移、温度变化等因素作超静定结构在荷载、支座位移、温度变化等因素作用下的典用下的典 型方程为：型方程为：小小结结(1)力法典型方程实际上就是沿多余未知力方向上的位力法典型方程实际上就是沿多余未知力方向上的位移协调条件。移协调条件。第第i个方程表示原结构在第个方程表示原结构在第i个多余未知力方向个多余未知力方向上的实际位移为上的实际位移为 i，当位移的方

78、向与多余未知力的方向一致当位移的方向与多余未知力的方向一致时，时， i 取正值，否则取负值。等号左边的每一项表示基本取正值，否则取负值。等号左边的每一项表示基本结构在各种因素单独作用下沿结构在各种因素单独作用下沿Xi 方向产生的位移，即等号方向产生的位移，即等号左边一切系数的计算都应在基本结构上进行。如：左边一切系数的计算都应在基本结构上进行。如： 21X1表表示基本结构在示基本结构在X1单独作用下沿单独作用下沿X2方向产生的位移方向产生的位移, 1c表示表示基本结构在支座位移单独作用下沿基本结构在支座位移单独作用下沿X1方向产生的位移，方向产生的位移， nP表示基本结构在外荷载单独作用下沿表

79、示基本结构在外荷载单独作用下沿Xn 方向产生的位移，方向产生的位移， nt表示基本结构单独在温度变化时沿表示基本结构单独在温度变化时沿Xn方向产生的位移。方向产生的位移。主系数主系数 ii表示基本结构在多余未知力表示基本结构在多余未知力Xi=1单独作用下沿单独作用下沿Xi 方方向产生的位移；副系数向产生的位移；副系数 ij（i j）表示基本结构在多余未知）表示基本结构在多余未知力力Xj=1单独作用下沿单独作用下沿Xi 方向产生的位移方向产生的位移。小小结结二、几个应注意的问题二、几个应注意的问题1.超静定结构的特性超静定结构的特性(1)在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、在超静定结构

80、中，支座移动、温度改变、材料胀缩、制造误差等因素都可以引起内力。制造误差等因素都可以引起内力。(2)在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时，度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时，允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内力保持不变。

81、力保持不变。（1）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的. 解：错误。解：错误。 (3)由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。例：判断下列说法的正确性。例：判断下列说法的正确性。小小结结2、判断超静定结构的次数时应注意的问题判断超静定结构的次数时应注意的问题(1)不要把原结构拆成几何可变体系。不要把原结构拆成几何可变体系。(2)通常要把全部多余约束都拆除。通常要把全部多余约束都拆除。(3)只能在原结构中减少约束，不

82、能增加新的约束。只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。(4)去掉连接去掉连接n个杆件的复铰相当于去掉个杆件的复铰相当于去掉n- -1个单铰；将个单铰；将连接连接n个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉n- -1个约束。个约束。(5)只能去掉多余约束，不能去掉必要约束只能去掉多余约束，不能去掉必要约束. . 例例题：（1）n次超静定次超静定结构，任意去掉构，任意去掉n个个约束均可作束均可作为力力法基本法基本结构构的的说法法对吗？解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。（2）对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时

83、，只对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时，只需知道各杆的相对刚度。需知道各杆的相对刚度。解：正确。解：正确。 小小结结（2）图图a所示结构的超静定次数为多少？所示结构的超静定次数为多少？解：解：8次。次。提示：提示：相应的静定结构如图相应的静定结构如图b所示所示.（3）图示结构超静定次数为）图示结构超静定次数为多少？多少？ 解：解：6次。次。注意：注意：1、2杆杆组成二元体，不能看作多余组成二元体，不能看作多余约束。约束。小小结结（4）图示结构超静定次数为多少？图示结构超静定次数为多少？ 解：解：7次。次。提示：提示：先去掉先去掉AB杆杆,再去掉铰再去掉铰A 结点（相当于结点（相当于2个个约

84、束）约束）,最后去掉铰结点最后去掉铰结点B（相当（相当于于2个单铰）个单铰）。（5）图示结构的超静定次数为多少？图示结构的超静定次数为多少？ 。 解：解：6次。次。提示：提示：内部内部ABC只需三个约束，即可与外只需三个约束，即可与外部保持几何不变，部保持几何不变，而现在却而现在却用用3个铰相连，故有三个多余个铰相连，故有三个多余约束，约束，外部刚架也有三个多外部刚架也有三个多余约束。余约束。小小结结3.力法的适用条件力法的适用条件 (1)力法只适用于求解超静定结构，不能用于求解静力法只适用于求解超静定结构，不能用于求解静定结构。定结构。(2)既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形。既可

85、以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形。(3)可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构。型的结构。（4 4）从材料性质看）从材料性质看, , 只能用于弹性材料。只能用于弹性材料。 4.超静定结构发生支座位移时基本体系的选取超静定结构发生支座位移时基本体系的选取当超静定结构发生支座位移时，选取不同的基本体当超静定结构发生支座位移时，选取不同的基本体系，所得的力法方程同，自由项系，所得的力法方程同，自由项 c亦不同。亦不同。小小结结 例如例如,用力法求图用力法求图a所示有支座位移的超静定梁时，取所示有支座位移的超静定梁时，取两种基本结构进行

86、分析比较。两种基本结构进行分析比较。（1）第一种基本结构第一种基本结构（图（图b）,基本体系如图基本体系如图c所示。所示。力法典型方程为力法典型方程为 可以看出可以看出,方程的等号右边不为零，这是因为原结构在方程的等号右边不为零，这是因为原结构在B点有位移，所以等号右边应等于原结构的实际位移，又点有位移，所以等号右边应等于原结构的实际位移，又由于实际位移与多余未知力的方向相反，故位移都取负值。由于实际位移与多余未知力的方向相反，故位移都取负值。 小小结结注意注意 ic的计算：的计算： 由于等号左边系数的计算都在基本结构上进行，由于等号左边系数的计算都在基本结构上进行，而而图图b的这种基本结构既

87、无荷载，也无支座位移，因此由该的这种基本结构既无荷载，也无支座位移，因此由该基本结构引起的基本结构引起的 ic都等于都等于0。则上述典型方程变为则上述典型方程变为小小结结（2）取第二种基本结构，取第二种基本结构，如图如图d所示。所示。力法典型方程为力法典型方程为 可见可见, , 该方程的等号右边都等于零该方程的等号右边都等于零, , 这是由于原结构这是由于原结构在在A点无位移的缘故。点无位移的缘故。注意注意 ic的计算：的计算：小小结结 由于图由于图d这种基本结构的这种基本结构的B 端有支座位移，端有支座位移，而该支座而该支座位移将会引起与位移将会引起与X1、X3对应方向上的位移，故有对应方向

88、上的位移，故有 1c=c， 2c= 0， 3c= a 。力法典型方程又可以写成：。力法典型方程又可以写成： 由以上分析可见，当超静定结构有支座位移时，选由以上分析可见，当超静定结构有支座位移时，选取不同的基本结构，所列方程的含义和形式均有区别，取不同的基本结构，所列方程的含义和形式均有区别，所以列方程需要仔细分析，分清支座位移何时出现在等所以列方程需要仔细分析，分清支座位移何时出现在等号左边，何时出现在右边。号左边，何时出现在右边。小小结结 例：例：图图a所示变截面梁所示变截面梁,在支座在支座A、B分别有竖向位移分别有竖向位移a及转动位移及转动位移。 若按力法进行求解，并取图若按力法进行求解，

89、并取图b所示的基本体所示的基本体系，系，则可列出力法方程则可列出力法方程的具体表达式。的具体表达式。试写出试写出小小结结 解：解： 5.切开或撤去多余链杆的基本体系切开或撤去多余链杆的基本体系,两者的力法方两者的力法方程比较程比较 两者的力法方程形式不同，它们所代表的变形条件两者的力法方程形式不同，它们所代表的变形条件及方程中各项参数的物理意义不同，但力法方程的内容及方程中各项参数的物理意义不同，但力法方程的内容是等效的是等效的。小小结结 图图b和图和图c是图是图a所示的超静定桁架用力法求解时选取所示的超静定桁架用力法求解时选取的两种不同的基本体系。图的两种不同的基本体系。图b为切开链杆为切开

90、链杆CD，图图c为撤去为撤去链杆链杆CD。（1）相对图）相对图b，力法方程为，力法方程为（a） 方程的物理意义为：基本体系中链杆方程的物理意义为：基本体系中链杆1 1切口处相邻两切口处相邻两截面相对轴向位移应等于原结构该相邻两截面的相对轴向截面相对轴向位移应等于原结构该相邻两截面的相对轴向位移（等于零）。位移（等于零）。小小结结系数和自由项按下式计算：系数和自由项按下式计算：，小小结结（2）对图）对图c,力法方程为：力法方程为：(b) 方程的物理意义为：基本体系中方程的物理意义为：基本体系中C、D两点沿两点沿X1方向方向的相对线位移等于原结构中链杆的相对线位移等于原结构中链杆CD的缩短量。因为

91、对杆的缩短量。因为对杆CD而言而言,X1为拉力，为拉力，为杆为杆CD的伸长量，所以的伸长量，所以方程右边取负值。方程右边取负值。系数和自由项按下式计算：系数和自由项按下式计算： ，小小结结 可见与两种基本体系相应的力法方程只是形式上不同可见与两种基本体系相应的力法方程只是形式上不同,而内容是等效的而内容是等效的.柔度系数关系为柔度系数关系为：将式（将式（b）移项可得）移项可得 比较以上两种基本体系可以看到，两者力法方程的形比较以上两种基本体系可以看到，两者力法方程的形式及其物理意义不同；柔度系数与也不相同式及其物理意义不同；柔度系数与也不相同,11的计算包括的计算包括CD杆的影响在内，而杆的影

92、响在内，而 则不包括则不包括CD杆的影响；杆的影响；自由项自由项1P的计算两者相同，但物理意义也不同（前者是荷载作用的计算两者相同，但物理意义也不同（前者是荷载作用于基本结构时链杆切口两侧的相对轴向位移，后者是荷载于基本结构时链杆切口两侧的相对轴向位移，后者是荷载作用于另一基本结构时作用于另一基本结构时C、D两点的相对线位移）。两点的相对线位移）。 在实际计算中通常选用图在实际计算中通常选用图b所示的基本体系较为所示的基本体系较为方便。方便。小小结结6.几个有用的结论几个有用的结论(1)集中力集中力F 沿某杆的轴线作用，若该杆沿轴线方向沿某杆的轴线作用，若该杆沿轴线方向无位移无位移,则只有该杆

93、承受轴向压力，其余杆件无内力（例则只有该杆承受轴向压力，其余杆件无内力（例如图如图a只有只有AB杆受轴向压力）杆受轴向压力）；等值反向共线的一对集中；等值反向共线的一对集中力沿某直杆的轴线作用时，只有该杆受轴向拉力或压力力沿某直杆的轴线作用时，只有该杆受轴向拉力或压力（例如图（例如图b、图、图c中。中。杆件无弯矩杆件无弯矩,且只有成对集中力作用且只有成对集中力作用的杆件受轴力）。的杆件受轴力）。小小结结 (2)集中力作用在无线位移的结点上时，汇交于该结集中力作用在无线位移的结点上时，汇交于该结点的各杆无弯矩，也无剪力（图点的各杆无弯矩，也无剪力（图d）。）。 注意：注意：以上结论均有一个前提条

94、件：不考虑轴向以上结论均有一个前提条件：不考虑轴向变形；若需考虑轴向变形，则结论不成立。变形；若需考虑轴向变形，则结论不成立。(3)刚度无穷大的杆件不产生弯曲变形，但可以有刚度无穷大的杆件不产生弯曲变形，但可以有弯矩，杆端的最后弯矩应由结点的平衡条件求出。弯矩，杆端的最后弯矩应由结点的平衡条件求出。小小结结例：例：计算图示结构计算图示结构MBA、MCD 。各杆。各杆EI=常数。常数。 解：解： C点无线位移，其点无线位移，其上作用的集中力将只引起轴上作用的集中力将只引起轴力，不引起弯矩和剪力，故力，不引起弯矩和剪力，故MBA=MCD=0 。同理，下列结构的各杆弯矩等于零。同理，下列结构的各杆弯

95、矩等于零。小小结结三、对称性的利用三、对称性的利用 （1）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和支）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和支承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。 奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处简奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处简化为一竖向链杆。化为一竖向链杆。（4）选取半结构的原则如下：选取半结构的原则如下： 奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处简化为一定向支座。简化为一定向支座。（2）作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称荷）作用于对称结构上的任意荷载可以

96、分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。载和反对称荷载两部分分别计算。（3）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作用轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下下,变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是对称的。利用这些规则图是对称的。利用这些规则,只需计算半边结构。只需计算半边结构。小小结结 偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。向变形时，

97、对称轴的截面无位移，简化为固定支座。 偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为半结构，且中柱的惯性矩减半。半结构，且中柱的惯性矩减半。（5）几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。小小结结小小结结小小结结注意：注意：在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。 例：例：在不计轴向变形下，图在不计轴向变形下，图a所示对称结构（所示对称结构（EI=C），可），可取图取图b来计算吗？来计算吗？ 解：解：不可以。不可以。正确的半结构应正确的半结构应为图为图c c。小小结结例例

98、：图：图a所示对称结构，可简化为图所示对称结构，可简化为图b来计算吗？来计算吗？解：解：可以。可以。 小小结结例：例：作图作图a所示结构所示结构M图，图，EI=常数。常数。 解解：本题为反对称荷载，故先简化成半结构（图本题为反对称荷载，故先简化成半结构（图b）,该半结构是静定结构，根据平衡条件即可作出弯矩图该半结构是静定结构，根据平衡条件即可作出弯矩图(图图c）。）。小小结结例例：用力法计算并做图：用力法计算并做图a所示结构所示结构M 图。图。EI=常数。常数。 解：解：把原结构简化成图把原结构简化成图b所示的半结构，再简化成图所示的半结构，再简化成图c，进一步简化成进一步简化成e图所示的简支

99、梁，可得原结构的图所示的简支梁，可得原结构的M图（图图（图f）。）。小小结结 例例：试用力法计算图：试用力法计算图a所示结构由于所示结构由于AB杆的制造误差杆的制造误差（短（短）产生的）产生的M 图，已知图，已知EI=常数。常数。 解解：取：取1/4结构（图结构（图b）。由于）。由于AB杆短杆短，可看作支，可看作支座座A发生向下的位移发生向下的位移2。小小结结列力法方程列力法方程 其中其中 而而1c是当基本结构（是当基本结构（图图d）发生向下的支座位移时）发生向下的支座位移时, ,沿沿X1方向产生的位移，因此方向产生的位移，因此 解方程得解方程得 M 图示于图图示于图e e。小小结结 例例：图

100、：图a a所示结构，用力法求解时最少未知量个数为所示结构，用力法求解时最少未知量个数为多少？多少？ 提示：提示：先取半结构（图先取半结构（图b），再对图），再对图b取半结构取半结构如图如图c所示。所示。解：解：最少未知量个数为最少未知量个数为1 1。小小结结四、弹性支承超静定结构的计算四、弹性支承超静定结构的计算例例：结构如图所示（：结构如图所示（f为柔度系数），选择正确答案。为柔度系数），选择正确答案。 D. C. A.B. 解解: :正确答案是正确答案是C。小小结结 例例: :图示两弹性支承连续梁，已知图示两弹性支承连续梁，已知EI=常数，常数，k=6EI/l3，试求弯矩图。，试求弯矩图。

101、小小结结 解：解： 此连续梁为二次超静定，取基本体系如图此连续梁为二次超静定，取基本体系如图b所示。所示。（1）力法方程力法方程 （2）计算系数和自由项计算系数和自由项 位移系数是由两部分产生的：一是荷载产生的，二是位移系数是由两部分产生的：一是荷载产生的，二是由于弹簧支座位移产生的。由于弹簧支座位移产生的。例如求例如求11，由荷载产生的位移是，由荷载产生的位移是 由支座产生的位移是由支座产生的位移是所以所以小小结结同理同理 将系数代入力法方程典型得将系数代入力法方程典型得小小结结解联立方程得解联立方程得由叠加法作弯矩图由叠加法作弯矩图最后弯矩图如图最后弯矩图如图e e所示。所示。 ，小小结结

102、五、用力法计算超静定结构的位移五、用力法计算超静定结构的位移用力法计算超静定结构位移的步骤如下：用力法计算超静定结构位移的步骤如下：(1)先用力法计算出多余未知力先用力法计算出多余未知力, , 并作为已知外力作并作为已知外力作用于基本结构。用于基本结构。(2)结构上某点的位移等于基本结构在各种因素（包结构上某点的位移等于基本结构在各种因素（包括外荷载、多余未知力、支座位移、温度变化等）分别括外荷载、多余未知力、支座位移、温度变化等）分别作用下产生的位移相叠加。作用下产生的位移相叠加。 (3)若超静定结构的若超静定结构的M 图已给出，则求位移时只需图已给出，则求位移时只需在任意的静定结构上施加单

103、位力，在任意的静定结构上施加单位力，画出画出 图，再应用图，再应用图乘法或求位移公式即可。图乘法或求位移公式即可。小小结结例例：求图：求图a所示梁所示梁AB中点的竖向位移。中点的竖向位移。 解：解：（1）先求超静定结构的多余未知力先求超静定结构的多余未知力X1，基本体，基本体系如图系如图b所示。所示。X1方向的位移由荷载、温度、支座位移三方向的位移由荷载、温度、支座位移三种因素共同产生，因此力法方程为种因素共同产生，因此力法方程为小小结结 求中点的位移只需在该静定结构上进行即可，在中点求中点的位移只需在该静定结构上进行即可，在中点加单位力，作加单位力，作 图图分别求出系数分别求出系数 解方程得

104、解方程得 最后得弯矩图为：最后得弯矩图为：小小结结 例例：知结构的弯矩图如图：知结构的弯矩图如图a,试选择最简单的基本结构试选择最简单的基本结构计算计算K点的竖向位移点的竖向位移KV.（a a） （b b） 解：解：取基本结构（图取基本结构（图b），两图相图乘得），两图相图乘得 小小结结六、超静定结构的校核六、超静定结构的校核1.平衡条件的校核平衡条件的校核 从结构中任意取出的一部分都应当满足平衡条件，通从结构中任意取出的一部分都应当满足平衡条件，通常取结点或截取杆件，检查是否满足平衡条件。常取结点或截取杆件，检查是否满足平衡条件。 2.变形协调条件的校核变形协调条件的校核 计算超静定结构的内

105、力时，除平衡条件外，还需应用计算超静定结构的内力时，除平衡条件外，还需应用变形条件。变形条件校核的一般方法是：根据最后的内力变形条件。变形条件校核的一般方法是：根据最后的内力图，算出沿图，算出沿Xi 方向的位移方向的位移 i，并检查，并检查 i i 是否与原结构中的是否与原结构中的相应位移相等。相应位移相等。小小结结 例：例：求得求得A端转动端转动A 时的弯矩图如图时的弯矩图如图b所示，试校核所示，试校核该弯矩图的正确性。该弯矩图的正确性。解解：(1)平衡校核：平衡校核： 取结点取结点B为隔离体，有为隔离体，有 （满足平衡条件）（满足平衡条件） (2)变形校核：变形校核：利用求得的超静定结构弯

106、矩图计算某利用求得的超静定结构弯矩图计算某已知位移，看其是否等于已知值已知位移，看其是否等于已知值.通常可选超静定结构上通常可选超静定结构上小小结结与某与某一约束对应的已知位移作为校核对象。为此选一约束对应的已知位移作为校核对象。为此选C 截截面的转角作为检查对象。若求出面的转角作为检查对象。若求出C =0，则满足，则满足C 截面的截面的约束条件。为计算位移选取图约束条件。为计算位移选取图c c为基本结构，则为基本结构，则 变形条件也满足，弯矩图正确。变形条件也满足，弯矩图正确。 本题易出错之处：本题易出错之处：求求C时漏了（时漏了（ )，即支座转，即支座转动引起的转角。动引起的转角。 小小结结七、思考题七、思考题 1.在温度变化或支座移动因素作用下，静定与超静定在温度变化或支座移动因素作用下，静定与超静定结构是否一定都有变形结构是否一定都有变形? 2.在温度变化或支座移动因素作用下，静定与超静定在温度变化或支座移动因素作用下，静定与超静定结构是否一定都有内力结构是否一定都有内力? 小小结结