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1、第二节第二节 数列的极限数列的极限二二 收敛数列的性质收敛数列的性质一一 数列极限的定义数列极限的定义三三 小节与思考判断题小节与思考判断题一、数列极限的定义例如例如1.数列数列注意：注意：1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数播放播放2.2.数列的极限数列的极限问题问题: :当当 无限增大时无限增大时, , 是否无限接近于某是否无限接近于某一确定的数值一确定的数值? ?如果是如果是, ,如何确定如何确定? ?问题问题: : “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么? ?如何用数学语如何
2、用数学语言刻划它言刻划它. .通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立, 那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为 几何解释几何解释: :其中其中数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法. .例例1 1证证所以所以, ,注意：注意：例2证证所以所以, ,注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意给定给定 寻找寻找 , ,但不是求最小的
3、但不是求最小的 .例例3 3证证二、收敛数列的性质1.1.收敛数列的唯一性收敛数列的唯一性定理1 收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一. .例例4 4证证由定义由定义, ,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于长度为不可能同时位于长度为1 1的区间内的区间内. .定理1 收敛的数列必定有界.证证由定义由定义, ,2.2.收敛数列的有界性收敛数列的有界性注1 有界性是数列收敛的必要条件.注2 无界数列必定发散. 数列注3 有界数列不一定收敛. 数列3.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性定理3数列的子数列子数列子数列( (子列子列):):在数列在数列 中
4、任意抽取无限多项中任意抽取无限多项, ,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列, ,称为原数列的子列称为原数列的子列. .记作记作即即其中其中例如例如 自然数列自然数列4.4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系推论1 如果数列 有一个子列发散,则数列 发散.推论2 如果数列 有两个子数列不同的极限则数列 发散.例如例如 数列数列 因为它有两个子列因为它有两个子列分别收敛于分别收敛于1 1和和-1-1两个不同的数值两个不同的数值. .数列极限：极限思想，精确定义， 几何意义.收敛数列的性质: 有界性, 唯一性, 保号性.收敛数列与子数列的关系.三、小结与思考判断题
