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1、1.3.1 用定义证明函数的单调性一、课题导入一、课题导入 1分钟分钟前面我们已经知道了什么是增函数，什么是减函数的定义，以及它们的单调区间，我们只能通过图像来判断在某个区间内这一段是增还是减函数。那么我们还能用什么方法来判断在某个区间内它是增函数还是减函数呢？二、学习目标二、学习目标 2 2分钟分钟 1.熟悉掌握增函数与减函数的定义2.学会用定义证明函数的单调性 三、预习指导三、预习指导5 5分钟分钟怎样通过解析式就能判断函数的单调性？证明：函数f(x)=-2x+2在R上是单调减函数证：在R上 取两个值x1,x2,且x1 x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+2)-(-2x2+2) =
2、-2(x1-x2,)因为x1x2，所以-2(x1-x2,) 0， 所以f(x1)-f(x2) 0及f(x1) f(x2)所以f(x)=-2x+2在R上是单调减函数取值取值做差变形做差变形 定定 号号下结论下结论任意四、引导探究四、引导探究25分钟分钟 例例2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为为正常数）告正常数）告诉诉我我们们，对对于一定量的气体，当其体于一定量的气体，当其体积积V减小减小时时，压压强强p将增大将增大试试用函数的用函数的单调单调性性证证明之明之 分析：分析：按题意，只要证明函数按题意，只要证明函数 在在区间（区间（0，+）上是减函数即可）上是减函数即可 证明：证明
3、：根据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V1,V2是定义域（是定义域（0，+）上的任意两个实数，且）上的任意两个实数，且V10； 由由V10 又又k0，于是，于是 即即 所以，函数所以，函数 是减函数也就是是减函数也就是说，当体积说，当体积V减小时，压强减小时，压强p将增大将增大证证证证明函数明函数明函数明函数单调单调单调单调性步性步性步性步骤骤骤骤 证证明函数明函数单调单调性的性的一般步一般步骤骤： 取取值值：设设x1 ，x2是是给给定定区区间间内内的的两两个个任任意意值值，且，且x1x 2）；）； 作作差差：作作差差f(x1)f(x2)，并并将将此此差差式式变变形（要注意形（要注意变变形
4、到能判断整个差式符号形到能判断整个差式符号为为止）；止）； 定定号号：判判断断f(x1)f(x2)的的正正负负（要要注注意意说说理的充分性）理的充分性）,必要必要时时要要讨论讨论； 下下结论结论：根据定：根据定义义得出其得出其单调单调性性.五、课堂小结五、课堂小结 2分钟分钟本本节课节课主要学主要学习习了以下内容：了以下内容： 1函数的函数的单调单调性及性及单调单调区区间间的概念；的概念； 2根据定根据定义证义证明函数的明函数的单调单调性的主要步性的主要步骤骤六、六、【当堂清学当堂清学】10分钟分钟基础题基础题证明函数证明函数f(x)=x-1f(x)=x-1的单调性的单调性证：任取证：任取x
5、x1,1,x x2 2 且且x x1 1xx2 2，f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=x)=x1 1-x-x2 2 0,0,则则f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) ) 所以所以f(x)=x-1f(x)=x-1在在R R上是增函数。上是增函数。提高题提高题1.1.f(x)=xf(x)=x2 2+1+1在（在（- -，0 0）上是减函数。）上是减函数。任任取取x x1,1,x x2 2（- -，0 0），且且x x1 1xx2 2，则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=x)=x1 12 2-x-x2 2 2 2 = =(x(x1 1-x-x2 2)(x)(x1
6、1+x+x2 2) )，由由题题设设有有x x1 1-x-x2 20,0,当当x x1,1,x x2 2 （- -，0 0）时，时，x x1 1+x+x2 200 )0 ，于是，于是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+1+1在（在（- -，0 0）上是减函数。）上是减函数。选做题选做题已知函数已知函数f(x)f(x)是是R R上的增函数，设上的增函数，设F F（x x）=f(x)-f(a-x),=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明用函数单调性定义证明F F（x x）是）是R R上的增函数？上的增函数？解解：设设x x1 1,x,x2
7、2 R R，且，且x x1 1xx2 2 ， 则则 F(xF(x1 1)-F(x)-F(x2 2) =) =f(xf(x1 1)-f(a-x)-f(a-x1 1)-f(x)-f(x2 2)-f(a-x)-f(a-x2 2) =f(x =f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)+f(a-x)+f(a-x2 2)-f(a-x)-f(a-x1 1).). 因为因为f(xf(x) )是是R R上的增函数上的增函数，且，且x x1 1xx2 2 ， 所所以以a-xa-x2 2a-xa-x1. 1. 所所以以f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),f(a-x),f(a-x2 2)f(a-x)f(a-x1 1) ) 所所以以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)+f(a-x)+f(a-x2 2)-f(a-x)-f(a-x1 1)0 )0 所以所以 F(xF(x1 1)F(x)F(x2 2) )所以所以F(x)F(x)是是R R上的增函数上的增函数2.2.32.2.3作业作业布置布置课时作业10
