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1、4.1 滑动摩擦4.2 摩擦角和自锁现象4.3 考虑摩擦的平衡问题4.4 滚动摩擦摩 擦 一、引入：前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。例例摩摩 擦擦平衡必计摩擦 二、摩擦的类别：二、摩擦的类别：干摩擦固体对固体的摩擦。流体摩擦流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。滑动摩擦由于物体间相对滑动或有相对滑动趋势引起的摩擦。滚动摩擦由于物体间相对滚动或有相对滚动趋势引起的摩擦。 有害的一面：有害的一面：它是机械的多余阻力，使机械发热，引起零部件的磨损，从而消耗能量，降低效率和使用寿命。三、摩擦有害的一面和有利的一
2、面三、摩擦有害的一面和有利的一面 有利的一面有利的一面：可利用其进行传动、制动、调速、联接、夹卡物体等。另外，人类的生活也时时离不开摩擦。 当当两两个个相相互互接接触触的的物物体体具具有有相相对对滑滑动动或或相相对对滑滑动动趋趋势势时时，彼彼此此间间产产生生的的阻阻碍碍相相对对滑滑动动或或相相对对滑滑动动趋趋势势的的力力，称称为为滑滑动动摩摩擦擦力力。摩摩擦擦力力作作用用于于相相互互接接触触处处，其其方方向向与与相相对对滑滑动动的的趋趋势势或或相相对对滑滑动动的的方方向向相相反反，它它的的大大小小根根据据主主动动力力作作用用的的不不同同，可可以以分分为为三三种种情情况况，即即静静滑滑动摩擦力，
3、最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。若若仅仅有有滑滑动动趋趋势势而而没没有有滑滑动动时时产产生生的的摩摩擦擦力力称称为为静静滑滑动动摩摩擦擦力力；若若存存在在相相对对滑滑动动时时产产生生的摩擦力称为的摩擦力称为动滑动摩擦动滑动摩擦力力。4.1 滑动摩擦在在粗粗糙糙的的水水平平面面上上放放置置一一重重为为P的的物物体体，该该物物体体在在重重力力P和和法法向向反反力力FN的的作作用用下下处处于于静静止止状状态态。今今在在该该物物体体上上作作用用一一大大小小可可变变化化的的水水平平拉拉力力F，当当拉拉力力F由由零零值值逐逐渐渐增增加加但但不不很很大大时时，物物体
4、体仍仍保保持持静静止止。可可见见支支承承面面对对物物体体除除法法向向约约束束反反力力FN外外，还还有有一一个个阻阻碍碍物物体体沿沿水水平平面面向向右右滑滑动动的的切切向向力力，此此力力即即静静滑滑动动摩摩擦擦力力，简简称称静摩擦力静摩擦力，常以，常以FS表示，方向向左，如图。表示，方向向左，如图。4.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力FNPFNPFSF静静摩摩擦擦力力的的大大小小随随水水平平力力F的的增增大大而而增增大大，这这是是静静摩摩擦擦力力和和一一般般约约束束反反力力共共同同的的性性质质。静静摩摩擦擦力力又又与与一一般般约约束束反反力力不不同同，它它并并不不随随力力F的的增增大大而而
5、无无限限度度地地增增大大。当当力力F的的大大小小达达到到一一定定数数值值时时，物物块块处处于于将将要要滑滑动动、但但尚尚未未开开始始滑滑动动的的临临界界状状态态。这这时时，只只要要力力F再再增增大大一一点点，物物块块即即开开始始滑滑动动。当当物物块块处处于于平平衡衡的的临临界界状状态态时时，静静摩摩擦擦力力达达到到最最大大值值，即即为为最最大大静静滑滑动动摩摩擦擦力力，简简称称最最大大静静摩摩擦擦力力，以以Fmax表表示示。此此后后，如如果果F再再继继续续增增大大，但但静静摩摩擦擦力力不不能能再再随随之之增增大大，物物体体将将失失去去平平衡衡而而滑滑动动。这这就就是是静静摩摩擦力的特点；擦力的
6、特点；4.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力FNPFSF综综上上所所述述可可知知，静静摩摩擦擦力力的的大大小小随随主主动动力力的的情情况况而改变，但介于零与最大值之间，即而改变，但介于零与最大值之间，即 由由实实验验证证明明：最最大大静静滑滑动动摩摩擦擦力力的的大大小小与与两两物物体体间的法向反力的大小成正比间的法向反力的大小成正比，即：，即：这就是静滑动摩擦定律。式中这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。称为静滑动摩擦系数。静摩擦定律（库仑摩擦定律）静静摩摩擦擦系系数数的的大大小小需需由由实实验验测测定定。它它与与接接触触物物体体的的材材料料和和表表面面情情况况(如如粗粗糙糙
7、度度、温温度度和和湿湿度度等等)有有关关，而而与接触面积的大小无关。与接触面积的大小无关。4.1.2 动滑动摩擦定律当当滑滑动动摩摩擦擦力力已已达达到到最最大大值值时时，若若主主动动力力F再再继继续续加加大大，接接触触面面之之间间将将出出现现相相对对滑滑动动。此此时时，接接触触物物体体之之间间仍仍作作用用有有阻阻碍碍相相对对滑滑动动的的阻阻力力，这这种种阻阻力力称称为为动动滑滑动动摩摩擦擦力力，简简称称动动摩摩擦擦力力，以以Fd表表示示。实实验验表表明明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即式式中中f是是动动摩摩擦擦系系数数，它它与与接接触触物物
8、体体的的材材料料和和表表面面情情况有关。况有关。动动摩摩擦擦力力与与静静摩摩擦擦力力不不同同，没没有有变变化化范范围围。一一般般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即 f fs。4.1.2 动滑动摩擦定律 实实际际上上动动摩摩擦擦系系数数还还与与接接触触物物体体间间相相对对滑滑动动的的速速度度大大小小有有关关。对对于于不不同同材材料料的的物物体体，动动摩摩擦擦系系数数随随相相对对滑滑动动的的速速度度变变化化规规律律也也不不同同。多多数数情情况况下下，动动摩摩擦擦系系数数随随相相对对滑滑动动速速度度的的增增大大而而稍稍减减小小，但但当当相相对对滑滑动动速速度度不
9、不大大时时，动动摩摩擦系数可近似地认为是个常数。擦系数可近似地认为是个常数。4.2.1 摩擦角 当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向反力FN和切向摩擦力Fs ,这两个力的合力称为支承面的全约束反力，即FR= FN + Fs ，它与支承面间的夹角j将随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态时，j角达到一最大值jf。全约束力与法线间的夹角的最大值j f称为摩擦角。4.2 摩擦角和自锁现象FNFsFRjFNFmaxFRjjf由图可知，角jf与静滑动摩擦系数f的关系为：4.2.1 摩擦角即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。当物块的滑动趋势方
10、向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，FR的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。FNFmaxFRjjf 4.2.2 自锁现象物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。FNFmaxFRjjfqjfjfjfFRFRAAj (1)如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角
11、jf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力FR与法线间的夹角q jf，因此， FR和全约束反力FRA必能满足二力平衡条件，且q = j j f，而j j f ，支承面的全约束反力FRA和主动力的合力FR不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角a就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P，相当物块A的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺纹的自锁条
12、件是4.2.2 自锁现象4.3 考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的数目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即Fs fsFN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0FsfsFN)，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。 解解1
13、：（解析法）：（解析法） 以物块为研究对象，当物块处于向下以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。图坐标。例例1 将重为将重为P的物块放在斜面上，斜面倾的物块放在斜面上，斜面倾角角 大于接触面的摩擦角大于接触面的摩擦角 （如图），（如图），已知静摩擦系数为已知静摩擦系数为 f ，若加一水平力，若加一水平力 使物块平衡，求力使物块平衡，求力 的范围。的范围。联立求解得：联立求解得： 当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。受力如图，建立如图坐标。联立求解得：联立求解
14、得：故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为： 解解2：（几何法）：（几何法） 当物体处于向下滑动的临界平衡状当物体处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，可得力三角形如图。态时，受力如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：由力三角形可得： 当物体处于向上滑动的临界平衡状当物体处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，可得力三角形如图。态时，受力如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：由力三角形可得：故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为：将上式展开亦可得同上结果。将上式展开亦可得同上结果。例例2 梯子梯子AB长为长为2a，重为，重为P，其一端置于水，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上，如
15、图。设梯平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯子与地和墙的静摩擦系数均为子与地和墙的静摩擦系数均为 ，问梯子与，问梯子与水平线的夹角水平线的夹角 多大时，梯子能处于平衡？多大时，梯子能处于平衡？解解1：（解析法）以梯子为研究对象，当梯：（解析法）以梯子为研究对象，当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，此时如图，此时 角取最小值角取最小值 。建立如图坐。建立如图坐标。标。（1）（2）（3）由摩擦定律由摩擦定律：（4）（5）将式（将式（4）、（）、（5）代入（）代入（1）、（）、（2）得：）得：即可解出：即可解出：故故 应满足的条件是：应满足的条件是：此
16、条件即为梯子的自锁条件。此条件即为梯子的自锁条件。将将 代入（代入（2）求出）求出 ，将，将 和和 代入（代入（3），得：），得：将将 代入上式，解出：代入上式，解出：解解2：（几何法）：（几何法） 当梯子处于向下滑动的临界平衡当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，显然状态时，受力如图，显然 ，于是于是故故 应满足的条件是：应满足的条件是：例例3 在用铰链在用铰链 O 固定的木板固定的木板 AO和和 BO间放一重间放一重 W的匀质圆柱的匀质圆柱, 并用大并用大小等于小等于P的两个水平力的两个水平力P1与与 P2维持平维持平衡衡,如图所示。设圆柱与木板间的摩如图所示。设圆柱与木板间的摩擦
17、系数为擦系数为 f , 不计铰链中的摩擦力以不计铰链中的摩擦力以及木板的重量及木板的重量,求平衡时求平衡时P的范围。的范围。2dP1P2ABCDWO2 ( 分析：分析：P小，下滑；小，下滑； P大，上滑大，上滑)F1F2CDWON1N2设圆柱处于下滑临界状态设圆柱处于下滑临界状态,画受力图画受力图.由对称性得由对称性得:N1 = N2 = NF1 = F2 = F Fy = 0联立联立(1)和和(2)式得式得: 取取OA板为研究对象画受力图，此时的水平力板为研究对象画受力图，此时的水平力有极小值有极小值Pmin(2)求求P的极大值的极大值当当P达到极大值时达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态圆柱
18、处于上滑临界状态.只要改变受力图只要改变受力图中摩擦力的指向和改变中摩擦力的指向和改变 F 前的符号即可前的符号即可.P1N1 ACOF1 FxFyF1F2CDWON1N2P1N1 ACOF1 mO(Fi) = 0max用摩擦角用摩擦角 表示得表示得: 当角当角 等于或大于等于或大于 时时,无论无论P多大多大,圆柱不会向上滑圆柱不会向上滑动而产生自锁现象动而产生自锁现象.4-4 滚动摩擦滚动摩擦(1) (1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩滚阻力偶和滚阻力偶矩QPcrA设一半径为设一半径为r的滚子静止地放在水的滚子静止地放在水平面上，滚子重为平面上，滚子重为P。在滚子的中在滚子的中心作用一较小的水平力心
19、作用一较小的水平力Q。取滚子为研究对象画受力图。取滚子为研究对象画受力图。Fx = 0 Q - F = 0Fy = 0 N - P = 0mA(Fi) = 0 m - Qr = 0m = Q rQPcrANFm(2) (2) 产生滚阻力偶的原因产生滚阻力偶的原因AoQPNFRAoQPB 滚子与支承面实际上滚子与支承面实际上不是刚体不是刚体, ,在压力作用下在压力作用下它们都会发生微小变形。它们都会发生微小变形。 设反作用力的合力为设反作用力的合力为R并作用于并作用于B点点, ,滚子在力滚子在力P , , Q与与R作用下处于平衡状态。作用下处于平衡状态。 将力将力 R 沿水平与竖直两个方向分解沿
20、水平与竖直两个方向分解, ,则水平分力即为摩擦力则水平分力即为摩擦力F，竖直分力即为竖直分力即为法向反力法向反力N。由于物体变形力由于物体变形力N向前偏移一微小距离向前偏移一微小距离e。eAoQPNFmAoQPFN将力将力F与与N向向A点简化，得到作用于点简化，得到作用于A点的力点的力 N与与F，另外还得到一附加力偶，另外还得到一附加力偶. .其力偶矩为其力偶矩为m = N e 。即阻止滚子滚动的滚阻力偶。即阻止滚子滚动的滚阻力偶。(3) 滚动摩擦定律滚动摩擦定律mA(Fi) = 0 m - Qr = 00 m mmaxmmax = N滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比。滚阻力偶矩的最大值与法
21、向反力成正比。例例6.6. 在搬运重物时下面常垫以滚木，如图所示。设重物重在搬运重物时下面常垫以滚木，如图所示。设重物重W,滚木重滚木重W ，半径为半径为 r，滚木与重物间的滚阻系数为，滚木与重物间的滚阻系数为 ，与，与地面间的滚阻系数为地面间的滚阻系数为 。求即将拉动时水平力。求即将拉动时水平力P的大小。的大小。WWWO1O2P解解:1 :1 取整体为研究对象画受力图。取整体为研究对象画受力图。Fx= 0 Fy= 0 P - F1 - F2 = 0 (1)- W - 2W + N1 + N2 = 0 (2)WWWO1O2N1N2F1F2P2 取左面的滚木为研究对象画受力图。取左面的滚木为研究
22、对象画受力图。mA(Fi) = 0O1WN1F1N3F3 AN1( + ) -2F1 r - W = 0 (3)O2WN2F2N4F4 B3 3 取右面的滚木为研究对象得取右面的滚木为研究对象得: :mB(Fi) = 0N2( + ) -2F2 r - W = 0 (4)联立联立(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)式得式得: :讨论讨论: (1) : (1) 设设W=1000kN ,W=0 , =0.05cm , =0.20cm ,r=12.5cm。代入得代入得: : P=10kN.(2) (2) 当当 = =0 时时 P = 0 。此时相当于把。此时相当于把重物放在一个理想光滑面
23、上。重物放在一个理想光滑面上。 1 1、摩擦力、摩擦力-是一种切向约束反力，方向总是与物体相对运动趋势方向相反，而 0FFmax 。 一、概一、概 念念： 第四章第四章 摩擦习题课摩擦习题课 本本 章章 小小 结结 a a. 当滑动没发生时 Ff N (F=P 外力)b. 当滑动即将发生时 Fmax= f N c. 当滑动已经发生时 F = f N (一般 f 稍小于 f ，精度要求不高时取 f f ) （Q Q为所有主动力的合力） 当时自锁。b. 当时，物体平衡。2 2、 全反力与摩擦角全反力与摩擦角a. 全反力R R（即F F 与N N 的合力）3、 自锁自锁3 3、除平衡方程外，增加补充
24、方程、除平衡方程外，增加补充方程 ( (一般取临界平衡一般取临界平衡状态计算）状态计算）2 2、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常是力、尺寸或角度的一个平衡范围值。（原因是是力、尺寸或角度的一个平衡范围值。（原因是 和和 ）二、二、考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑滑动摩擦时的平衡问题1 1、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；2 2、解题方法：、解题方法：解析法解析法 几何法几何法4 4、解题步骤同前。、解题步骤同前。三、解题中应该注意的问题三、解题中应该注意的问题：1 1、摩擦力的方向一般不能假设，要根据物体运动趋势来判断。、摩擦力的方向一般不能假设，要根据物体运动趋势来判断。（只有在求解判断物体是否平衡的问题时，可以假设其方向）（只有在求解判断物体是否平衡的问题时，可以假设其方向）
