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1、学习必备 欢迎下载 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【考点聚焦】 知识点： 一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 大纲要求: 1.掌握一元二次方程根的判别式， 会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程， 会根据字母的取值范围判断根的情况， 也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 【备考兵法】 考查重点与常见题型 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择
2、题或填空题中，如：关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0一元二次方程002acbxax有两个 实数根，即2, 1x . （2）acb42=0一元二次方程有 相等的实数根，即21xx . （3）acb420一元二次方程002acbxax 实数根. 2一元二次方程根与系数的关系 若关于 x 的一元二次方程20(0)axbxca 有两根分别为1x，2x，那么21xx ，21xx . 【典例精析】 例 1（20XX 年四川绵阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2（k1）x + k21 = 0 有两个不相等的实数根 （1）求实数 k的取值范围； （2）0 可能是方程的一个根吗？若是，请
3、求出它的另一个根；若不是，请说明理由 【分析】这是一道确定待定系数 m 的一元二次方程， 又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力 【答案】 （1）= 2（k1） 24（k21） = 4k28k + 44k2 + 4 =8k + 8 原方程有两个不相等的实数根， 8k + 80，解得 k1，即实数 k的取值范围是 k1 （2）假设 0 是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k1） 0 + k21 = 0， 解得 k =1 或 k = 1（舍去） 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一
4、元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根的情况确定字母的取值范定理分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元学习必备 欢迎下载 即当 k =1 时，0 就为原方程的一个根 此时，原方程变为 x24x = 0，解得 x1 = 0，x
5、2 = 4，所以它的另一个根是 4 例 2（20XX 年北京）已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程： x21=0 （1） x2+x2=0 （2） x2+2x3=0 （3） x2+（n1）xn=0 （n） （1）请解上述一元二次方程（1） ， （2） ， （3） ， （n） ； （2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可 【分析】由具体到一般进行探究 【答案】 （1）（x+1） （x1）=0，所以 x1=1，x2=1 （x+2） （x1）=0，所以 x1=2，x2=1 （x+3） （x1）=0，所以 x1=3，x2=1 （x+n） （x1）=0，所以 x1=
6、n，x2=1 （2）比如：共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等 【点评】 本例从教材要求的基本知识出发， 探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查 例 3（20XX 年江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？ 【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm，则长为 2xm，根据题意，得 （x2） （2x4）=288 解这个方程，得 x1=
7、10（不合题意，舍去） ，x2=14 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根的情况确定字母的取值范定理分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问
8、题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元学习必备 欢迎下载 所以 x=14，2x=2 14=28 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2 解法二：设矩形温室的长为 xm，则宽为12xm 根据题意，得（12x2） （x4）=288 解这个方程，得 x1=20（不合题意，舍去） ，x2=28 所以 x=2812x=12 28=14 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2 【解析】在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同， 但在解题中心须注意所求出的方程
9、的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去 【迎考精练】 一、选择题 1.（20XX 年台湾）若 a 、b 为方程式 x2 4(x 1)=1 的两根，且 ab，则ba=_？ A5 B4 C1 D. 3 2. （20XX 年湖南株洲） 定义： 如果一元二次方程20(0)axbxca 满足0abc ，那么我们称这个方程为“ 凤凰” 方程. 已知20(0)axbxca 是“ 凤凰” 方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 Aac Bab Cbc D abc 3.(20XX 年四川成都)若关于x的一元二次方程2210kxx 有两个不相等的实数根， 则k的取值
10、范围是 A.1k B.1k 且0k C.1k D. 1k 且0k 4.（20XX 年内蒙古包头）关于x的一元二次方程2210xmxm 的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，则212()xx的值是（ ） A1 B12 C13 D25 5.（2009 湖北荆州）关于 x 的方程2(2)20axax 只有一解（相同解算一解） ，则 a的值为（ ） A0a B2a C1a D0a 或2a 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根的情况确定字母的取值范定理
11、分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元学习必备 欢迎下载 6.（20XX 年山东烟台）设ab，是方程220090xx 的两个实数根，则22aab的值为（ ） A2006 B2007 C2008 D2009 7 （20XX 年湖北宜昌）设方
12、程 x24x1=0 的两个根为 x1与 x2，则 x1x2的值是( ) A4 B1 C1 D 0 8 （20XX 年湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A0122 xx B0322 xx C3322xx D0442 xx 9 （20XX 年四川眉山）若方程2310xx 的两根为1x、2x，则1211xx的值为( ) A3 B3 C13 D13 10 （20XX 年山东东营）若 n（0n ）是关于 x 的方程220xmxn的根，则 m+n 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、填空题 1.(20XX 年上海市)如果关于x的方程20xxk （k为常数）有两个相等的实
13、数根，那么k 2.（20XX 年山东泰安）关于 x 的一元二次方程02) 12(22kxkx有实数根，则k 的取值范围是 。 3. （20XX 年广西崇左） 一元二次方程230xmx 的一个根为1， 则另一个根为 4.（20XX 年广西贺州）已知关于 x 的一元二次方程02mxx有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 三、解答题 1. （20XX 年山东淄博） 已知12xx，是方程220xxa 的两个实数根， 且12232xx （1）求12xx，及 a 的值； （2）求32111232xxxx的值 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数
14、一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根的情况确定字母的取值范定理分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元学习必备 欢迎下载 2(20XX 年广东中山)已知：关于x的方程2210xkx （
15、1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值 3.（20XX 年重庆江津区）已知、分别是ABC 的三边，其中1，4，且关于 x 的方程042bxx有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状. 4 （20XX 年湖南怀化）如图，已知二次函数22)(mkmxy的图象与x轴相交于两个不同的点1(0)A x，、2(0)B x ，与y轴的交点为C设ABC的外接圆的圆心为点P （1）求P与y轴的另一个交点 D 的坐标； （2）如果AB恰好为P的直径，且ABC的面积等于5，求m和k的值 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数
16、一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根的情况确定字母的取值范定理分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元学习必备 欢迎下载 5 （20XX 年湖北黄石）已知关于x的函数21yaxx （a
17、为常数） （1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值； （2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围 【参考答案】 选择题 AABC 【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知：1212.21xxmx xm 又22212121227xxxxx x 22 217mm 得11m ，25m ，而当5m 时，原方程的判别式254 9110 ，此时方程无解， 5m 不合 题意舍去. 12121.3xxx x 22212121241431 3xxxxx x ，故选 C 本题易出错，学生易在求得11m 或25m 的两个值后，代入1212.21xxmx xm，求出
18、 22121212413xxxxx x或11，易漏掉检验方程是否存在实根. 1. D【解析】本题考查方程的有关知识，关于 x 的方程2(2)20axax 只有一解，有两种情况，该方程是一元一次方程，此时0a ，该方程是一元二次方程，方程有两个相等等的实数根，22420aa，解得2a ，故选 D. 2. CBABD 填空题 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根的情况确定字母的取值范定理分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判
19、别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元学习必备 欢迎下载 1. 41 2. 49k 3.34. 14m 解答题 1. 解： （1）由题意，得12122232.xxxx ， 解得121212xx ， 所以12(12)(12)1axx （2）法一： 由题意，得211210xx 所以32111232xxxx=32
20、211111223xxxxxx =21112211211xxxx 2. 解： （1）2210xkx ，2242 ( 1)8kk ， 无论k取何值，2k 0，所以280k ，即0， 方程2210xkx 有两个不相等的实数根 （2）设2210xkx 的另一个根为x，则12kx ，1( 1)2x ， 解得：12x ，1k ，2210xkx 的另一个根为12，k的值为 1 3. 解:方程240xxb 有两个相等的实数根 =2( 4)40bb=4.c=4.b=c=4.ABC 为等腰三角形. 4. 解 （1） 易求得点C的坐标为(0)k，由题设可知12xx，是方程0)(22mkmx即 022kmxx的两根
21、， 故21 22( 2 )42mmkx ， 所以12122xxmxxk ， 如图 3，P 与y轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是P 的 两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 DB， AOCDOC，则. 121kkkxxOCOBOAOD 由题意知点C在y轴的负半轴上，从而点 D 在y轴的正半轴上， 所以点 D 的坐标为（0，1） （2）因为 ABCD， AB又恰好为P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称， 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根
22、的情况确定字母的取值范定理分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元学习必备 欢迎下载 所以点C的坐标为(01)，即1k） 又2222212112()4( 2 )4221ABxxxxx xmkmkm ， 所以21121 1522ABCSAB
23、OCm 解得. 2m 5. 解： （1）当0a 时，函数为1yx ，它的图象显然与x轴只有一个交点( 10)， 当0a 时，依题意得方程210axx 有两等实数根1 40a ，14a 当0a 或14a 时函数图象与x轴恰有一个交点 （2）依题意有4104aa分类讨论解得14a 或0a 当14a 或0a 时，抛物线顶点始终在x轴上方 根的个数关系判别式与根韦达定理及其逆定理大纲要求掌握一元二次方程根的判别式会判断常数系数一元二次方程根的情况对含有字母系数的由一元二次方程会根据字母的取值范围判断根的情况也会根据根的情况确定字母的取值范定理分析解决一些简单的综合性问题备考兵法考查重点与常见题型利用根的判别式判别一元二次方程根的情况有关试题出现在选择题或填空题中如关于的方程中如果那么根的情况是有两个相等的实数根有两个不相等的实数根没有实高多为选择题或填空题如设是方程的两根则的值是在中考试题中常出现有关根的判别式根与系数关系的综合解答题在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题考查了考生分析问题解决问题的能力在一元二次方程的应用中列一元
