分形曲线与面积计算

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1、1/11Koch分形分形曲线与面积计算曲线与面积计算分形图形的基本特征分形图形的基本特征正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换Koch分形曲线分形曲线Koch分形分形雪花面积计算雪花面积计算2/11分形分形(Fractal)图形最基本特征是自相图形最基本特征是自相似性，即某一对象的局部与整体在形似性，即某一对象的局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面态、功能、信息、时间、空间等方面具有相似性。具有相似性。在自相似的图形中，局部只是整在自相似的图形中，局部只是整体的缩影，而整体则是局部的放体的缩影，而整体则是局部的放大。适当的放大或缩小几何尺寸，大。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改

2、变。整个结构并不改变。分形概念始现于数学家曼德勃罗分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967年发表于美国科学杂志一篇论文年发表于美国科学杂志一篇论文“英国海岸线有多长英国海岸线有多长” ” 。Mandelbrot 1924- 2010算算法法描描述述: :将将一一条条直直线线段段三三等等分分, ,删删除除中中间间三三分分之之一一部部分分, ,用用一一等等边边三三角角形形的的腰腰代代替替, ,形形成成四四条条线线段段的的折折线线. .每一线段重复以上操作每一线段重复以上操作, ,迭代产生曲线迭代产生曲线 KnKoch分形曲线分形曲线Koch分形曲线分形曲线Koch岛岛A是正交矩阵是正交矩阵.功能功能

3、:对向量做旋转变换对向量做旋转变换.P1P2P1P2Q1Q2Q3(1) Q1 P1 + (P2P1)/3; Q3 P1 + 2(P2P1)/3;(2) Q2 Q1 + (Q3Q1)AT;(3) P5 P2; P2 Q1; P3 Q2; P4 Q3基本算法基本算法5/116/11function koch0(P,N)if nargin=0,P=0 0;1 0;N=3;endn=max(size(P)-1;A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3);for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p

4、1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3;endplot(P(:,1),P(:,2),axis offaxis imageMATLAB代码代码参考资料参考资料: 分形论分形论奇奇异性探索异性探索,作者作者:林鸿溢林鸿溢课外作业课外作业:完成面积计算的完成面积计算的数学实验报告数学实验报告(电子文档电子文档)Kn的边数的边数:Kn的的周长周长:Kn的维数的维数:相邻两次的边数比和边长比相邻两次的边数比和边长比格林公式导出的面积

5、计算方法格林公式导出的面积计算方法 取取区域区域 D 的面积公式的面积公式设设 D 是平面多边形是平面多边形, 顶点为顶点为: 第第 k 条边条边: 9/11多边形面积计算公式多边形面积计算公式:MATLAB函数函数: polyarea(x,y)10/11一、一、 Koch分形雪花分形雪花1.1.算法描述算法描述Koch分形雪花分形雪花2.2.证明证明Koch分形雪花图分形雪花图 Kn 的的边数为边数为 3.3.求求Koch分形雪花图分形雪花图 Kn 的的面积面积 面积计算的数学实验报告面积计算的数学实验报告(三选一三选一,或题材自选或题材自选)11/11二、竞赛题的实验设计二、竞赛题的实验设

6、计 ( (第一届全国大学生数学夏令营第第一届全国大学生数学夏令营第6 6题题 )设设P1为边长等于为边长等于1的等边三角形的等边三角形，P2是由是由P1之各边之各边3等等分点连接成的六边形分点连接成的六边形，Pn+1是由是由Pn之各之各边边3等分点连成的多边形等分点连成的多边形。试证试证Pn的边数为的边数为： 求求 Pn 所围面积和面积数列的极限所围面积和面积数列的极限 12/11三、三、矿区面积计算矿区面积计算 在某矿区的地图上建立在某矿区的地图上建立平面坐标系，设定矿区平面坐标系，设定矿区最西南处为坐标原点，最西南处为坐标原点，取自西向东方向为取自西向东方向为X轴轴正向，自南向北方向为正向，自南向北方向为Y轴正向。试计算面积轴正向。试计算面积 同类问题同类问题:杭州西湖面积、杭州西湖面积、洞庭湖面积、洞庭湖面积、