§1-2 §1-2 复平面上曲线和区域复平面上曲线和区域一一ΔΔ、、复平面上曲线方程的各种表示复平面上曲线方程的各种表示二二ΔΔ、、简单曲线与光滑曲线简单曲线与光滑曲线三、平面点集与区域三、平面点集与区域1 一、复平面上一、复平面上曲线方程的各种表示曲线方程的各种表示复平面上复平面上曲线方程有两种表示方式曲线方程有两种表示方式•直角坐标方程直角坐标方程•参数方程参数方程2 1.1.复平面上曲线复平面上曲线 C C 的直角坐标方程的直角坐标方程3 例例 试用复数表示圆的方程试用复数表示圆的方程 其中其中 A,B,C,DA,B,C,D是实常数（是实常数（ ））4 如果如果A=0,BA=0,B及及C C不全为不全为0 0，这是直线方程，这是直线方程即为复平面上，直线方程的一般形式即为复平面上，直线方程的一般形式5 (1) 用复数的实部或虚部的等式表示用复数的实部或虚部的等式表示Re(z-z0)=a是是XOY平面上的直线平面上的直线 x=a+Re(z0)Im(z-z0)=b是是XOY平面上的直线平面上的直线y=b+Im(z0)P15,6(3)Im(z-i2)=246 (2)用复数模的等式表示用复数模的等式表示|z-z0|表示动点表示动点z到定点到定点z0的距离的距离|z-z0|＝＝a表示以表示以z0为中心，以为中心，以a为半径的圆周为半径的圆周|z-z1|＝＝ |z-z2|表示到定点表示到定点z1和和z2等距离点的等距离点的轨迹，即线段轨迹，即线段z1z2的垂直平分线的垂直平分线|z-z1|＋＋ |z-z2|＝＝2a(|z1-z2|<2a|)表示以表示以z1和和z2为焦点，以为焦点，以a为半长轴的椭圆为半长轴的椭圆7 |z-z1|－－ |z-z2|＝＝2a或－或－2a (|z1-z2|>2|a|)表示以表示以z1和和z2为焦点，以为焦点，以a为实半轴的双曲线，其为实半轴的双曲线，其中正号代表离焦点中正号代表离焦点z2近的分支，负号代表近的分支，负号代表另一分支。
另一分支P15,6(1)|z+2|+|z-2|=632-28 (3)用含复数辐角的不等式表示用含复数辐角的不等式表示从点从点z z0 0出发，与实轴夹角出发，与实轴夹角θθ0 0的射线的射线P16,10(4)P15,6(4)i9 2.曲线的参数表示法曲线的参数表示法复复平面上曲线平面上曲线 C C上的动点上的动点z(t)=z(t)=x(t)+iy(tx(t)+iy(t) )参数参数t t在在[a,b][a,b]上上P15,7(2)z=t2+it表示抛物线y2=x10 设复设复平面上曲线平面上曲线 C C 的的参数方程参数方程那么，复那么，复平面上曲线平面上曲线 C C上的动点上的动点z(t)z(t) 依赖于参数依赖于参数t.t. 11 例例 指出方程表示什么曲线指出方程表示什么曲线从点从点z z0 0出发，与实轴夹角出发，与实轴夹角θθ0 0的射线的射线解：因为解：因为 等价于等价于X=t,y=t+X=t,y=t+αα, ,消去消去t t得得y=x+y=x+αα(x>0)(x>0)12 2 Jordan曲线与连通区域曲线与连通区域（（1）） 连续曲线连续曲线平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示: :13 （（2）） Jordan曲线曲线 除起点与终点外无重点的连续曲线除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为称为简单曲线简单曲线. . 起点与终点重合的曲线起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线称为闭曲线. . 简单闭曲线称为简单闭曲线称为Jordan(Jordan(若当若当) )曲线曲线. .14 Jordan曲线的性质曲线的性质 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C 将复平面将复平面唯一地分成三个互不相交的点集唯一地分成三个互不相交的点集. .内部内部外部外部边界边界15 课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭16 （（3）） 光滑曲线光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为称为逐逐( (分分) )段光滑曲线段光滑曲线. .17 （（1）） 邻域邻域注意注意三、平面点集三、平面点集与区域与区域18 (2) 去心邻域去心邻域注意：注意：19 (3) 内点内点(4) 开集开集 如果如果G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末称那末称G 为开集为开集. .20 (5) 区域区域 连通的开集称为区域连通的开集称为区域, , 即：如果平面点集即：如果平面点集 D D 满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称它为一个区域则称它为一个区域. . D是一个是一个开集开集；； D D是是连通的连通的, , 就是说就是说D D 中任何两点都可以中任何两点都可以用完全属于用完全属于D D 的一条折线连结起来的一条折线连结起来. .(6) 区域的区域的边界点、边界边界点、边界边界点：边界点：21 注意注意1：： 区域的边界可能是由几条曲线和一些区域的边界可能是由几条曲线和一些 孤立的点所组成的孤立的点所组成的. 注意注意2：： 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. . 进一步地，设进一步地，设 D是是一个平面区域一个平面区域, , 点点 P 不属不属于于D, 但但 P P 的任一邻域内总有的任一邻域内总有D的点的点, ,则则称称 P为为区区域域 D 的边界点的边界点.22 以上基本概念的图示以上基本概念的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界(7) 有界区域和无界区域有界区域和无界区域23 (1) 圆环域圆环域:课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:(3) 角形域角形域:(4) 带形域带形域:答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无无界界.24 例例 设点集设点集 则点则点 是是 的内点；的内点； 是是 的边界点；的边界点； 是是 的外点；的外点； 是开集且为有界集；是开集且为有界集； ，， 是闭集且为有界集．是闭集且为有界集．即即 常称为单位圆．常称为单位圆． 这里的这里的 25 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 必将复平面唯一地分成必将复平面唯一地分成 三个点集，使它们满足：三个点集，使它们满足：（（1 1）彼此不相交；）彼此不相交；（（2 2）） 是有界区域是有界区域（称为曲线称为曲线 的的内部内部）；）；（（3 3）） 是无界区域是无界区域（称为曲线称为曲线 的的外部外部）；）； （（4 4））C C 既是既是 的边界又是的边界又是 的边界；的边界；外部外部(8) 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义26 复平面上的一个区域复平面上的一个区域G G, , 如果在其中任作如果在其中任作一条简单闭曲线一条简单闭曲线, , 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于G G, , 就就称为称为单连通单连通区域区域. . 一个区域如果不是单连通一个区域如果不是单连通域域, , 就称为就称为多连通多连通区域区域. .单连通域多连通域27 例例 设 设 ，， E表示上半平面表示上半平面由定义得知，由定义得知， 是单连通区域是单连通区域D表示环表示环D D 是多连通区域．是多连通区域．28 3 例题例题例例 1 1 指出下列不等式所确定的点集指出下列不等式所确定的点集, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的.解解无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).29 是是角形域角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).无界的多连通域无界的多连通域. 30 表示到表示到1, –1的距离之和的距离之和为定值为定值 4 的点的轨迹的点的轨迹, 是是椭圆椭圆,有界的单连通域有界的单连通域.31 有界集有界集.但不是区域但不是区域.32 例例 2 2解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?是是一条平行于实轴的直线一条平行于实轴的直线, 不是区域不是区域.单连通域单连通域.33 是是多连通域多连通域.不是区域不是区域.34 §1-3 复变函数与整线性映射复变函数与整线性映射35 一一ΔΔ 、、复变函数的概念复变函数的概念 复变函数这门课程复变函数这门课程研究的对象是解析函数研究的对象是解析函数，，而解析函数是一种特殊的复变函数，因此，在讨而解析函数是一种特殊的复变函数，因此，在讨论了复数集后，我们还需要讨论复变函数的有关论了复数集后，我们还需要讨论复变函数的有关概念，进而为研究解析函数作好准备．概念，进而为研究解析函数作好准备． 36 定义定义：设在复平面上已给点集：设在复平面上已给点集D D，，如果存在一个法如果存在一个法 则则 使得对于每点使得对于每点z=z=x+yix+yi D, D,都有确定的复数都有确定的复数 w=u+viw=u+vi与之对应与之对应, ,则称在则称在D D 上确定一个上确定一个复变函数复变函数，， 记作记作: : 若依若依 对于对于z Dz D 只有一个确定的只有一个确定的w w与之对应，则称与之对应，则称 为为单值函数单值函数．否则，称．否则，称 为为多值函数多值函数．．37 例如，例如， 为单值函数，为单值函数， 为多值函数．为多值函数． 若无特殊声明，则我们讨论的函数均为若无特殊声明，则我们讨论的函数均为单值函数单值函数38 同实变函数一样，在上述定义中，我们称同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合集合 为函数的为函数的定义域定义域，称，称C C的子集的子集 为函数的为函数的值域值域，，z z 与与 w w 分别称为函数的分别称为函数的自变量自变量与与因变量因变量 39 函数函数f f也称为也称为映射映射。
集合集合E E所在的复平面称为所在的复平面称为Z Z平平面面, ,把函数值把函数值ωω所在的复平面称为所在的复平面称为W W平面平面. .二、复映射二、复映射 复变函数复变函数 的定义类似于数学分的定义类似于数学分析中实函数析中实函数 的定义，不同的是前者的定义，不同的是前者是复平面到复平面的是复平面到复平面的映射映射，着重刻划，着重刻划点与点点与点之之间的对应关系，所以无法给出它的图形间的对应关系，所以无法给出它的图形而函而函数则着重刻划数则着重刻划数与数数与数之间的对应关系．之间的对应关系．40 设有函数设有函数 ，， 为区域，若对为区域，若对 ，当，当 时，时， 则则 为为 上的上的单叶函数单叶函数，而称，而称 为为 的的单叶性区域单叶性区域．． 例如例如 是复平面上的单叶函数，复平是复平面上的单叶函数，复平面是该函数的单叶性区域面是该函数的单叶性区域 41 例如例如 求直线求直线y=xy=x在映射在映射w=w=iziz下的象．下的象． 将将 y=x y=x 代入代入 w=w=iziz 得得 42 43 三、整线性映射及其保圆性三、整线性映射及其保圆性整线性映射整线性映射是指是指 ： 其中其中 为复常数为复常数. . 令令 ，， 则则 1.1.平移平移 2.2.旋转旋转 3.3.伸缩伸缩44 因此整线性映射因此整线性映射 w=az+b也具有也具有保圆性保圆性。
45 §1-4 复变函数的极限和连续复变函数的极限和连续46 注意注意: :一、一、 复变函数的极限复变函数的极限47 定理定理1 1 定理定理2 2 设设 ，， ，， ，， ，则有，则有 48 定理定理3 3 设设 ，则有，则有1 1））2 2））3 3）当）当 时，时， 49 证明证明50 二、二、函数的连续性函数的连续性51 举例说明如下：举例说明如下：52 53 (1) 多项式多项式(2) 有理分式函数有理分式函数在在复平面内使分母不为零的点也是连续的复平面内使分母不为零的点也是连续的.54 例例 2 2证证55 例例 3 3证证56 与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证得以下定理得以下定理定理定理5 5 函数函数 在简单曲线在简单曲线 （包括两端点）或（包括两端点）或者有界闭区域者有界闭区域 上连续，则上连续，则⑴⑴ 在在 或者或者 为连续； 为连续； ⑵⑵ 在它上能取到最大值与最小值；在它上能取到最大值与最小值； ⑶⑶ 在它上一致连续，即对任意的在它上一致连续，即对任意的 , ,存存在在 ，使当，使当 或者或者 且且 时，有时，有 57 复变函数在一点的极限可用两个二元实复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即函数在一点的极限来讨论，即 58 复复数数平面平面表示法表示法定义定义表示表示法法三角表示法三角表示法曲线与区域曲线与区域球面球面表示法表示法复数复数表示法表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共轭运算共轭运算代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根本章主要内容本章主要内容向量向量表示法表示法59 复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章本章注意两点注意两点60 。