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1、第一节第一节 数制与编码数制与编码第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础第三节第三节 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式第四节第四节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简小结小结 本章将依次讨论数字系统中本章将依次讨论数字系统中数的表示方法数的表示方法、常、常用的几种用的几种编码编码，然后介绍，然后介绍逻辑代数逻辑代数的基本概念和基的基本概念和基本理论，说明本理论，说明逻辑函数逻辑函数的基本表示形式及其化简。的基本表示形式及其化简。逻辑函数及其化简。逻辑函数及其化简。重点重点: :二进制数、二进制数、常用的几种编码、常用的几种编码、逻辑代数基础、逻辑代数基础、数制数制不同数制之间的转换不同数制之间的
2、转换二进制正负数的表示及运算二进制正负数的表示及运算常用的编码常用的编码第一节第一节 数制与编码数制与编码 一、数制一、数制2 321031203+2 3十位数字十位数字2个位数字个位数字3权值基数：基数： 由由09十个数码组十个数码组成，基数为成，基数为10。位权：位权：102 101 100 10-1 10-2 10-3计数规律：计数规律： 逢十进一逢十进一权值1010的幂的幂十进制（十进制（Decimal） 10-1权权 权权 权权 权权任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(652.5)D位置计数法位置计数法按按权权展开式展开式
3、(N)D=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)D=Kn-1 10n-1 + +K1101 + K0100 + K-1 10-1 + + K-m 10-m十进制（十进制（Decimal）第一节第一节 数制与编码数制与编码 = 6 102+ 5 101+ 2 100+ 5下标下标D表示十进制表示十进制二进制（二进制（Binary）第一节第一节 数制与编码数制与编码 只由只由0、1两个数码和小数点组成，两个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值2i。基数基数2，逢二进一逢二进一任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。任意一个二进制数，都可按其权位展成
4、多项式的形式。(N)B=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)B=Kn-1 2n-1 + +K121 + K020 + K-1 2-1 + + K-m 2-m下标下标B表示二进制表示二进制任意任意R进制进制只由只由0 （R-1）R个数码和小数点组成，个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值Ri，基数基数R，逢逢R进一进一。(N)R=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)R=Kn-1 Rn-1 + +K1R1 + K0R0 + K-1 R-1 + + K-m R-m任意一个任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式。进制数，都可按其权位展成多项式的
5、形式。常用数制对照表常用数制对照表 十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789ABCDEF第一节第一节 数制与编码数制与编码 二、不同数制之间的转换二、不同数制之间的转换二进制转换成十进制二进制转换成十进制 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 二进制转换成十六进制二进制转换成十六进制
6、 十六进制转换成二进制十六进制转换成二进制 例：例： ( 10011.101 )B= ( ？ )D(10011.101)B124023022121120 121022123 二进制转换成十进制二进制转换成十进制 利用二进制数的利用二进制数的按权展开按权展开式式，可以将任意一个二进制数，可以将任意一个二进制数转换成相应的十进制数。转换成相应的十进制数。（19.625）D第一节第一节 数制与编码数制与编码 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 整数部分的转换整数部分的转换除除基基取取余余法法：用用目目标标数数制制的的基基数数（R=2=2）去去除除十十进进制制数数，第第一一次次相相除除所所得得余余数
7、数为为目目的的数数的的最最低低位位K0 0，将将所所得得商商再再除除以以基基数数，反反复复执执行行上上述述过过程程，直直到到商商为为“0”“0”，所所得得余余数数为为目目的数的的数的最高位最高位Kn-1-1。例：（例：（29）D=（？）（？）B29147310 2 2 2 2 21K00K11K21K31K4LSBMSB得（得（29）D=（11101）B第一节第一节 数制与编码数制与编码 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 小数部分的转换小数部分的转换乘基取整法乘基取整法：小数小数乘以目标数制的乘以目标数制的基数基数（R=2=2），），第一次第一次相乘结果的相乘结果的整数整数部分为目的数的部
8、分为目的数的最高位最高位K-1-1，将其小数部分再将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为直到小数部分为“0”“0”，或满足要求的，或满足要求的精度精度为止（即根据设备字长限制，取为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。有限位的近似值）。例：将十进制数例：将十进制数（0.723）D转换成转换成不大于不大于2-6的二的二进制数。进制数。 不大于不大于2-6 ，即要求保留到即要求保留到小数点后第六位。小数点后第六位。例：将十进制数例：将十进制数（0.723）D转换成转换成不大于不大于2-6的二进的二进制数。制数。0.723 2K
9、-110.446K-20.892K-30.784K-40.568K-50.136由此得：由此得：(0.723)D=(0.101110)B十进制十进制二进制二进制八进制、十六进制八进制、十六进制第一节第一节 数制与编码数制与编码 0.272 2 2 2 2 201110K-6 从从小小数数点点开开始始，将将二二进进制制数数的的整整数数和和小小数数部部分分每每4 4位位分分为为一一组组，不不足足四四位位的的分分别别在在整整数数的的最最高高位位前前和和小小数数的的最最低低位位后后加加“0”“0”补补足足，然然后后每每组组用用等等值值的的十十六六进进制制码码替替代，即得目的数。代，即得目的数。例例：
10、（1011101.101001）B = （?）H ( (1011101.101001） B = （5D.A4） H1011101.101001小数点为界小数点为界000D5A4二进制与十六进制之间的转换二进制与十六进制之间的转换 第一节第一节 数制与编码数制与编码 第一节第一节 数制与编码数制与编码 二进制与八进制之间的转换二进制与八进制之间的转换 从从小小数数点点开开始始，将将二二进进制制数数的的整整数数和和小小数数部部分分每每3 3位位分分为为一一组组，不不足足三三位位的的分分别别在在整整数数的的最最高高位位前前和和小小数数的的最最低低位位后后加加“0”“0”补补足足，然然后后每每组组用用
11、等等值值的的八八进进制制码码替替代代，即得目的数。即得目的数。例例：（：（11010111.0100111）B = （?）Q（11010111.0100111）B = （327.234 ）Q11010111.0100111小数点为界小数点为界000723234补码分为两种：补码分为两种：基数的补码基数的补码和和降基数的补码降基数的补码。前面介绍的十进制和二进制数都属于前面介绍的十进制和二进制数都属于原码原码。各种数制都有各种数制都有原码原码和和补码补码之分。之分。第一节第一节 数制与编码数制与编码 三、二进制正负数的表示及运算三、二进制正负数的表示及运算n是二进制数是二进制数N整数部分的位数。
12、整数部分的位数。 二进制数二进制数N 的基数的补码又称为的基数的补码又称为2 2的补码，的补码，常简称为常简称为补码补码，其定义为，其定义为例：例：1010补补=24-1010=10000-1010=01101010.101补补=24-1010.101=10000.000- 1010.101 =0101.011二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 1010.101反反=(24-2-3)-1010.101 =1111.111-1010.101 =0101.010n是二进制数是二进制数N整数部分的位数，整数部分的位数，m是是N的小数部分的位数。的小数部分的位数。第一节第一节 数制与编码数制与
13、编码 例：例：1010反反=(24-20)-1010=1111-1010=0101 二进制数二进制数N的降基数补码又称为的降基数补码又称为1的补码，习惯的补码，习惯上称为上称为反码反码，其定义为，其定义为二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 N反反=01001001第一节第一节 数制与编码数制与编码 二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 例：例：N =10110110 根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有效位加效位加1得到。得到。N补补= 无论是补码还是反码，按定义无论是补码还是反码，按定义再求补或求反再求补或求反一次，将还原为原码。一次
14、，将还原为原码。01001001+ 00000001 0100101001001010即即N补补= N反反+1+1即即N补补补补= N原原第一节第一节 数制与编码数制与编码 例：例：(+43)D 二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三种表示方法。对于种表示方法。对于正数正数而言，三种表示法都是一样而言，三种表示法都是一样的，即的，即符号位为符号位为0，随后是，随后是二进制数的绝对值二进制数的绝对值，也就，也就是原码。是原码。二进制正负数的表示法二进制正负数的表示法 符号位符号位绝对值绝对值 二进制负数的原码、反码和补码二进制负数的原码、反码和补码= 0
15、0101011例：例：-25原原= 1 0011001-25反反= 1 1100110-25补补= 1 1100111符号位符号位“1”加原码加原码 符号位符号位“1”加反码加反码 符号位符号位“1”加补码加补码补码运算：补码运算： X1反反+X2反反 = X1+X2反反符号位参加运算符号位参加运算X1补补+X2补补 = X1+X2补补符号位参加运算符号位参加运算 在数字电路中，用原码求两个正数在数字电路中，用原码求两个正数M和和N的减法运算的减法运算电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可把原码的把原码的减法运算变成反码或补码的加法运算减法运算变成反码
16、或补码的加法运算，易于电路实现。，易于电路实现。补码的算术运算补码的算术运算 反码运算反码运算 ：第一节第一节 数制与编码数制与编码 例：例： X1 = 0001000，X2 = -0000011， 求求X1+ X2 解：解： X1反反+X2反反 = X1+X2反反X1反反 = 0 0001000X2反反 = 1 1111100+）1 0 0000100+） 1X1反反+X2反反= 0 0000101 反码在进行算术运反码在进行算术运算时不需判断两数符算时不需判断两数符号位是否相同。号位是否相同。当符号位有进位时需循当符号位有进位时需循环进位，即把符号位进环进位，即把符号位进位加到和的最低位。
17、位加到和的最低位。故得故得X1+ X2 = + 0000101例：例： X1 =-0001000，X2 = 0001011， 求求X1+ X2解：解： X1补补+X2补补 = X1+X2补补X1补补 = 1 1111000X2补补 = 0 0001011+）1 0 0000011X1补补+X2补补 = 0 0000011 符号位参加运算。符号位参加运算。不过不需循环进位，如不过不需循环进位，如有进位，自动丢弃。有进位，自动丢弃。故得故得 X1+ X2 = + 0000011自动丢弃自动丢弃第一节第一节 数制与编码数制与编码 四、常用的四、常用的编码编码 二二十进制码十进制码 格雷码格雷码 校验
18、码校验码 字符编码字符编码（一（一）二二十进制码（十进制码（BCD码码） 有权码有权码8421BCD码码 用用四四位位自自然然二二进进制制码码的的16种种组组合合中中的的前前10种种，来来表表示示十十进进制制数数09，由由高高位位到到低低位位的的权权值值为为23、22、21、20，即为，即为8、4、2、1，由此得名。，由此得名。用文字、符号或数码表示特定用文字、符号或数码表示特定对象的过程称为编码。对象的过程称为编码。 此外，有权的此外，有权的BCD码还有码还有2421BCD码和码和5421BCD码等。码等。 无权码无权码余三码是一种常用的无权余三码是一种常用的无权BCD码。码。常用的常用的B
19、CD码码 十进制十进制8421BCD码码01234567890 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 12421BCD码码5421BCD码码余三码余三码 8 4 2 1b3 b2 b1 b0位权位权0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 1 10 1 0
20、00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 2 4 2 1b3 b2 b1 b0 5 4 2 1b3 b2 b1 b0无权无权 二二十进制码十进制码 格雷码格雷码 校验码校验码 字符编码字符编码四、常用的四、常用的编码编码： （二（二）格雷码格雷码2.2.编编码码还还具具有有反反射射性性，因因此此又又可可称称其其为反射码。为反射码。1.1.任意两组任意两组相邻码相邻码之间只有之间只有一位一位不同。不同。第一节第一节 数制与编码数制与编码 注：首尾两个数码即最小数注：首尾两个数码即最小数00000000和最和最大数大数100
21、01000之间也符合此特点，故它可之间也符合此特点，故它可称为循环码。称为循环码。十进制十进制 B3 B2 B1 B0012345670 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 0十进制十进制 G3 G2 G1 G0891011121314151 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0 最常用的误差检验码是奇偶校最常用的误差检验码是奇偶校验码，它的编码方法是在信息码验码，它的编码方法是在信息码组外增加一位监督码元。组外增加一位监督码元。（四）四）字符编码字符编
22、码ASCII码码: :七位代码表示七位代码表示128个字符个字符 96个为图形字符个为图形字符 控制字符控制字符32个个（三）校验码（三）校验码逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则（一）逻辑变量（一）逻辑变量 取取值值：逻逻辑辑0 0、逻逻辑辑1 1。逻逻辑辑0 0和和逻逻辑辑1 1不不代代表表数数值值大大小小，仅仅表表示示相相互互矛矛盾盾、相相互互对对立立的的两两种种逻逻辑辑状状态态。（二）基本逻辑运算（二）基本逻辑运算逻辑与逻辑与 逻辑或逻辑或 逻辑非逻辑非 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数
23、基础 一、逻辑变量及基本逻辑运算一、逻辑变量及基本逻辑运算逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式F = =A B = = AB与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表逻辑与逻辑与 开关开关A 开关开关B灯灯F断 断断 合合 断合 合灭灭灭亮ABF1 01 10 10 00010ABF 与逻辑运算符，也有用与逻辑运算符，也有用“ ”、“”“”、“”“”、“&”“&”表示。表示。第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 只有决定某一事件的只有决定某一事件的所有条件所有条件全部全部具备，这一事件才能发生。具备，这一事件才能发生。UABF逻辑符号逻辑符号或逻辑真值表或逻辑真值表或逻辑关系表或逻辑关
24、系表逻辑或逻辑或 开关开关A 开关开关B灯灯F断 断断 合合 断合 合亮亮亮灭ABF1 01 10 10 01110第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 决定某一事件的条件决定某一事件的条件有一个或有一个或一个以上一个以上具备，这一事件才能发生。具备，这一事件才能发生。 逻辑表达式逻辑表达式F= A + BABFUFAB1 或逻辑运算符，也有用或逻辑运算符，也有用“”、“”表示。表示。非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑关系表非逻辑关系表逻辑非逻辑非 开关开关A 灯灯FAF第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 当决定某一事件的条件满足时，事当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。件
25、不发生；反之事件发生。逻辑表达式逻辑表达式 F = A “-” “-”非逻辑运算符非逻辑运算符UFAR断 合亮灭1001逻辑符号逻辑符号ABF1与非逻辑运算与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算与或非逻辑运算F3=AB+CD（三）复合逻辑运算（三）复合逻辑运算第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 ABF1 ABF21ABF3CD1 ABF1 01 10 10 01100逻辑表达式逻辑表达式F=A B=AB+AB ABF=1逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式F=A BABF1 01 10 10 00011第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 异或运算异或运
26、算 同或运算同或运算“ ”异或逻辑异或逻辑运算符运算符= A B“”同或逻辑同或逻辑运算符运算符ABF=1逻辑符号逻辑符号ABF=（四）（四）正逻辑正逻辑与与负逻辑负逻辑（与门）（与门）（或门）（或门）第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 ABFVL VL VL电平关系电平关系VL VH VLVH VL VLVH VH VH正逻辑正逻辑ABF负逻辑负逻辑ABF0 0 00 1 01 0 01 1 11 1 11 0 10 1 10 0 0VH ：高电平 VL：低电平逻辑0：VH 逻辑1： VL逻辑1：VH 逻辑0： VL 高高电电平平VH用用逻逻辑辑0表表示示，低电平低电平VL用逻辑用逻辑1
27、表示。表示。 正、负逻辑间关系正、负逻辑间关系正或正或 = 负与负与正与正与 = 负或负或正与非正与非 = 负或非负或非正或非正或非 = 负与非负与非1逻辑符号等效逻辑符号等效 在一种逻辑符号的所有入、在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈。出端同时加上或者去掉小圈。 原来的符号互换（与原来的符号互换（与或、或、同或同或异或异或） 高高电电平平VH用用逻逻辑辑1表表示示，低电平低电平VL用逻辑用逻辑0表示。表示。第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 1 1正逻辑正逻辑正与正与正与非正与非正或正或正或非正或非1 1负逻辑负逻辑负与负与负与非负与非负或负或负或非负或非第二节第二节 逻辑
28、代数基础逻辑代数基础 二、逻辑函数及其表示方法二、逻辑函数及其表示方法 用有限个与、或、非等用有限个与、或、非等逻辑运算符逻辑运算符，应用逻辑关系，应用逻辑关系将若干个将若干个逻辑变量逻辑变量A、B、C等连接起来，所得的表达式等连接起来，所得的表达式称为称为逻辑函数逻辑函数。F(A，B)=A+B F(A，B，C)=A+BC输出变量输出变量逻辑函数的表示方法：逻辑函数的表示方法：逻辑图逻辑图逻辑表达式逻辑表达式 波形图波形图 真值表真值表 输入变量输入变量例：例：三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的原则决定。试建立该问题的逻辑函数。的原则决定。试建立
29、该问题的逻辑函数。ABCF00000100110111100101011111011000三个人意见分别用逻辑变量三个人意见分别用逻辑变量A、B、C表示表示表决结果用逻辑变量表决结果用逻辑变量F表示表示同意为逻辑同意为逻辑1，不同意为逻辑，不同意为逻辑0。表决通过为逻辑表决通过为逻辑1，不通过为逻辑不通过为逻辑0。1.真值表真值表2.逻辑函数表达式逻辑函数表达式 找出函数值为找出函数值为1的项。的项。 每个函数值为每个函数值为1 1的输入变量的输入变量取值组合写成一个取值组合写成一个乘积项。乘积项。 这些乘积项作这些乘积项作逻辑加。逻辑加。F= ABC+ABC+ABC +ABC 输输入入变变量
30、量取取值值为为1 1用用原原变变量量表表示示; ;反反之之，则则用用反反变变量量表表示示ABC、ABC、ABC 、ABC 。1011111010111111第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 3.逻辑图逻辑图F= ABC+ABC+ABC +ABC乘积项乘积项用用与门与门实现实现和项和项用用或门或门实现实现4.波形图波形图ABF CAB CAB CAB C1ABCFA+ 0=A A+ 1=1A 0=0 A 1=A A A=0 A+A=1A A=A A+A=AA B = B A A + B = B + A (AB)C = A (BC) (A+B)+C = A+(B+C) A ( B+C ) =
31、 A B+ A C A+ B C =( A + B) (A+ C )0-1律律互补律互补律重叠律重叠律交换律交换律结合律结合律分配律分配律第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、逻辑代数的运算公式和规则三、逻辑代数的运算公式和规则反演律反演律A B= A+B A+ B=AB还原律还原律 A= A吸收律吸收律A+A B=A A (A+B)=AA+ A B =A+B A (A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C(A+B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C)第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、逻辑代数的运算公式和规则三、逻辑代数的运算公式和规则例：
32、证明吸收律例：证明吸收律成立成立互补律互补律重叠律重叠律第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 例：证明反演律例：证明反演律 A B= A+B 和和 A+ B=ABA BA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000由真值表得由真值表得 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 证：证：利用真值表利用真值表A B= A+B ， A+ B=AB1110111010001000 反演律又称摩根定律，常反演律又称摩根定律，常变形为变形为A B= A+B 和和 A+B=AB逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规
33、则：任何含有某变量的等式，如果任何含有某变量的等式，如果等式等式中中所有出现此所有出现此变量变量的位置均代之以一个的位置均代之以一个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立。，则此等式依然成立。例：例： A B= A+BBC替代替代B得得由此反演律能推广到由此反演律能推广到n个变量：个变量：利用反演律利用反演律 ABC = A+BC= A+B+C基本运算规则基本运算规则 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：做如下处理： 若把式中的运算符若把式中的运算符“ ”换成换成“+ +”, “”, “+ +” ” 换成换成“ ”； 常量常量“0 0”换成换成“1 1
34、”，“1 1”换成换成“0 0”； 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量，变量，那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F的的反函数式反函数式。例：例：F(A，B，C)CBAB )C A(BA + + + +=其反函数为其反函数为)CBA(BCA)BA(F+ += 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后先与后或，必要时适当地加入括号。或，必要时适当地加入括号。基本运算规则基本运算规则 对偶式对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“.”换成换成“+”，“+”换成换
35、成“.”；2）常量）常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”。得到的新函数为原函数得到的新函数为原函数F的对偶式的对偶式F，也称对偶函数。也称对偶函数。 对偶规则：对偶规则： 如如果果两两个个函函数数式式相相等等，则则它它们们对对应应的的对对偶偶式式也也相相等等。即即 若若F F1 1 = = F F2 2 则则F F1 1= = F F2 2。使使公公式式的的数数目目增增加加一倍。一倍。 求求对对偶偶式式时时运运算算顺顺序序不不变变，且且它它只只变变换换运运算符和常量算符和常量，其，其变量是不变变量是不变的。的。注：注： 函函数数式式中中有有“ ”和和“”“”运运算算符符，求求反反函函
36、数数及及对对偶偶函函数数时时，要要将将运运算算符符“ ”换换成成“”， “ “”换成换成“ ”。 其对偶式其对偶式例：例：FB1C ABA + + +=)( + +FB0C ABA + + +=) ()(函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 五种常用表达式五种常用表达式F(A，B，C)“与与或或”式式“或或与与”式式“与非与非与非与非”式式 “或非或非或非或非”式式“与与或或非非”式式 表达式形式转换表达式形式转换函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 = AB+ AC基本形式基本形式例如函数例如函数F= AB+ AC 1.与与-或表达式转换为或或表达
37、式转换为或-与表达式与表达式F = AB+ AC= AA+ AB+AC+BC= A(A+ B)+C(A+B)= (A +C) (A+ B)吸收率吸收率互补率互补率 2.与与-或表达式转换为与非或表达式转换为与非与非表达式与非表达式F = AB+ AC= AB+ AC= AB AC还原率还原率反演率反演率 3.或或-与表达式转换为或非与表达式转换为或非或非表达式或非表达式F = (A +C) (A+ B)= (A +C) (A+ B)= A +C+ A+ B4.或或-与表达式转换为与与表达式转换为与-或或-非表达式非表达式= A C+ A B逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项：最小项：n
38、个变量有个变量有2 2n个最小项，记作个最小项，记作mi。3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项。个最小项。m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个个变变量量的的逻逻辑辑函函数数中中，包包括括全全部部n个个变变量量的的乘乘积积项项（每每个个变变量量必必须须而而且且只只能能以以原原变变量或反变量的形式出现一次）。量或反变量的形式出现一次）。一、 最小项最小项和和最大项最大项乘积项乘积项和项和项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号 最小项编号最小项编号i：各输各输入变量取值看成二进制入变量取值看成二进制数，对
39、应十进制数。数，对应十进制数。0 0 1A B C0 0 0m m0 0m m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项三变量的最小项 最小项的性质：最小项的性质： 同同一一组组变变量量取取值值：任任意意两两个个不不同同最最小小项的项的乘积乘积为为0，即，即mi mj=0 (ij)。 全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即 任意一组变量取值
40、：任意一组变量取值：只有一个只有一个最小最小 项的项的值为值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0。n个变量有个变量有2 2n个最大项，记作个最大项，记作 i。n个个变变量量的的逻逻辑辑函函数数中中，包包括括全全部部n个个变变量量的的和和项项（每每个个变变量量必必须须而而且且只只能能以以原原变变量量或或反反变量的形式出现一次）。变量的形式出现一次）。 同同一一组组变变量量, 取取值值任任意意的的两两个个不不同同最最大项的大项的和和为为1，即，即Mi+Mj=1 (ij)。 全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 任任意意一一组组变变量量取取值值，只只有有一一个个最最大大项项的值为的值
41、为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1。最大项：最大项：最大项的性质：最大项的性质：逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系。相同编号的最小项和最大项存在互补关系。即即: mi =Mi Mi =mi 例：例：m1m3m5m7= =) , , ,(m6510F, , ,(7=) m432F = M（2，3，4，7）FF = M（0，1，5，6）例：例：由由若若干干个个最最小小项项之之和和表表示示的的表表达达式式F，其其反反函函数数F可用与这些最小项相对应的最大项之积表示。可用与这些最小项相对应的最大项之积表示。逻
42、辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 标准积之和标准积之和( 最小项）表达式最小项）表达式 式中的每一个式中的每一个乘积项均为最小项乘积项均为最小项解：解：例：例：的标准积之和表达式。的标准积之和表达式。求函数求函数利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量B。利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量D。逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456701010101例：例：已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式
43、。 从从真真值值表表找找出出F为为1的对应最小项。的对应最小项。解解:0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加。然后将这些项逻辑加。F(A,B,C) 函数的最小项函数的最小项表达式是唯一的。表达式是唯一的。 标准和之积标准和之积 ( 最大项）表达式最大项）表达式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 式中的每一个式中的每一个或项均为最大项。或项均为最大项。A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456701010101例：例：已知函数的真值
44、表，求该函数的标准和之积表达式。已知函数的真值表，求该函数的标准和之积表达式。 从从真真值值表表找找出出F为为1的对应最大项。的对应最大项。解解:0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑与。然后将这些项逻辑与。 函数的最大项函数的最大项表达式是唯一的。表达式是唯一的。“0”代以原变量，代以原变量，“1”代以反变量代以反变量代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数图解法化简逻辑函数图解法化简逻辑函数 具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简函数化简的目的函数化简的目的 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门
45、的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作 降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性第四节第四节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简与或表达式最简的标准与或表达式最简的标准 与项最少，即表达式中与项最少，即表达式中“+”“+”号最少。号最少。 每个与项中变量数最少，即表达式中每个与项中变量数最少，即表达式中“ ”号最少。号最少。 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少与门的输入端个数少与门的输入端个数少方法：方法： 并项：利用并项：利用将两项并为一项，消去将
46、两项并为一项，消去一个变量一个变量。 吸收：利用吸收：利用 A + AB = A消去多余的与项消去多余的与项。 消元：利用消元：利用消去多余因子消去多余因子。第四节第四节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简一、代数法化简逻辑函数一、代数法化简逻辑函数 配项：先乘以配项：先乘以 A+A或加上或加上 AA，增加必要的乘积项，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。再用以上方法化简。代数法化简函数代数法化简函数例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数 F = AB+AC+AD+ABCDF = A（B+C+D）+ABCD解：解：= ABCD+ ABCD= A（BCD+ BCD）= A反演律并项法例：化简逻辑函数例：化简
47、逻辑函数F = ( (A+B+C)()(B+BC+C)()(DC+DE+DE) )( (C+D) )1= ( (A+B+C) )( (C+D) )= AC+BC+AD+BD+CD= AC+BC+CD二二变变量量K图图A B mi图形法化简函数图形法化简函数 卡诺图（卡诺图（K图）图） 图中图中一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一一行行，即一个，即一个最小项最小项，又称真值图。，又称真值图。AABBABBAABABAB1010 m0 m1 m2 m30 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3ABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5
48、 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD三三变变量量K图图四四变变量量K图图0001111000011110ABCD（1）n个逻辑变量的函数，个逻辑变量的函数，卡诺图有卡诺图有2n个方格，对应个方格，对应2n个最小项。个最小项。（2）行列两组变量取值按）行列两组变量取值按循环码规律排列，相邻最循环码规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项。小项为逻辑相邻项。（3）相邻有邻接和对称两）相邻有邻接和对称两种情况。种情况。特点：特点：1. 已已知知函函数数为为最最小小项项表表达达式式，存存在在的的最最小小项项对对应应的的
49、格格填填1，其余格均填，其余格均填0。2. 若若已已知知函函数数的的真真值值表表，将将真真值值表表中中使使函函数数值值为为1的的那那些最小项对应的方格填些最小项对应的方格填1，其余格均填，其余格均填0。3. 函函数数为为一一个个复复杂杂的的运运算算式式，则则先先将将其其变变成成与与或或式式，再用直接法填写。再用直接法填写。图形法化简函数图形法化简函数 用用卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示逻辑函数例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示该逻辑函数。该逻辑函数。ABCF00000100100100010111110101111110ABC000111100111
50、110000F= ABC+ABC+ABC+ABC例：用卡诺图表示该逻辑函数例：用卡诺图表示该逻辑函数ABC0001111001100001111011111100000001111000011110ABCD四四变变量量K图图 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11图形法化简函数图形法化简函数 两个相邻格圈在两个相邻格圈在一起，结果消去一个一起，结果消去一个变量。变量。ABD ADA1 四个相邻格圈在四个相邻格圈在一起，结果消去两个一起，结果消去两个变量。变量。 八个相邻格圈在八个相邻格圈在一起，结果消去三个一起，结果消去三个变
51、量。变量。卡诺图化简函数依据卡诺图化简函数依据： 几几何何相相邻邻的的2i（i = 1、2、3n）个个小小格格可可合合并并在在一一起起构构成成正正方方形形或或矩矩形形圈圈，消消去去i个个变变量量，而而用含用含（n - i）个变量的积项标注该圈个变量的积项标注该圈。 上下左右上下左右几何相邻几何相邻的方格的方格内，只有内，只有一个因子不同。一个因子不同。 十六个相邻格十六个相邻格圈在一起，结果圈在一起，结果 mi=1。卡诺图合并最小项原则卡诺图合并最小项原则：（1）圈要尽可能大圈要尽可能大，每个圈包含，每个圈包含2n个相邻项。个相邻项。（2）圈的）圈的个数要少个数要少，使化简后逻辑函数的与项最少
52、。，使化简后逻辑函数的与项最少。（3）所有含）所有含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。的格都应被圈入，以防止遗漏积项。（4）圈）圈可重复包围可重复包围但每个圈内必须有但每个圈内必须有新新的最小项。的最小项。 图形法化简函数图形法化简函数 与或表达式的简化与或表达式的简化步步骤骤 由由真真值值表表或或函函数数表表达达式式画画出出逻逻辑辑函函数数的的卡卡诺诺图。图。 合合并并相相邻邻的的最最小小项项，注注意意将将图图上上填填1的的方方格格圈圈起起来来，要要求求圈圈的的数数量量少少、范范围围大大，圈圈可可重重复复包围包围但每个圈内必须有但每个圈内必须有新新的最小项。的最小项。 按取同去异原则按取同去
53、异原则, 每个圈写出一个与项。每个圈写出一个与项。 最后将全部与项进行逻辑或，即得最简与或表最后将全部与项进行逻辑或，即得最简与或表达式。达式。例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数ABC000111100111111100ABC000111100111111100 说明一个逻辑函数的化说明一个逻辑函数的化简结果不是唯一的。简结果不是唯一的。图形法化简函数图形法化简函数例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数0001111000011110ABCD0000011111111111CADABD化简得化简得图形法化简函数图形法化简函数图形法化简函数图形法化简函数例：用卡诺图将逻辑
54、函数例：用卡诺图将逻辑函数F化为最简化为最简或与表达式或与表达式。方法：方法：（1）可以利用卡诺图对）可以利用卡诺图对“0”作圈，得作圈，得F的最简的最简与与 或式，再利用或式，再利用反演律反演律求求F的最简或与表达式。的最简或与表达式。（2）也可以直接写最简或与表达式：对）也可以直接写最简或与表达式：对“0”作作圈，每一个圈中，取值为圈，每一个圈中，取值为0的变量用的变量用原变量原变量表示，表示，取值为取值为1的变量用的变量用反变量反变量表示，将这些变量相或。表示，将这些变量相或。然后将所有或项进行逻辑与得最简或与表达式。然后将所有或项进行逻辑与得最简或与表达式。00011110000111
55、10ABCD0011100101010000 对对0画圈，直接写出最简画圈，直接写出最简或或-与表达式与表达式 具有具有无关项无关项逻辑函数的化简逻辑函数的化简无关项无关项图形法化简函数图形法化简函数约束项：约束项：任意项：任意项：输出的结果是任意的。输出的结果是任意的。不允许输入变量的取值组合出现。不允许输入变量的取值组合出现。常用符号常用符号“”、“d”或或“”表示。表示。例如红绿交通灯信号例如红绿交通灯信号红灯红灯A 绿灯绿灯B车车F0 00 11 010可行可停可行可停1 1不允许不允许任意项任意项约束项约束项 利用利用无关项无关项化简逻辑函数化简逻辑函数( (1) )填填函函数数的的
56、卡卡诺诺图图时时，在在无无关关项项对对应应的的格格内内填任意符号填任意符号“”、“d”或或“”。处理方法：处理方法：( (2) )化化简简时时可可根根据据需需要要，把把无无关关项项视视为为“1”也可视为也可视为“0”，使函数得到最简。，使函数得到最简。约束项和任意项统称约束项和任意项统称无关项无关项。例：用卡诺图将逻辑函数例：用卡诺图将逻辑函数F化为最简化为最简与或表达式与或表达式。0001111000011110ABCD0111010010 化简得化简得 无关项可无关项可0可可1，以使函数最简。以使函数最简。图形法化简函数图形法化简函数小小 结结 几几种种常常用用的的数数制制：二二进进制制、
57、八八进进制制、十十六六进进制制和和十十进进制以及相互间的转换。制以及相互间的转换。 码制部分：自然二进制码、格雷码和常用的码制部分：自然二进制码、格雷码和常用的BCD码。码。任意一个任意一个R进制数按权展开：进制数按权展开： 带带符符号号数数在在计计算算机机中中的的三三种种基基本本表表示示方方法法：原原码码、反反码和补码。码和补码。 逻逻辑辑问问题题的的描描述述可可用用真真值值表表、函函数数式式、电电路路图图、卡卡诺诺图图和时序图。和时序图。 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数自我检测：自我检测：1.3，1.5，1.6思考题：思考题： 1.3，1.6，1.9 ，1.10习题：习题： 1.4，1.17，1.20作作 业业
