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1、第九章第九章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换9.1 9.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念9.2 9.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质9.3 9.3 拉氏逆变换拉氏逆变换9.4 9.4 拉氏变换的应用拉氏变换的应用引引 言言Fourier变换的限制变换的限制:绝对可积绝对可积在整个数轴上有定义在整个数轴上有定义指数衰减函数指数衰减函数e- -b bt (b b00)单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)演变为拉氏变换演变为拉氏变换双边拉氏变换双边拉氏变换:傅氏变换傅氏变换:傅氏变换与拉氏变换的关系 - -+ += =tjsw wb b双边拉氏变换双边拉氏变换 - -= =tjsw w傅氏变换傅氏变换
2、 0)(Res 0)(Res 0)例例2 求出指数函数求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换的拉氏变换解解: (Res Rek)例例3 求正求正弦弦函数函数f(t)=sinkt(k为实数为实数)的的laplace变换变换解解: 根据定义有根据定义有同理可得同理可得二、拉氏变换的存在定理二、拉氏变换的存在定理拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理: : 设函数设函数f (t)满足下列条件：满足下列条件：22f (t)在在t0的任一有限区间上分段连续，间断的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；点的个数是有限个，且都是第一类间断点；33f (t)是指数级函数是指数级
3、函数(增长速度不超过指数函数增长速度不超过指数函数)11当当t0时，时，f (t)=0；则则f (t)的拉氏变换的拉氏变换在半平面在半平面Re(s)c 一定存在，一定存在，F(s)是解析函数。是解析函数。即存在常数即存在常数M 0及及c 0使使| f(t)|Mect (0t - -(Res Reb b)四、四、常用函数的拉氏变换公式常用函数的拉氏变换公式 (1) 线性性质线性性质设设a a、b b为常数为常数, , 9.2 9.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质例例1: 求常数求常数A的的Laplace变换变换.例例2: 求函数求函数f(t)=A(1- -e- -a at)的的Laplace变换
4、变换.解解:解解:例例3 求正求正弦弦函数函数f(t)=sinkt(k为实数为实数)的的laplace变换变换解解:例例4 求余求余弦弦函数函数f(t)=coskt(k为实数为实数)的的laplace变换变换(2) 相似性质相似性质(a为正实数为正实数)设设Lf(t)=F(s), 则当则当a为正实数时为正实数时证明：证明：解解:(3)微分性微分性质质 推论：推论： 设设Lf(t)=F(s), 则有则有证明：证明：例例5 求函数求函数 f(t)=coswt 的拉氏变换的拉氏变换例例6 求函数求函数 f(t) = t m 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由于由于故故根据线性性质有根据线性性质有解解:故
5、故( (4)4)象函数微分性质象函数微分性质 一般地，有一般地，有 例例7 求函数求函数 f(t) = t 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由于由于故故例例8 求函数求函数 f(t) = te- -at 的拉氏变换的拉氏变换设设Lf(t)=F(s), 则则(5)(5)积分性质积分性质 解解: 由于由于故故例例9 求函数求函数 f(t) = tsinkt 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由于由于故故设设Lf(t)=F(s), 则则推论推论: : 证明：证明：例例10 求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换 解解: 由拉氏变换积分性质有由拉氏变换积分性质有由微分性质有由微分性质有( (6)6)象函数积分性质象
6、函数积分性质 若若Lf(t)=F(s)，则，则 证明：证明：两边对两边对s s积分：积分：交换积分次序交换积分次序: :推论推论:例例11 求函数求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由于由于则由象函数积分性质有则由象函数积分性质有= arccots令令s = 0得得(7) 延迟性质延迟性质 若若t 0, b0, 求单位阶跃函数求单位阶跃函数1, t b/a,0, t b/au(at - - b) =的拉氏变换的拉氏变换.解解: 由于由于则由延迟性质有则由延迟性质有而由相似性质有而由相似性质有(8) 位移性质（设位移性质（设a为常数）为常数） 例例12 求函数求函
7、数 f(t) = te - -at 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由于由于则由位移性质有则由位移性质有例例13 求函数求函数 f(t) = e - -atsinwt 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由于由于则由位移性质有则由位移性质有同理同理2.3 2.3 拉氏逆变换拉氏逆变换由拉氏变换的定义有由拉氏变换的定义有由傅氏逆变换的定义有由傅氏逆变换的定义有两边同乘以两边同乘以eb bt1. 反演积分公式反演积分公式积分路线是平行于虚轴的直线积分路线是平行于虚轴的直线Res=反演积分公式反演积分公式一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (组组) )2.4 2.4 拉氏变换的应用拉氏变换的应用象原函数象原
8、函数 (方程的解方程的解) 象函数象函数 微分方程微分方程象函数的代象函数的代数方程数方程取取Laplace变换变换取取Laplace逆变换逆变换解代数方程解代数方程例例19 求解微分方程求解微分方程解解: 设设Lx(t)=X(s), 方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换解此方程得解此方程得:求拉氏逆变换得求拉氏逆变换得:解解:解此方程组得解此方程组得:取拉氏逆变换得取拉氏逆变换得 x(t) = y(t) = et例例20 求解微分方程组求解微分方程组解解: 设设Lx(t)=X(s), Ly(t)=Y(s), 方程取拉氏变换方程取拉氏变换作作 业业P236 T9.2(3)(4)(5)(6) T9.8(3)(4)(7)(8) T9.12(1)(3)(5)
