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1、有限元实际与运用第一篇 有限元法第一篇 有限元法第二章 杆件构造的有限元法 当构造长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时，这类构造称为杆件。工程中常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。杆件构造可分为珩杆和梁两种。和其他构造采用铰衔接的杆称为珩杆。珩杆的衔接处可以自在转动，因此这类构造只接受拉压作用，内部应力为拉压应力。影呼应力的几何要素主要是截面面积，与截面外形无关。和其他构造采用固定衔接的杆称为梁。链的衔接处不能自在转动，因此梁不仅可以接受拉压，而且能接受弯曲和改动作用。这类杆件的内部应力形状比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关，而且与截面外形和方位有很大关系。建立有限元
2、模型时，这两类杆件构造可用相应的杆单元和梁单元离散。由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。奥运会场馆奥运会场馆鸟巢鸟巢空间立体网架工程中最简单的构造可以以为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。弹簧系统力F与弹簧伸长量 位移之间关系由胡克定律有式中k为弹簧的刚度，是弹簧的固有参数。它对应于力位移图中F- 关系直线的斜率。当k和力F知时，可由下式求出弹簧伸长量弹簧力位移间关系(41)2-1 引 言 当处置比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力P的作用下，节点B、C、D和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可假设整个杆件
3、系统也具有像式(41)中k值一样的刚度，这样在力P的作用下各点的位移就可以用类似式(41)的公式计算了，不过这时的系统刚度应采用一个矩阵来表示，即 ，同理，各点的位移也应采用一个矩阵来表示，即 ，再加上矩阵 ，就构成了称为对应于施加存系统上各节点力的刚度矩阵。 问题： 1、复杂构造其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵求出所受外力作用下各杆件节点处的位移计算各杆件的受力和应力ku1,F1u2,F2弹簧的作用力向量为位移向量为从而这个弹簧的刚度矩阵是2x 2阶的。为求出它们，将图24所示弹簧系统看作两个简单的系统，然后合成。一、单个弹簧的刚
4、度矩阵一、单个弹簧的刚度矩阵2-2 弹簧系统的刚度矩阵由力的平衡有ku1F1aF2aA A(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2B B(b)ku1F1u2F2A AB B1)只需节点1可以变形,点2固定2)只需节点2可以变形,点1固定3)根据线弹性系统的叠加原理，叠加1) 2)两种情况，就得到与原始问题一样的构造，如图c，叠加结果为：(c)作用于节点1上的合力作用于节点2上的合力刚度矩阵对成、奇特矩阵2526二、组合弹簧的刚度矩阵二、组合弹簧的刚度矩阵kakbu1,F1u2,F2u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu20u30F1bkakbu2,F2bF3bu10u30F1ck
5、akbF2cu3,F3cu10u20(a)(b)(c)1) 只允许节点1有位移u1，力F1a与位移u1之间的关系由于u1 u20，没有力作用于节点3，因此，思索弹簧1-2，由静力平衡条件有2) 只允许节点2有位移u2，这时由于位移的延续性，每个弹簧在节点2要求有一样的位移，即，弹簧1-2的伸长量与弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2，对弹簧2-3 有压力kbu2分别对两弹簧求静力平衡，有3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1，有由于节点1、2无位移，有组合弹簧的刚度矩阵组合弹簧的刚度矩阵4) 合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只需一个方向的位移。因此方程式运用如下方式
6、：利用线弹性系统的叠加原理，找出33阶刚度矩阵各元素的表达式节点1处的合力节点2处的合力节点3处的合力对成、奇特矩阵28 用同样的方法可以求解具有更多个弹簧的串连系统，推导过程乏味。 知道单个弹簧的刚度矩阵直接叠加出多个串联络统的总刚度矩阵。知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩展成3阶方程：整个系统有3个节点位移，将上述方程扩展成3阶方程，按矩阵相加原理将两式叠加，29矩阵扩展方法单元数量增多时，相应扩展后的矩阵就相当大，扩展后的非零元素在矩阵的什么位置，概念上就不很清楚了。按节点号将相应单元的刚
7、度矩阵中元素按节点号将相应单元的刚度矩阵中元素kij写到总刚写到总刚度矩阵中的方法来叠加。度矩阵中的方法来叠加。以上面两个以上面两个弹簧系簧系统为例，系例，系统共三个共三个节点，每个点，每个节点有一个自在度，因此，点有一个自在度，因此，该系系统总刚度矩度矩阵应该是是33阶的矩的矩阵。第。第1个个单元的元的节点号点号为1和和2，那么，那么单元元刚度矩度矩阵中的元素在总刚度矩阵中应在位置第中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第行、第2行的第行的第1列，第列，第2列列第第2个单元的节点号为个单元的节点号为2和和3，那么单元刚度矩阵叠加到总刚度矩，那么单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵的第阵的第2行、第行
8、、第3行的第行的第2列、第列、第3列元素上列元素上三、方程求解约束条件的引入由式26和式28可知，刚度矩阵是一个奇特阵，即它的行列式的值为零，矩阵的逆不存在。对应线性代数方程组式27和式29无定解。物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在任何外力的作用下系统会发生刚体运动。u1u2 u3u,且u没有定值，所以方程无定解。为使方程组有定解，只需给系统加上一定的约束称为约束条件或边境条件例如：两弹簧系统，节点1固定不动，有u10，那么式29成为从而可得到定解。经过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位移就可计算出每个弹簧所受力的大小。弹簧12受力 paka弹
9、簧12长度的变化量 pakau2-u1 有限元方法求解弹簧系统受力问题的根本步骤：构成每个单元的刚度矩阵各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整体系统的刚度矩阵引入约束条件以节点位移为未知量求解线性代数方程组用每个单元的力位移关系求得单元力。23 杆件系统的有限元法 一、铰支杆系统的有限元计算格式上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。均质等截面铰支杆，刚度值可由资料力学中力与变形的关系中获得均质等截面铰支杆的力位移方程可写为均质等截面铰支杆的力位移方程可写为坐标变换为建立整个构造的刚度矩阵，需求在一个共同的一致坐标系即总体坐标系中建立平衡方程。由于刚架各单元的空间位置不同，
10、各个单元的部分坐标系普通也不一样。实践杆件系统都是相互成一定角度陈列的杆件衔接在一同的每个杆件的单元坐标系统一切杆件的都适用的整体坐标系统 12对应部分坐标，x，y对应整体坐标系统对应部分坐标系的位移和作用力，对应整体坐标系的位移和作用力。留意：(1)图中 角是从整体坐标系x轴正向起算逆时针转到杆件方向。2铰支衔接的杆中能接受轴向力 和产生轴向位移 ,因此部分坐标系下 ， 。方便矩阵运算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：将上式从部分坐标系转换到整体坐标系，表示为：类似地可写出节点2处的表达式。令 ， ，那么节点力的变换关系为213或称为变换矩阵。与力的坐标变换式类似，斜杆在两节点的位移有同样的
11、坐标变换式214利用式213和式214可以把部分坐标系下方程212表示成整体坐标系下的方程。整体坐标系下单元的刚度矩阵。用 左乘上式两边215再将式214代入式215，有单元刚度矩阵 在整体坐标系下的表达式可以用部分坐标系下的表达式求出， 216将式213代入式212有有求解整体坐标系下构造受力与位移方程组可得到各节点的位移。从而可求出每根杆的受力。i，j整体坐标系中任一杆单元的两个节点号。二、二、刚阵存存储与与节点点陈列列n根杆件的桁架，根杆件的桁架，刚度矩度矩阵的的阶次就是次就是2n2n阶。紧缩刚度矩度矩阵的存的存储。稀疏性稀疏性大量零元素不存入大量零元素不存入计算机算机对称性、称性、带状分布状分布只存只存带状区域内的元状区域内的元素素 等等带宽存存储减小最大半带宽可以减小等带宽减小最大半带宽可以减小等带宽存储的刚度矩阵存储量，而半带存储的刚度矩阵存储量，而半带宽与单元节点号的编号差有关。宽与单元节点号的编号差有关。刚度矩度矩阵的最大半的最大半带宽节点自在度数点自在度数单元中元中节点最大点最大编号差号差1
