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1、学习必备 欢迎下载 HPM视角下一元二次方程的解法教学设计 一、 一元二次方程的发展史 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中：已知两数的和与积求此两数，用现代的代数语言来叙述就是“已知两数p和q, ,x yq xyp ，求x, y” 。 巴比伦人用以下五个步骤求这两个数：取p的一半，将此数平方，从中再减去q，对所得结果开平方，再加p的一半得出所求两数中的一数，从p 中减去这个数得出另一数。用现代代数语言来写，就是2(),22ppxqypx 。但因为那个时代还没有负数的概念， 巴比伦人还不能把所有二次方程都化为正规形式， 也将负根的问题略而不提。 到公元 6 世
2、纪，印度天文学家、数学家阿耶波多得出了二次方程求根公式。在 7 世纪的时候，印度数学家婆罗摩笈在婆罗摩正体系中提到：把常数项放在未知数的平方项和一次项的另一边；将常数项乘以平方项的系数的 4 倍，加上中项的系数的平方，所得结果的平方根减去中项系数，再除以平方项的系数的 2 倍，就是中项的值。如果用现代代数符号来表示，即若方程是2axbxc，则x的值是242bbaca 。到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作代数学中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何方法进行了证明。到了 12 世纪，印度数学家婆什伽罗给方程给出了一元二次方程的求根公式242bbacxa ，同时确定了二次方程有两个根，也
3、就承认了负根的存在。 我国对一元二次方程的研究同样历史悠久，早在公元前 4、5 世纪时，就掌握了一元二次方程的求根公式。数学名著九章算术中“勾股”章第二十题以及张邱建算经中都有关于一元二次方程解法的讲解。 除了传统的算术方法， 历史上还有一些方法赋予了一元二次方程解法的几何意义。 这种用几何的方法解决代数问题， 或者用代数的方法解决几何问题。在数学中被称为数形结合，是一种数学思想方法。用几何方法解一元二次方程的方法很多，总结起来一般是利用坐标与圆、抛物线、双曲线之间的位置关系来确定解，或者正方形边长和面积的关系来求解。 如早在我国古代三国时期， 数学家赵爽就给出一元二次方程的几何解法如下：若计
4、算一元二次方程22350xx，如下图， 构造一个边长为2xx 的正方形，则其面积为2(2)xx ，由图可知，大正方形是学习必备 欢迎下载 由四个长为2x ， 宽为x的矩形及一个边长为 2 的小正方形组成的， 所以大正方形的面积又可以表示为24(2)24 354144xx ， 所以2(2)144xx ， 因为x表示边长， ，所以x=5。 赵爽的解法是把方程汇总含有未知数的项22(2)xxx x看作是矩形的面积，然后用四个这样的矩形及一个长为 2 的正方形组成边长为2xx 的大正方形，再根据面积关系求解。 二、教材分析 一元二次方程在初中数学教育中的重要地位不言而喻， 那么一元二次方程的解法自然也
5、应该是教学重点。新课标中，一元二次方程的解法在八年级下册。解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，即降次。教材中关于解法的介绍有四种：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。解法的讲解是整章的重点，直接开平方法适用于一些简单的一元二次方程，对于比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体方法， 以配方法为基础推到一元二次方程的求根公式， 于是得到公式法。 配方法在数学中是一种很重要的数学变形， 它隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学思维有很大的影响， 在教学中应予以充分的重视。 配方法不仅仅是解一元二次方程的基本方法
6、， 而且也是学习二次函数等其他数学内容的重要基础知识。 因此，本节课的内容处于教材的重要位置，应重点讲解。 1.教学重点：利用配方法解简单的一元二次方程。 2.教学难点：通过配方法把一元二次方程转化为 的形式，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体方法，以配方法为基础推到一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。 三、教学目标分析 1.知识与技能目标：理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。 2.过程与方法目标：理解配方法的思想方法；体会数形结合的数学思想方法，感受数学中数与形的完美结合，感受数学的和谐美和文化价值。 3.情感与态度目标：通过师生的共同活动，培养学生积极参与、主动探索的精神；在探索
7、中寻找解决问题的方法和途径，从而不断拓展学生的数学思维。 四、 学情分析 在前一节学习了简单的一元二次方程的概念及一般形式的一元二次方程的表示形式， 在此基础上， 本节课开始讨论比较复杂的一元二次方程的解法， 通过与已变为完全平方式的方程进行对比，使学生对配方法的基本原理有所认识，并通过配方法推导出公式法，想达到如此其实难度不大，但如何高效地让学生理解方程的求解方法，并将几种方法联系起来，最后达到熟练应用的程度，对学生来说有一定的难度。 五、 设计意图分析 首先， 古代一元二次方程的解法中很重要的一部分是体现了数形结合的数学思想， 在教 学中渗透数学结合的思想能够有效的培养学生的数学思维，有利
8、于学生对数学知识的理解；其次，教师在教学时适当的介绍历史上的解法，能够开阔学生的视野；同时对照现行新教材中的四种解法，引导学生灵活运用不同的解法，是锻炼学生数学能力的好方法；最后，在这漫长的发展过程中，数学家们不断探索，孜孜不倦的精神能给学生以正面影响，帮助学生树立正确的数学观，有利于学生形成理性的人格。 在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中已知两数的和与积求此两数用现代的代数语言来叙述就是已知两数和求巴比伦人用以下五个步骤求这两个数取的一半将此数平方从中再减去对所得结果开平方再加的一半得出所求两数把所有二次方程都化为正规形式也将负根的问题略而不到公元世纪印度天文学家数学家阿耶波多得出了
9、二次方程求根公式在世纪的时候印度数学家婆罗摩笈在婆罗摩正体系中到把常数项放在未知数的平方项和一次项的另一边将常数项的值如果用现代代数符号来表示即若方程是则的值是到了中世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作代数学中给出了一元二次方程的一般解法并用几何方法进行了证明到了世纪印度数学家婆什伽罗给方程给出了一元二次方程的求学习必备 欢迎下载 六、教学设计过程 1.创设情境，引出课题 在巴比伦泥版上有着这么一个问题：正方形面积与边长之和为34，求边长。能不能根据此问题列出方程。用我们今天的字母符号来表达，这个问题相当于求解一元二次方程 234xx 那么， 如何对这个方程进行求解呢？古巴比伦祭司给出的解法是
10、：“写下系数 1。 将 1 折半。将0；30自乘，得0；15。将0；15与0；45相加，得 1 的平方。从 1 中减去0；30，得0；30，即正方形边长。 ”此即21311( )2422x 如图 4 所示，边长未知的正方形与长为 1 的矩形合成一个大长方形，其面积为34；从长为 1 的长方形中割去一半，并移置于正方形下方，得一矩尺形；补上一个边长为12的小正方形，矩尺形就变成了大正方形，其面积为213( )24，边长为213( )24。因此所求正方形边长为2131( )242 。这个配方过程用今天的代数符号表示，就是 234xx 22211132()()2224xx 22113()( )224
11、x 2113( )224x 在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中已知两数的和与积求此两数用现代的代数语言来叙述就是已知两数和求巴比伦人用以下五个步骤求这两个数取的一半将此数平方从中再减去对所得结果开平方再加的一半得出所求两数把所有二次方程都化为正规形式也将负根的问题略而不到公元世纪印度天文学家数学家阿耶波多得出了二次方程求根公式在世纪的时候印度数学家婆罗摩笈在婆罗摩正体系中到把常数项放在未知数的平方项和一次项的另一边将常数项的值如果用现代代数符号来表示即若方程是则的值是到了中世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作代数学中给出了一元二次方程的一般解法并用几何方法进行了证明到了世纪印度数学家婆
12、什伽罗给方程给出了一元二次方程的求学习必备 欢迎下载 2131( )242x 2.自主探究,探索新知 阿拉伯数学家花拉子米也对一元二次方程的解法进行了探究， 并取得相当大的成就。 在花拉子米的著作代数学中，他巧妙地运用了类似的几何方法对一元二次方程进行求解，同学们一起来思考以下一元二次方程： 21039xx 通过几何图形，我们可以这样求解： 222210391010/ 239255643xxxxxx 那如果一元二次方程是这种形式，该如何求解？ 2xpxq 可以进行类似变换： 2222222222222xpxqxpxpqpxppqxpqp 那如果是一般形式的一元二次方程：20axbxc （0a
13、） ，发现有何联系？又有何区别？进行小组探讨。 利用上述方法的推导，我们可以得出以下结论： 在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中已知两数的和与积求此两数用现代的代数语言来叙述就是已知两数和求巴比伦人用以下五个步骤求这两个数取的一半将此数平方从中再减去对所得结果开平方再加的一半得出所求两数把所有二次方程都化为正规形式也将负根的问题略而不到公元世纪印度天文学家数学家阿耶波多得出了二次方程求根公式在世纪的时候印度数学家婆罗摩笈在婆罗摩正体系中到把常数项放在未知数的平方项和一次项的另一边将常数项的值如果用现代代数符号来表示即若方程是则的值是到了中世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作代数学中给出了
14、一元二次方程的一般解法并用几何方法进行了证明到了世纪印度数学家婆什伽罗给方程给出了一元二次方程的求学习必备 欢迎下载 如果240bac，那么方程的两个根为242bbacxa 3.学以致用 解下列一元二次方程： （1）22430xx （2）23830xx 4.归纳总结 引导学生归纳总结本节课所学要点。 5. 布置作业 完成课后习题 七、 小结 本节课对教材的处理上，注重新理念的实施，同时也考虑到传统教学优势的传承，使自主探究、合作交流的学习方式与数学基础知识、基本技能的牢固掌握、灵活应用有效结合。数学史知识的分布是在引入课题和探索新知两部分， 开篇一个数学史小故事在现实生活中的运用激发了学生的学
15、习兴趣，接下来，数形结合的思想使抽象的数学变得直观、生动、容易理解，有助于学生把握数学问题的本质。一题多解的方法同时锻炼了学生的数学思维。 在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中已知两数的和与积求此两数用现代的代数语言来叙述就是已知两数和求巴比伦人用以下五个步骤求这两个数取的一半将此数平方从中再减去对所得结果开平方再加的一半得出所求两数把所有二次方程都化为正规形式也将负根的问题略而不到公元世纪印度天文学家数学家阿耶波多得出了二次方程求根公式在世纪的时候印度数学家婆罗摩笈在婆罗摩正体系中到把常数项放在未知数的平方项和一次项的另一边将常数项的值如果用现代代数符号来表示即若方程是则的值是到了中世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作代数学中给出了一元二次方程的一般解法并用几何方法进行了证明到了世纪印度数学家婆什伽罗给方程给出了一元二次方程的求
