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1、第一节第一节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量二次型二次型特征值问题与二次型特征值问题与二次型第六章第六章 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型. .只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形例如例如都为二次型；而都为二次型；而为二次型的标准形为二次型的标准形. .2 2用矩阵表示用矩阵表示二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一
2、个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系解解例例设有可逆设有可逆线性变换线性变换四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形说明说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例4 4从而得特征值从
3、而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为解解例例5 5六、小结六、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研
4、究问题的思想方法化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次曲面曲面.求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型思考题思考题1思考题思考题1解答解答特征值问题与二次型特征值问题与二次型第五节第五节 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵一、惯性定理一、惯性定理二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型例如例如为为不定型二次型不定型二次型为为负半定二次型负半定二次型三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别推论推论对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正定理定
5、理3充分性充分性必要性必要性定义定义2 2这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理定理定理4 4 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即的各阶顺序主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质：正定矩阵具有以下一些简单性质：推论推论 对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即例例3 3 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例4 4 判别二次型判别二次型
6、是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，解解例例5 5 若二次型若二次型正定，求参数正定，求参数 t 应满足的条件应满足的条件.2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)顺序主子式判别法；顺序主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导思考题思考题思考题解答思考题解答
