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1、一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量2.存在条件：存在条件：3.推广推广注意：注意：4.性质性质 三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理注意注意: :特殊情形特殊情形推广推广:例例1解解例例2解解例例3解解例例4解解 由对称性由对称性, 知知四、几何与四、几何与物理意义物理意义五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧
2、长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？思考题解答思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.练习题练习题练习题答案练习题答案一、问题的提出一、问题的提出实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所作的功常力所作的功分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义类似地定义类似地定义2.存在条件：存在条件：3.
3、组合形式组合形式4.4.推广推广5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算定理定理特殊情形特殊情形(4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）可用向量表示可用向量表示有向曲线元；有向曲线元；例例1解解例例2解解问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.例例3解解问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分
4、结果相同路径不同而积分结果相同.四、小结四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通
5、区域DD 设空间区域设空间区域G, , 如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G, , 则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域; ; 如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面, , 则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域. .GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通二、格林公式二、格林公式定理定理1 1边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的
6、左边.证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE同理可证同理可证yxodDcCE证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知xyoL1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用三、简单应用AB 2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyo解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)3. 3. 计算平面面积计算平面面积解解四、小结四、小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念; ;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ; 若区域若区域 如图为如
7、图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域如果在区域G内有内有二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件定理定理2 2两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积定理定理3 3解解解解四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题练练 习习 题题练习题答案练习题
8、答案一、概念的引入一、概念的引入实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义1.1.定义定义2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质三、计算法三、计算法则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：则则则则例例1 1解解解解依对称性知：依对称性知：例例3 3解解（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）例例4 4解解四、小结四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面
9、积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念;（按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说试说明这个因子的几何意义明这个因子的几何意义.思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分
10、曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .法向量为法向量为 .2. 求和求和3.3.取极限取极限三、概念及性质三、概念及性质被积函数被积函数积
11、分曲面积分曲面类似可定义类似可定义存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:性质性质:四、计算法四、计算法注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .解解五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式解解六、小结六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”思考题思考题思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.练练 习习
12、 题题练习题答案练习题答案（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容一、主要内容第九章习题课第九章习题课曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定二代一定 (与方向有关)
13、与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系其中其中理论上的联系理论上
14、的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式GreenGreen公式公式, ,GuassGuass公式公式, ,StokesStokes公式公式之间的关系之间的关系或推广推广梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步思路思路:闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式二、二、典型例题典型例题解解解解( (如下图如下图) )曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，解解由对称性由对称性例例解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系向量点积法向量点积法例例解解利用向量点积法利用向量点积法解解( (如下图如下图) )测验题测验题测验题答案测验题答案
