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1、第二章第二章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的变换域分析变换域分析序列的序列的序列的序列的 Z Z Z Z变换变换变换变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间系统变换域分析离散时间系统变换域分析离散时间系统变换域分析离散时间系统变换域分析希尔伯特（希尔伯特（希尔伯特（希尔伯特（HilbertHilbertHilbertHilbert）变换变换变换变换1第二章第1讲1 序列的序列的Z Z变换变换l lZ Z Z Z变换的定义变换的定义变换的定义变换的定义抽样信号令：令：双边变换双边变换单边变换单边变换拉氏变换与变换：拉氏变换与变换： 版权所有 违者必究
2、2第二章第1讲例例1 1：求序列：求序列 x x ( (n n)= )= a an n u(u(n n) ) 的的Z Z变换。变换。 解：为保证收敛，则为保证收敛，则收敛域收敛域Z Z平面平面若若 a a = 1, = 1, 则则Z Z变换的定义变换的定义版权所有 违者必究3第二章第1讲Z Z变换的定义变换的定义例例2 2：求序列：求序列 x x( (n n)= -)= -a an n u(-u(-n n-1)-1)的的Z Z变换。变换。 解：为保证收敛，则为保证收敛，则收敛域收敛域Z Z平面平面版权所有 违者必究4第二章第1讲Z Z变换的定义变换的定义例例3 3：求序列：求序列 x x (
3、(n n)= (1/3)= (1/3)| |n| n| 的的Z Z变换。变换。 解：| |z|1/3z|1/3时，第二项收敛于时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。，对应于右边序列。| |z|3z|0w左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|也位于收敛域内。 越大收敛越快。越大收敛越快。所以，收敛域在圆外所以，收敛域在圆外。版权所有 违者必究7第二章第1讲l l如果是如果是左边序列左边序列，并且，并且| |z|=z|= 位于收敛域内，那么，位于收敛域内，那么， 0|0|z|z| 的全部的全部 z z 值也位于收敛域内。值也位于收敛域内。所以，收敛域在圆内。所以，收敛域
4、在圆内。l l如果是如果是双边序列双边序列，收敛域由圆环组成。，收敛域由圆环组成。收敛域收敛域右边序列的收敛域右边序列的收敛域收敛域收敛域左边序列的收敛域左边序列的收敛域收敛域收敛域双边序列的收敛域双边序列的收敛域Z Z变换的收敛域变换的收敛域版权所有 违者必究8第二章第1讲l l逆逆逆逆Z Z Z Z变换变换变换变换逆逆Z Z变换变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。l l逆逆逆逆Z Z Z Z变换的三种基本方法变换的三种基本方法变换的三种基本方法变换的三种基本方法 围线积分法围线积分法围线积分法围线积分法 部分分式展开
5、法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法 长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）l l围线积分法围线积分法围线积分法围线积分法式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。 版权所有 违者必究9第二章第1讲逆逆Z Z变换变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点 如果 还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有: 若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分 。根据留数定理， 等于围线C内全部极点留数之和，即: 版权所有 违者必究10第二章第1讲逆逆Z Z变换变
6、换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。 如果 为单阶极点，按留数定理: 如果 为 阶极点，则其留数为: 版权所有 违者必究11第二章第1讲 求原序列x(n)已知某序列的Z变换为: 解:并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得: 由于收敛域为 ，可知该序列必定是因果序列。例例1:1:逆逆Z Z变换变换版权所有 违者必究12第二章第1讲逆逆Z Z变换变换例例2 2：求原序列x
7、(n)已知序列的Z变换为：解：a1/a收敛域|z|=|a|围线C 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列|z|=|1/a|在收敛域内作包围原定的围线C版权所有 违者必究13第二章第1讲逆逆Z Z变换变换当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为：当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有: 版权所有 违者必究14第二章第1讲l l部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法逆逆Z Z变换变换用部分分式展开法求反Z变换，通常为有理分式。1、单极点若序列为因果序列，且NM，当X(z
8、)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：则其逆Z变换为：版权所有 违者必究15第二章第1讲逆逆Z Z变换变换说说明明：1 1、X X(z(z) )较较简简单单时时可可按按算算术术展展开开求求各各系系数数A Ak k(k(k=0,1=0,1,N),N) 。 2 2、X X(z(z) )较较复复杂杂时时可可按按留留数数定定理理求求各各系系数数A Ak k(k(k=0,1=0,1,N),N)，此此时时为为了了方方便便通通常常利利用用X X( (z z)/z)/z的的形式求取：形式求取：版权所有 违者必究16第二章第1讲逆逆Z Z变换变换2、高阶极点当上述有理分式中的MN且具有高阶极
9、点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：版权所有 违者必究17第二章第1讲逆逆Z Z变换变换例例： 已知 ，求X(z)的原序列。 解：由求系数Ak的公式求得 因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列，从而求得 将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式版权所有 违者必究18第二章第1讲逆逆Z Z变换变换l l长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）若把若把X X(z(z) )展开成展开成z z-1-1的幂级数之
10、和，则该级数的各系数的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列就是序列 x x( (n n) ) 的值。的值。在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。对于左边序列左边序列Z变换为z的正幂正幂级数级数，分子分母多项式应按升幂排列升幂排列展开；对于右边右边序列，序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列降幂排列进行展开。 l l典型例题典型例题典型例题典型例题版权所有 违者必究19第二章第1讲 用长除法求 的逆Z变换。 由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。例例:解：解：即：逆逆Z Z变换变换版权所有 违者必究20第二章第
11、1讲逆逆Z Z变换变换例例: 用长除法求的逆Z变换收敛域 为环域，x(n)必为双边序列。解：解：对右边序列 右边序列为: 对左边序列 左边序列为: 综上可得: 版权所有 违者必究21第二章第1讲逆逆Z Z变换变换例例: 求 的逆Z变换。由收敛域 知原序列应为因果序列。的幂级数展开式为 故有 ，即： 用 代入上式，因解：解：版权所有 违者必究22第二章第1讲序序序序 列列列列Z Z Z Z 变变变变 换换换换收收收收 敛敛敛敛 域域域域1 1 1 1全部全部全部全部z z z z版权所有 违者必究23第二章第1讲l线性性线性性Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l序列的移位序列的移位l序列乘指
12、数序列（尺度性）序列乘指数序列（尺度性）返回返回返回返回返回返回返回返回版权所有 违者必究24第二章第1讲Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l序列的反褶序列的反褶l序列的共轭序列的共轭lZ Z域微分性域微分性返回返回返回返回版权所有 违者必究25第二章第1讲Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l初值定理初值定理若x(n)为因果序列，它的初值为：若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有：l终值定理终值定理l卷积定理卷积定理返回返回返回返回版权所有 违者必究26第二章第1讲Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l序列相乘（复卷积定理）
13、序列相乘（复卷积定理）lParsevalParseval定理定理返回返回返回返回版权所有 违者必究27第二章第1讲Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l重抽样序列的重抽样序列的Z Z变换变换对序列抽取运算时，将序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n)。两者之间的关系为： 版权所有 违者必究28第二章第1讲典型例题典型例题求序列 的z变换，并确定其收敛域。解：解：l l例例例例 1 1线性性线性性查看性质查看性质查看性质查看性质版权所有 违者必究29第二章第1讲求 的z变换和收敛域。解：解：l l例例例例 2 2典型例题典型例题查看性质查看性质查看性质查看性质序列的移序列的移位性位性版权
14、所有 违者必究30第二章第1讲典型例题典型例题查看性质查看性质查看性质查看性质l l例例例例3 3解：解：X(z)对z进行微分：Z域微分性逆Z变换版权所有 违者必究31第二章第1讲典型例题典型例题查看性质查看性质l l例例例例4 4用卷积定理求 解：解：卷积定理逆Z变换版权所有 违者必究32第二章第1讲典型例题典型例题查看性质查看性质查看性质查看性质l l例例例例5 5用复卷积定理求 解：解：复卷积定理复卷积定理版权所有 违者必究33第二章第1讲典型例题典型例题查看性质查看性质查看性质查看性质在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域
15、为：可见，只有一个极点v2=b在围线C内。由留数定理求得：版权所有 违者必究34第二章第1讲Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系l lS S S S平面到平面到平面到平面到Z Z Z Z平面的映射平面的映射平面的映射平面的映射Z变换与拉氏变换的关系: 这一关系实际上是通过 将S平面的函数映射到了Z平面。 若将Z平面用极坐标表示 ，S平面用直角坐标表示 ，代入 ，得：上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应，z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。 映射关系：映射关系：版权所有 违者必究35第二章第1讲Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系(S平面实轴映射到Z平面的
16、正实轴) (S平面原点映射到z =1点)(当由- /T 增加到+ /T 时,对应于 由- 增加到+ ) 由于 是 的周期函数，S平面每增加一个宽为2 /T 的水平条带时，对应于Z平面从- 到+ 旋转了一周。这样就有： 即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面 =1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于下图示： 版权所有 违者必究36第二章第1讲l l抽样序列的抽样序列的抽样序列的抽样序列的Z Z变换表示变换表示变换表示变换表示Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系抽抽样样序序列列的的傅傅立立叶叶变变换换即即抽抽样样序序列列的的频频谱谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴
17、上 的特例，按照前面的SZ平面的映射关系，它映射到Z平面 =1 的单位圆上，故有或定义：定义：Z平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度。版权所有 违者必究37第二章第1讲l l序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用 作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用 对模拟信号进行展开相似。版权所有 违者必究38第二章第1讲2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换 1 1序列傅立叶正变换序列傅立叶正变换 x(n)的傅立叶变换定义如下: 是 的连续函
18、数。但由于 其中M为整数，故有 可见 还是 的周期函数，周期为2 。 版权所有 违者必究39第二章第1讲序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义2 2序列傅立叶变换与序列傅立叶变换与Z Z变换的关系变换的关系 比较后可见：序序列列的的傅傅立立叶叶变变换换是是Z Z变变换换在在 时时的的Z Z变换，即变换，即Z Z变换在的单位圆上变换在的单位圆上 的特殊情况。的特殊情况。序列的傅立叶变换式： 序列的Z变换定义式： 版权所有 违者必究40第二章第1讲序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义由于单位圆上的由于单位圆上的Z Z变换就等于抽样序列的傅立叶变变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱
19、，因此，换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。之一。 版权所有 违者必究41第二章第1讲序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义一般为 的复变函数，可表示为: 其中， 分别为 的实部和虚部；通常称 为序列的幅频特性或幅度谱，而称 为相位谱，并且有：显然 都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数。 版权所有 违者必究42第二
20、章第1讲序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义3 3序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换 4 4序列的傅立叶变换的收敛条件序列的傅立叶变换的收敛条件 即序列绝对可和该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非充分但非必要必要条件有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见后例。某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。如 、某些周期序列，见后例。 版权所有 违者必究43第二章第1讲序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义5 5常用序列的傅立叶变换常用序列的傅立叶变换 序序序序 列列列列傅傅傅傅 立立立立 叶叶叶叶 变变变
21、变 换换换换版权所有 违者必究44第二章第1讲典型例题典型例题已知 ，求它的傅立叶变换。 解：解：其幅度谱和相位谱分别为： l l例例例例1 1版权所有 违者必究45第二章第1讲典型例题典型例题l l例例例例2 2已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 解：解：显然序列 不是绝对可和的，而是平方可和的 ，但其依然存在傅立叶变换。Parseval定理版权所有 违者必究46第二章第1讲典型例题典型例题l l例例例例3 3证明复指数序列 的傅立叶变换为： 证：证： 根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数 的性质，有：若序列为复指数和的形式： 推推论论版权所有 违者必究47第二章第1讲典型例题典型
22、例题l l例例例例4 4求余弦序列 的傅立叶变换 解：解：可见：序列序列 的傅立叶变换表现为在的傅立叶变换表现为在 处的处的冲击，强度为冲击，强度为 ，并以，并以2 2 为周期进行周期延拓。为周期进行周期延拓。 利用上例结论版权所有 违者必究48第二章第1讲序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质下面所列出的性质都可直接由Z变换令 得到，可自行证明。因序列的傅立叶变换是Z变换在 的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。版权所有 违者必究49第二章第1讲序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质l线性性线性性l序列的移位序列的移位l频域的相移频域的相移l序列的反褶序列的反褶版权所有
23、 违者必究50第二章第1讲序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质l序列的共轭序列的共轭l频域微分性频域微分性对时域信号进行线性加权对应于频域的微分l时域卷积定理时域卷积定理版权所有 违者必究51第二章第1讲序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质l频域卷积定理（序列相乘）频域卷积定理（序列相乘）l序列相关序列相关推论序列的序列的自相关自相关函数的函数的傅立叶傅立叶变换就变换就是序列是序列的功率的功率谱谱-维维纳纳-辛辛欠定理欠定理版权所有 违者必究52第二章第1讲序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质lParsevalParseval定理定理该定理表明：信号在时域中的能量等于频域中的能量l
24、重抽样序列的傅立叶变换重抽样序列的傅立叶变换该性质表明：该性质表明：重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了M倍，并将展宽后的频谱以为周期扩展了M个，幅度则下降到原来的1/M。版权所有 违者必究53第二章第1讲序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性l序列的共轭对称性质序列的共轭对称性质若序列 满足 则称 为共轭对称序列共轭对称序列类似地，若序列 满足 则称 为共轭反对称序列共轭反对称序列 任何序列 均可表示成上述两种序列之和，其中版权所有 违者必究54第二章第1讲序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示：此式表明： 的实部是n的偶函数，而虚部是
25、n的奇函数； 的实部是n的奇函数，而虚部是n的偶函数。 l序列傅立叶变换的共轭对称性质序列傅立叶变换的共轭对称性质将 分成实部与虚部 共轭对称部分共轭反对称部分版权所有 违者必究55第二章第1讲序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性上式表明：上式表明： 的傅立叶变换对应于 的实部； 的傅立叶变换对应于 的虚部(加上j 在内)。版权所有 违者必究56第二章第1讲序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性结论：结论： 具有共轭对称性质， 具有共轭反对称性质。若序列为纯实数序列，即若 所以实序列x (n)的傅立叶变换的实部是w的偶函数，而虚部是w的奇函数；幅度是w的偶函数，而相位是w的奇函数推论推论若序列为纯虚数序列，即若所以纯虚数序列的傅立叶变换是w的奇函数。 版权所有 违者必究57第二章第1讲
