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1、第五节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、几种常见的曲面及其方程二、几种常见的曲面及其方程 曲面及其方程 第七章第七章 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的化简得化简得即即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .解解 设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为轨迹轨迹方程方程. . 1. 定义定义如果曲面如果曲面 S
2、 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的图形图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例：曲面的实例：例例1故所求方程为故所求方程为方程方程. 特别特别,
3、,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解解 设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示上表示上(下下)球面球面 .求动点到定点求动点到定点例例2解解 配方得配方得此方程表示此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面. . 半径为半径为的球面的球面. .球心为球心为 一个一个球面球面, , 或或点点 , , 或或虚轨迹虚轨迹. .(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程求曲面方
4、程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 2. 两个基本问题两个基本问题以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：以以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，为球心，R 为半径为半径的球面方程为的球面方程为二、几种特殊的曲面及其方程二、几种特殊的曲面及其方程2. 球面球面3. 旋转曲面旋转曲面1. 平面平面3.旋转曲面旋转曲面(1) 定义定义一条平面曲线绕其平一条平面曲线绕其平面上的一条面上的一条定直线定直线旋旋转一周所成的曲面称转一周所成的曲面称为为旋转曲面旋转曲面.这条定直线
5、叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴如图，如图，代入代入(2)转轴为坐标轴的旋转曲面转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征：方程的特征：xyzo得旋转曲面得旋转曲面 的的方程：方程：由此可见：绕由此可见：绕 z 轴旋转，轴旋转，z 坐标不动，将坐标不动，将绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：特点：出现某出现某两变量的平方和两变量的平方和.(3) 常见的旋转曲面常见的旋转曲面 圆柱面：圆柱面：yz ox o 圆锥面圆锥面 直线直线 L 绕另一条与其绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫圆锥面两直线的交点
6、叫圆锥面的的顶点顶点, 叫圆锥面的叫圆锥面的半顶角半顶角. 两直线的夹角两直线的夹角 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角轴，半顶角为为 的圆锥面方程的圆锥面方程(0 绕绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：轴旋转一周所得的圆锥面方程：xyzo双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面绕绕z轴旋转而成的曲面：轴旋转而成的曲面：zy xozyxoo 旋转双曲面旋转双曲面双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面解解例例3过点过点 M 作垂直于作垂直于z 轴轴的平面的平面 ，它与所给直线，它与所给直线 L的交点为的交点为故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为: :旋
7、转单旋转单叶双曲叶双曲面面dPL注注一般地，旋转单叶双曲面一般地，旋转单叶双曲面还可成是由直线还可成是由直线或或绕绕z轴旋转而成轴旋转而成.因而旋转单叶双曲面又称为因而旋转单叶双曲面又称为直纹面直纹面.xyzO 旋转椭球面旋转椭球面绕绕 y 轴旋转而成的曲面：轴旋转而成的曲面：旋旋转转椭椭球球面面 旋转抛物面旋转抛物面绕绕 z 轴旋转而成的曲面：轴旋转而成的曲面： 旋转抛物面旋转抛物面xzyo(1) 定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的移动的直线直线L 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线C 叫柱叫柱面
8、的面的准线准线，动直线，动直线 L 叫柱面的叫柱面的母线母线.4. 柱面柱面xyzo注注 柱面的准线不惟一柱面的准线不惟一.o准线准线C准线准线C母线母线 L(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征母线平行于坐标轴的柱面方程的特征方程中缺少一个变量方程中缺少一个变量 (该坐标轴的变量该坐标轴的变量)如：如：表示母线表示母线 / z 轴的柱面轴的柱面.事实上，事实上，过点过点M 作垂直于作垂直于 xoy 面面的垂线，的垂线， 则此垂线与则此垂线与 C的交点的交点M1(x, y, 0)的坐的坐标必满足标必满足 ：反之，不在反之，不在 上的点上的点M，其，其在在 xoy 面上的投影点面上的投影点M1
9、不在不在C上，从而其坐标不满足该方程上，从而其坐标不满足该方程.xyzoo准线准线C ：母线母线 L曲面曲面 M M1类似地，类似地，表示母线表示母线 / x 轴的柱轴的柱面面.表示母线表示母线 / y 轴的柱轴的柱面面.小结：小结：（其他类推）（其他类推）(3)常见的二次柱面常见的二次柱面 椭圆柱面椭圆柱面母线母线 / 轴轴xyzoo 双曲柱面双曲柱面母线母线 / 轴轴xyzoo 抛物柱面抛物柱面母线母线 / 轴轴特殊柱面：特殊柱面： 平面平面xyzoxyzo内容小结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程三元方程2. 球面球面3. 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋
10、转曲面:4. 柱面柱面如如, 曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如, 椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 .(旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法).(母线、准线母线、准线). 1. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？几何中分别表示什么图形？思考题思考题解解平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程2.直线直线绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周, 求此旋转求此旋转转曲面的方程转曲面的方程. 解解在在 L 上任取一点上任取一点设设 M(x, y, z)为为M0 绕绕z 轴旋转轨迹上任一点轴旋转轨迹上任一点,则有则有旋转曲面方程旋转曲面方程将将 y0=z 代入第二方程，得代入第二方程，得备用题备用题例例1-1解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为方程方程 的图形是怎样的的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解例例2- 1
