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1、概率论与数理统计概率论与数理统计总总 复复 习习第一章第一章 事件的概率事件的概率2. 概率的定义概率的定义：3. 概率的性质概率的性质： 4.4.两个概念两个概念( (对立对立) )：非负性；非负性；规范性；规范性；可列可加性。可列可加性。A与与B独立独立P(AB)=P(A)P(B)A与与B互不相容互不相容 P(AB)=0, P(AB)=P(A)+P(B) AB=1.古典概率古典概率乘法原理、排列组合；乘法原理、排列组合；几何概率几何概率均匀分布均匀分布 P(A)0时时, P(B/A)=P(B)5. 两个公式两个公式 P(Ai /B )后验概率后验概率A1 A2 . AnB P(Ai) 先验
2、概率先验概率P(B/Ai) 例例1 1 设设甲甲、乙乙、丙丙三三人人的的命命中中率率分分别别为为0.30.3，0.20.2，0.10.1。现现三三人人独独立立地地向向目目标标各各射射击击一一次次，结结果果有有两两次次命命中中目目标标，试试求求丙丙没有命中目标的概率。没有命中目标的概率。记记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，分别为甲、乙、丙命中目标，D D 为为目标被命中两次目标被命中两次. .解解=0.092法一法一 用条件概率直接求解。用条件概率直接求解。 P(B )法二法二 用用Bayes公式：公式：CD0.10.90.3*0.20.3*0.8+0.7*0.2P (C) = 0.1,P
3、(D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,于是有于是有例例2 填空填空(可作图帮助分析可作图帮助分析)(1) 设设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则则 =_ (2) (2) 若若A A 与与B B 独立，且独立，且A A 与与B B 互不相容，则互不相容，则minminP P( (A A) )，P P( (B B)=_)=_。00.6 (3) 已知已知P(A)=0.3，P(B)=0.5。则当则当A与与B相互相互独立时，独立时，有有P(AB)=_；当；当A与与B不相容时，有不相容时，有P(B-AB-A)=_；当；当P(A/B)=0.4时，有时，有0.650.50.4第二、三章第二、
4、三章 随机变量及其分布随机变量及其分布1.1.常用分布常用分布B(n,p)，P( )，Ua,b，E( )，N( , 2 )；2.2.联合分布联合分布和和边缘分布边缘分布4.4.随机变量函数的分布随机变量函数的分布 公式法：公式法： 分布函数法分布函数法(C.R.V.)(C.R.V.)：（注意分段）（注意分段）独立时，独立时，Min (X1, X2, , Xn) 和和 Max (X1, X2, , Xn)的的分布。分布。3.3.概率的计算概率的计算( (一维或二维一维或二维C.R.V.C.R.V.：一重或二重积分：一重或二重积分) )作图、定限再计算、验证作图、定限再计算、验证独立时独立时二维均
5、匀、二维正态二维均匀、二维正态5 5 随机变量的独立性随机变量的独立性正态分布的线性组合性质正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性含正态分布可加性) 若若Xi N( ( i i， i i 2 2) ), i=1,2,.n, 相互独立，则对任何相互独立，则对任何实数实数a1, a2, , an, 有有例例3 已知已知X f(x)，求求Y= -X2的概率密度。的概率密度。解解 用分布函数法。用分布函数法。y0 时，时，y0 时，时， FY(y) = P(Yy) =1于是于是Y的概率密度为的概率密度为FY(y) = P(Yy) = P(-X2 y) 例例4 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y )
6、的联合密度函数为：的联合密度函数为：解解求随机变量求随机变量Z=X+Y 的的密度函数密度函数fZ(z)。法一法一(分布函数法分布函数法)：0xy11法二法二 (公式法公式法)：注意到被积函数的非零区域注意到被积函数的非零区域G G为：为：x=zx=z-1110zx2G第四章第四章 数字特征小结数字特征小结( (定义、含义、计算和性质定义、含义、计算和性质) )1.1.计算计算（附表一：六大分布）（附表一：六大分布）2.2.性质性质 E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X) E(ii Xi)=i i E(Xi)(3) D(1X2Y)=12D(X)+22D(Y) 212Cov(
7、X,Y)(4) 独立必不相关，反之则不一定。独立必不相关，反之则不一定。E(X) , E(Y) , E(XY)E(X2) , E(Y2)例例5 设设C.R.V.(X, Y)在三角形区域在三角形区域G: 0x 1, 0y 1-x上上服从均匀分布，求服从均匀分布，求Cov (X, Y)和和XY.解解同理同理 E(X2 )=1/6, E(XY )=1/12. 从而从而DX=E(X2 )- (EX )2=1/18由对称性有由对称性有 E(Y )= E(X )=1/3, DY= DX = 1/18. 于是于是Cov (X, Y) = E(XY )- E(X) E(Y ) = 1/12-(1/3)2 =
8、-1/36例例6 设设U(0, 2), X=cos, Y = cos(+a), 其中其中0a 2为常数，试求为常数，试求XY 并并由此讨论由此讨论X 与与Y之间的关系。之间的关系。解解于是于是当当 a = 0， XY = 1，当当a = /2 或或 3/2 时，因时，因 XY = 0，故，故X 和和Y不相关。不相关。例例7 求求例例8 设设(X,Y) N(1, 2, 12, 22, ), 可以推出哪些结论可以推出哪些结论？(分布特点、边缘分布、数字特征、独立与不相关等分布特点、边缘分布、数字特征、独立与不相关等)当当a = ， XY = -1，两种情况下两种情况下X和和Y都呈线性关系。都呈线性
9、关系。这时这时Y = - X 。这时这时Y = X ；但却有但却有X2 + Y2 = 1，表明表明X 和和Y不不独立。独立。解解D(X+Y) DX DY 2Cov（X，Y）D(X-Y) DX +DY -2Cov（X，Y） 例例9 设随机变量设随机变量X，Y的方差分别为的方差分别为25和和36，相关系数，相关系数为为0.4，求，求D(0+1X+2Y) ， D(X+Y) ， D(X-Y) D(0+1X+2Y) = D(1X+2Y) 12DX 22DY 212 Cov（X，Y） 例例10 设随机变量设随机变量X1 ， X2, ， Xn相互独立，且期望相互独立，且期望和方差分别为和方差分别为, ,2
10、20 0,的相关系数。的相关系数。解解第第5章：章：1. 契比雪夫不等式契比雪夫不等式 2. 中心极限定理中心极限定理: 正态极限分布正态极限分布: 例例11 试用三种方法计算抛试用三种方法计算抛100次均匀硬币出现正面的频次均匀硬币出现正面的频率在率在0.4至至0.6之间的概率。之间的概率。解解 设出现正面的次数为设出现正面的次数为X，则，则X B(100, 1/2)第第6、7章：抽样分布章：抽样分布, 正态总体的抽样分布；矩估计、极大正态总体的抽样分布；矩估计、极大似然估计；无偏性；区间估计似然估计；无偏性；区间估计(单正态总体，双侧单正态总体，双侧)。1 直接计算；直接计算；3 用中心极
11、限定理。用中心极限定理。2 用契比雪夫不等式；用契比雪夫不等式；例例 12 判断均匀分布判断均匀分布Ua, b)参数极大似然矩估计的无偏性。参数极大似然矩估计的无偏性。解解 对对XUa, b)，参数极大似然矩估计量为，参数极大似然矩估计量为二者的分布函数为二者的分布函数为二者的密度函数为二者的密度函数为显然都不是无偏估计。显然都不是无偏估计。解解 则总体则总体XB(1, p)，其中，其中p为废品率。为废品率。1）矩法）矩法2）极大似然法）极大似然法3）无偏性）无偏性例例13 从一批产品中任取从一批产品中任取n件，发现有件，发现有m件废品，试求这件废品，试求这批产品废品率批产品废品率p的矩法和极大似然估计。并判断这两种估的矩法和极大似然估计。并判断这两种估计量的无偏性。计量的无偏性。民意调查建模？估计原理？民意调查建模？估计原理？Exer1. 设设X1, X2, , X2n为来自正态总体的样本为来自正态总体的样本,？Exer2. 设设X1, X2, , X2n为来自正态总体为来自正态总体N(,2)的样本的样本,已知，求已知，求2的极大似然估计并判断无偏性。的极大似然估计并判断无偏性。Exer3. 推导正态总体参数的双侧置信区间。推导正态总体参数的双侧置信区间。注：因注：因故故显然无偏性成立，因显然无偏性成立，因或或解解
