《12二次函数的图象与性质 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12二次函数的图象与性质 (2)（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质本节内容1.2 我们已经学习过用描点法画一次函数、我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？的图象呢？探究探究列表列表：由于自变量：由于自变量x可以取任意实数，因此让可以取任意实数，因此让x取取 0 和一些和一些互为相反数的数互为相反数的数，并且算出相应，并且算出相应 的函数值，列成下表：的函数值，列成下表：x- -3- -2- -101239410149描点描点：在平面直角坐标系内，以：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，取的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标相应的函数值为纵
2、坐标，描出相应的点描出相应的点. 如如 下下图图所示所示. .AABBAABB 观察左图，点观察左图，点A和点和点A，点，点B和和点点B，它们有什么关系？取更，它们有什么关系？取更 多的点试试，你能得出函数多的点试试，你能得出函数y= x2的的 图象关于图象关于y 轴对称吗？轴对称吗？ 观察左图，观察左图，y轴右边描出的各点，轴右边描出的各点， 当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横轴右边的所有点都具有纵坐标随着横 坐标的增大而增大的特点吗？坐标的增大而增大的特点吗？ 可以证明可以证明y= x2的图象关于的图象关于y轴对称；图轴对
3、称；图象在象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为的增大而增大，简称为“右升右升”. .AABB连线连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点 和和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性， 画出图象在画出图象在y轴左边的部分轴左边的部分( (把把y轴左边的点和原点轴左边的点和原点 用一条光滑曲线顺次连接起来用一条光滑曲线顺次连接起来) )，这样就得到了，这样就得到了 的图象的图象. 如如上上图图所示所示. . 观察观察下下图图，函数函数 的图象的图象除了
4、上面已经知道除了上面已经知道的关于的关于y轴对称和轴对称和“右升右升”外外，还有哪些性质？，还有哪些性质？观察观察 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而值的增大而减小减小， 简称为简称为“左降左降”；当当x=0时，函数值最时，函数值最小，最小值为小，最小值为0. 从下图中可以看出，二次函数从下图中可以看出，二次函数 的图象是的图象是一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点原点（0，0）； 一般一般地，当地，当a0时，时，y=ax2的图象的图象都都具有上具有上述性质述性质. 于是我们在画于是
5、我们在画y=ax2( (a0) )的图象时，可以的图象时，可以先画出图象在先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在画出图象在y轴左边的部分轴左边的部分. 在画右边部分时，只在画右边部分时，只需需“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个步骤三个步骤.x012300.524.5例例1举举例例 画二次函数画二次函数 的图象的图象.因为二次函数因为二次函数 的图象关于的图象关于y 轴对称，轴对称， 因此列表时，自变量因此列表时，自变量x可以从原点的横坐标可以从原点的横坐标0开始取值开始取值. 解解列表：列表：描点描点和连线和连线：画出图象在画出图象在y轴右边
6、的部分轴右边的部分. .如如下下图图所示：所示： 利用对称性，画出图象在利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了接起来，这样就得到了 的图象的图象. .如如下下图图所示：所示：1. 二次函数二次函数y=6x2的性质有：的性质有：练习练习（1）图象的对称轴是）图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点是，对称轴与图象的交点是 ；（2）图象的开口向）图象的开口向 ；（3）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大 而而 ；在对称轴右
7、边的部分，函数值随自变量取值；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值 的增大而的增大而 .上上增大增大减小减小y轴轴 （0，0）2. 在同一直角坐标系中画出二次函数在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2 及及 的图象，并比较它们的图象，并比较它们有什么共有什么共 同点和不同点？同点和不同点？y=3x2答：答：通过比较以上图象可得出其相同点为：通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；开口均向上；对称轴均为对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点都是（轴；对称轴与图象的交点都是（0，0）；）；图象均是图象均是“左降左降”“右升右升”；当；当x=0时，函数值最小，为时，函数值最小，为0.y=3x2
8、探究探究 我们已经画出了我们已经画出了 的图象，能不能从它的图象，能不能从它得出二次函数得出二次函数 的图象呢？的图象呢？ 在在 的图象上任取一点的图象上任取一点 ，它关于，它关于 x轴的对称点轴的对称点Q的坐标是的坐标是 ，如，如下下图图所示：所示： 从点从点Q的坐标看出，点的坐标看出，点Q在在 的图象上的图象上.Q 由此可知，由此可知， 的图象与的图象与 的图象的图象关于关于x轴对称，因此只要把轴对称，因此只要把 的图象沿着的图象沿着x轴轴翻折并将图象翻折并将图象“复印复印”下来，就得到下来，就得到 的的图象图象. 如下图中的绿色曲线：如下图中的绿色曲线：Q对称轴是对称轴是 ，对称轴与图象
9、的交点是对称轴与图象的交点是 ；图象的开口向图象的开口向 ，y 轴轴O( (0，0) )下下 观察下图观察下图，函数函数 的图像具有哪些性质？的图像具有哪些性质？从图中可以看出，二次函数从图中可以看出，二次函数 的图象是一条曲线，的图象是一条曲线，观察观察 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而取值的增大而 ，简称为，简称为 ； 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而取值的增大而 ，简称为，简称为 ；当当x= 时，函数值最时，函数值最 ，减小减小右降右降增大增大左升左升0大大0最最 值为值为 大
10、大 当当a0时，时，y=ax2的图象的图象都都具有上述性质具有上述性质. 于是今后画于是今后画y=ax2( (a0) )的图象时，可以直接的图象时，可以直接先画出图象在先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在画出图象在y轴左边的部分轴左边的部分. 在画右边部分时，只要在画右边部分时，只要“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个步骤就可以了三个步骤就可以了.举举例例解解 列表：列表：例例2 画二次函数画二次函数 的图象的图象. x012340- -1- -4描点和连线：描点和连线：画出图象在画出图象在y轴右边的部分轴右边的部分. 利用对称性画出利用对称
11、性画出y轴左边的部分轴左边的部分.这样我们得到了这样我们得到了 的图象的图象.说一说说一说 如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2( (a0) )的图的图象相像吗？象相像吗？ 以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，直角坐标系，x轴的正方向水平向右，轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2( (a0) )的图象的一段的图象的一段. 由此受
12、到启发，我们由此受到启发，我们把二次函数把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作的图象这样的曲线叫作抛物线抛物线，简，简称为抛物线称为抛物线 y=ax2. 一般地，二次函数一般地，二次函数y=ax2的图象关于的图象关于y轴对称轴对称. 抛物线与它的对称轴的交点抛物线与它的对称轴的交点( (0，0) )叫做抛物线的叫做抛物线的顶点顶点.（3）抛物线抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大 而而 ；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值 的增大而的增大而 . 1.画出二次函数画出二次函数y=- -10x2的
13、的图象并填空图象并填空：（1）抛物线的抛物线的对称轴是对称轴是 ，顶点是，顶点是 ； （2）抛物线抛物线的开口向的开口向 ；y轴轴原点原点O( (0，0) )下下减小减小增大增大练习练习 2. 在同一直角坐标系中，分别画出函数在同一直角坐标系中，分别画出函数 y=- -0.3x2与与y=- -8x2 的图象的图象，并分别说出它们的共同点和不同点并分别说出它们的共同点和不同点.解：解：共同点共同点：均开口向下；对称轴：均开口向下；对称轴均为均为y轴；对称轴与图象的交点轴；对称轴与图象的交点是是( (0，0) )；图象均是；图象均是“左升左升”“右降右降”；当；当x=0时，函数值最时，函数值最大，
14、为大，为0；不同点不同点： y=- -8x2的图象的图象开口比开口比y=- -0.3x2的图象的图象开口小开口小.探究探究 把二次函数把二次函数 的图象的图象E向右平移向右平移1个个单位，得到图形单位，得到图形F，如下图所示：，如下图所示： 由于平移不改变图形的形状和大小，因此由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象图象E在向在向右右平移平移1个单位后：个单位后：原原 像像像像抛物线抛物线E： 图象图象F也是抛物线也是抛物线E的顶点的顶点O( (0，0) )点点 O( (1，0) )是是F的顶点的顶点E有对称轴有对称轴l( (与与y轴轴重合重合) )直线直线l( (过点过点O与与y轴平行轴平行
15、) )是是F的对称轴的对称轴E开口向上开口向上F也开口向上也开口向上 抛物线抛物线F是哪个函数的图象呢？是哪个函数的图象呢？ 在抛物线在抛物线 上任取一点上任取一点 ，它在，它在向向右平右平移移1个单位后，个单位后，点点P的的像像点点Q的坐标是什么？的坐标是什么？ 把点把点P的横坐标的横坐标a加上加上1，纵坐标纵坐标 不变，就得到像不变，就得到像点点Q的坐标为的坐标为 记记b=a+1，则，则a=b- -1. 从而点从而点Q的坐标为的坐标为 ，这表明：点，这表明：点Q在函数在函数 的图象上的图象上.由此得出，抛物线由此得出，抛物线F是函数是函数 的图象的图象. 从上面的过程可以说明从上面的过程可
16、以说明：函数：函数 的图的图象是抛物线象是抛物线F，它的开口向上，它的开口向上，它的顶点是它的顶点是 ，它的对称轴是过点它的对称轴是过点 且平行于且平行于y轴的直线轴的直线l.直线直线l是由横坐标为是由横坐标为1的所有点组成的，我们把直线的所有点组成的，我们把直线l记做直线记做直线x=1.结论结论 二次二次函数函数y=a( (x- -h) )2的图象是抛物线，的图象是抛物线，它的对称轴是直线它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是，它的顶点坐标是( (h，0) ). 当当a0时，抛物线的开口向上；时，抛物线的开口向上；当当a0时时，开口向下开口向下.类似地，类似地， 我们可以证明下述结论：我们可
17、以证明下述结论： 由于我们已经知道了由于我们已经知道了二次二次函数函数y=a( (x- -h) )2的的图象的性质，因此今后在画图象的性质，因此今后在画y=a( (x- -h) )2的图象时，的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分然后利用对称性，画出左边的部分. 在画图象的右边部分时，只需要在画图象的右边部分时，只需要“列表，列表，描点，连线描点，连线”三个步骤就可以了三个步骤就可以了.举举例例解解 抛物线抛物线y=( (x- -2) )2的对称轴是直线的对称轴是直线x=2， 顶点坐标是顶点坐标是( (2
18、，0) ). x2345y=( (x- -2) )20149例例3 画函数画函数y=( (x- -2) )2的图象的图象. 列表：自变量列表：自变量x从顶点的横坐标从顶点的横坐标2开始取值开始取值. 描点和连线：描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:这样我们得到了函数这样我们得到了函数y=( (x- -2) )2 的图象的图象.如如下下图图所示：所示：y=( (x- -2) )2 1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. .（1）
19、 练习练习答：答：对称轴是对称轴是直线直线x = 5，顶点是，顶点是( (5，0) )，开口向上，开口向上.（2）y=- -3( (x+2) )2答：答：对称轴是对称轴是直线直线x =- -2，顶点是，顶点是( (- -2，0) )，开口向下，开口向下.2. 分别分别画画出出二次函数二次函数 y=- -( (x- -1) )2， 的图象的图象.解解探究探究 如何画二次函数如何画二次函数 的图象？的图象？ 我们来探究二次函数我们来探究二次函数 与与 之间的关系之间的关系.二次函数二次函数图象上的点图象上的点横坐标横坐标x纵坐标纵坐标yaa 从上表看出：对于每一个给定的从上表看出：对于每一个给定的
20、x值，函数值，函数的值都要比函数的值都要比函数 的值大的值大3，由此可见函数，由此可见函数的图象可由二次函数的图象可由二次函数 的图象向上平移的图象向上平移3个单位而得到个单位而得到（如（如下下图）图）. 因此，二次函数因此，二次函数 的图象也是抛的图象也是抛物线，它的对称轴为直线物线，它的对称轴为直线x=1( (与抛物线与抛物线 的对称轴一样的对称轴一样) )，顶点坐标为，顶点坐标为( (1，3)()(它是由抛物它是由抛物线线 的顶点的顶点( (1，0) )向向上上平移平移3个单位得到个单位得到) )，它的开口向上它的开口向上.结论结论 一般地，二次函数一般地，二次函数y=a( (x- -h
21、) )2+k的图象是抛物线，的图象是抛物线，它具有下述性质：它具有下述性质：抛物线抛物线y=a( (x- -h) )2+k对称轴对称轴顶点顶点坐标坐标开口开口方向方向图象上的点图象上的点在对称轴在对称轴的左边的左边在对称轴在对称轴的右边的右边a0x=h( (h，k) )向上向上y 随随x 的增的增大而减小大而减小y 随随x 的增大的增大而增大而增大a0x=h( (h，k) )向下向下y 随随x 的增的增大而增大大而增大y 随随x 的增大的增大而减小而减小 由于我们已经知道了函数由于我们已经知道了函数y=a( (x- -h) )2+k的图的图象的性质，因此画象的性质，因此画y=a( (x- -h
22、) )2+k的图象的步骤如的图象的步骤如下：下：第一步第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平写出对称轴和顶点坐标，并且在平 面直角坐标系内画出对称轴，描出面直角坐标系内画出对称轴，描出 顶点；顶点；第二步第二步 列表列表( (自变量自变量x从顶点的横坐标开始取值从顶点的横坐标开始取值) )， 描点和连线，画出图象在对称轴右边的部描点和连线，画出图象在对称轴右边的部 分；分；第三步第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部利用对称性，画出图象在对称轴左边的部 分分( (这只要先把对称轴左边的对应点描出这只要先把对称轴左边的对应点描出 来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和来，然后用一条光滑曲线顺
23、次连接它们和 顶点顶点).).举举例例解解 对称轴是直线对称轴是直线x=- -1，顶点坐标为，顶点坐标为( (- -1，- -3) ).x- -10123- -3- -2.5- -11.55列表：列表：自变量自变量x从顶点的横坐标从顶点的横坐标- -1开始取值开始取值.例例4 画二次函数画二次函数 的图象的图象.描点和连线：描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样我们得到了函数这样我们得到了函数 的图象的图象.举举例例例例5 已知某抛物线的顶点坐标为已知某抛物线的顶点坐标为（- -2，
24、1），且与，且与y 轴轴相交于点相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式函数的表达式. 已知某抛物线的顶点坐标为已知某抛物线的顶点坐标为（- -2，1），且与，且与y 轴轴相交于点相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式函数的表达式. 由函数图象过点（由函数图象过点（0，4），）， 可得可得 4=a( (0+ +2) )2 + 1，解解由于点（由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为抛物线所表示的二次函数的表达式为 y=a( (x+ +2) )2+
25、1.因此，所求的二次函数的表达式为因此，所求的二次函数的表达式为解得解得1. 说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：答：对称轴为直线答：对称轴为直线x=9，顶点，顶点( (9，7) )，开口向上，开口向上.答：对称轴为直线答：对称轴为直线x=- -18，顶点，顶点( (- -18，- -13) )，开口向下，开口向下.练习练习2. 画二次函数画二次函数 的图象的图象. 解：解：3. 已知某抛物线的顶点坐标为已知某抛物线的顶点坐标为( (- -3，2) )，且经过，且经过 点点( (- -1，0) )，求这个抛物线所表示的二次函数
26、，求这个抛物线所表示的二次函数 的表达式的表达式.由函数图象过点由函数图象过点( (- -1，0) )，可得可得 0=a( (- -1 + +3) )2 +2，解解: : 由于点由于点( (- -3，2) )是该抛物线的顶点，可设这个是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为抛物线所表示的二次函数的表达式为 y=a( (x+ +3) )2+2.解得解得因此，所求的二次函数的表达式为因此，所求的二次函数的表达式为如何画二次函数如何画二次函数y=- -2x2+6x- -1 的图象？的图象？动脑筋动脑筋 我们已经会画我们已经会画y=a( (x-h) )2+k的的图象图象.因此只需因此
27、只需把把- -2x2+6x- -1配方成配方成- -2( (x-h) )2+k的形式就可以了的形式就可以了.配方：配方：对称轴是直线对称轴是直线 ，顶点坐标是顶点坐标是 .x233- -1列表：列表：自变量自变量x从顶点的横坐标从顶点的横坐标 开始取值开始取值.描点和连线：描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样就得到了函数这样就得到了函数y=- -2x2+6x- -1的图象的图象. 观察下图，当观察下图，当x等于多少时等于多少时，函数，函数y=- -2x2+6x- -1的值最大？这个最
28、大值是多少？的值最大？这个最大值是多少？说一说说一说 当当x等于顶点的横坐标等于顶点的横坐标 时，函数值时，函数值最大；这个最大值等于顶点的纵坐标最大；这个最大值等于顶点的纵坐标 .一般地，有下述结论：一般地，有下述结论： 二次函数二次函数y=ax2+bx+c，当，当x等于顶点的横坐标时，等于顶点的横坐标时，达到最大值达到最大值( (当当a0) )或最小值或最小值 ( (当当a0) )，这个最大，这个最大( (小小) )值等于顶点的纵坐标值等于顶点的纵坐标.举举例例解解配方：配方：例例6 求求二次二次函数函数 的最大值的最大值. 顶点坐标是顶点坐标是( (2，1) )，于是当，于是当x=2时，
29、时，y达到最大值达到最大值1.一般地，对于二次函数一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c进行配方，进行配方，顶点坐标是顶点坐标是 因此，当因此，当 时，函数达到最大值时，函数达到最大值( (当当a0) )或或最小值最小值( (当当a0) )：练习练习1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和 开口方向，并画出它们的图象开口方向，并画出它们的图象.（1） y=3x2- -6x+1；答：答：对称轴对称轴为直线为直线x=1，顶点，顶点( (1，- -2) )，开口方向向上开口方向向上.原函数可化为原函数可化为 y= 3( (x-1) )2-2.答：原函数可
30、化为答：原函数可化为对称轴对称轴为直线为直线 x=2 ，顶点，顶点( (2，0) )，开口方向向下开口方向向下.（2）2. 求下列二次函数的图象的顶点坐标：求下列二次函数的图象的顶点坐标：（1） y=x2- -3x+2；答：答：的图象的图象顶点为顶点为 .（2）答：答：( (- -3，4) ).的图象的图象顶点为顶点为 3. 用配方法求用配方法求第第2题中各个二次函数的最大值或最小值题中各个二次函数的最大值或最小值.（1） y=x2- -3x+2；答：原函数配方得答：原函数配方得 当当 时，时，y最小最小=（2）答：原函数配方得答：原函数配方得当当x=- -3时，时，y最大最大=4.中考中考
31、试题试题例例1 把抛物线把抛物线y=- -x2向左平移向左平移1个单位，然后向上平移个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为个单位，则平移后抛物线的解析式为 （ ） A. y=- -( (x- -1) )2- -3 B. y=- -( (x+1) )2- -3 C. y=- -( (x- -1) )2+3 D. y=- -( (x+1) )2+3D解析解析 抛物线抛物线y=- -x2的顶点的顶点( (0，0) )先向左平移先向左平移1个个单位，再向上平移单位，再向上平移3个单位得到个单位得到( (- -1，3) )，该，该点为所求抛物线的顶点，故选点为所求抛物线的顶点，故选D.
32、.中考中考 试题试题例例2 抛物线抛物线y=x2- -3x+2与与y轴交点的坐标是（轴交点的坐标是（ ） A. ( (0，2) ) B. ( (1，0) ) C. ( (0，-3) ) D. ( (0，0) )A解析解析 当当x=0时，时，y=2，所以抛物线与，所以抛物线与y轴的交点坐标是轴的交点坐标是( (0，2) )，故选，故选A. .中考中考 试题试题例例3 把抛物线把抛物线y=2x2向上平移向上平移5个单位，所得抛个单位，所得抛物线的解析式为（物线的解析式为（ ） A. y=2x2+5 B. y=2x2- -5 C. y=2( (x+5) )2 D. y=2( (x- -5) )2A解析解析 y=2x2向上平移向上平移5个单位后解析式个单位后解析式为为y=2x2+5，故选，故选A. .结结 束束
