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1、 7.4 简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分 一、简单无理函数的不定积分 对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。 下面总假设),(yxR表示关于变量yx,的有理函数。 1ndcxbaxxR,型函数的不定积分。其中0 bcad 解法：作变量替换ndcxbaxt，即dttdxtctabdtxnn)(, )(,于是 dttttRdxdcxbaxxRn)(),(,， 转化为有理函数的不定积分。 例 1求dxxxxx1415782171 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 2
2、14771xxx，71421xxx，16147878xxx，15141415xx 作变量替换14xt ，即dttdxtx131414,，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。 解：作变量替换14xt ，即dttdxtx131414,，则 dtttdttttttdxxxxx1114145131516721415782171 例 2求dxxxx23)2(122 解：设,223txx 则33122ttx，dtttdx232)1 (12，所以 dttdttttttdxxxx323223323143)1 (1212221)2(122 2cbxaxxR2,型函数的不定积分，其中042 acb（即方程0
3、2cbxax无重根） 分两种情况讨论： （1）042 acb时，方程02cbxax有两个不等的实数根、 欢迎下载 2 这时，设)()(2xtxxcbxax，即 22ttx，从而有,)()(222dtttdx 22)(ttcbxax 于是，dtttttttRdxcbxaxxR22222)(2)(, 这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。 例 3求22)1 (xxxdx 解：方程022xx有两个根：11x，22x，设) 1(22xtxx， 则xxt12，即2212ttx，于是dtttdx22)1 (6，22132ttxx CxxCtdtdtttttttxxxdx1232323213121
4、)1 (62)1 (222222 （2）042 acb时，方程02cbxax没有有实数根。此时，a、c同号（否则042 acb） ，且0c（否则0x时，cbxax2没有意义） ，从而0a 设ctxcbxax2，则xccbxaxt2，或)(22tatt cbx，此时 dttdx)(，从而 dttctttRdxcbxaxxR)()(),(,2 这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。 例 4求dxxxx112 解：设112txxx，或xxxt112，即1122ttx 有dttttdx222) 1() 1( 2，111222tttxx，112ttxxx 计算是比较麻烦的但对某些特殊情况我们可
5、通过作变量替换将其转化为有理函数的不定积分这样就可以用上述的方法计算下面总假设表示关于变量的有理函数型函数的不定积分其中解法作变量替换即于是转化为有理函数的不定积分作变量替换即则例求解设则所以型函数的不定积分其中即方程无重根分两种情况讨论时方程有两个不等的实数根欢迎下载这时设即从而有于是这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分例求解方程有两个根设则即于是时方不定积分例求解设或即有欢迎下载当被积函数是最简形式时可用特殊的简单方法计算例求例求例求二三角函数的不定积分三角函数有理式的积分即型的积分其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分计算方法多种多样 欢迎下载 3 dttttttd
6、xxxx2222) 1(11211 （3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。 例 5求dxxx26111 例 6求dxxxx54222 例 7求dxxxx14) 2(2 二、三角函数的不定积分 三角函数有理式的积分，即dxxxR)sin,(cos型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种多样，有一种通用的计算方法万能代换。 令2xtgt ，就有.2arctgtx ，,122tdtdx且 22122sec222cos2sin2sinttxxtgxxx， ,11cos22ttx 212tttgx 于是 dttttttRdxxxR22221212,11)
7、sin,(cos 化为了有理函数的不定积分。 讲解课本例 8、例 9。 补充例子：求xdxIcos1 解：( 用万能代换 ) cxtgctdtdttttIxtgt2111122222 还可以用其它的解法。 解法 2：( 用初等化简 ) cxtgxdxxdxI2)2(2sec2cos2122. 计算是比较麻烦的但对某些特殊情况我们可通过作变量替换将其转化为有理函数的不定积分这样就可以用上述的方法计算下面总假设表示关于变量的有理函数型函数的不定积分其中解法作变量替换即于是转化为有理函数的不定积分作变量替换即则例求解设则所以型函数的不定积分其中即方程无重根分两种情况讨论时方程有两个不等的实数根欢迎下
8、载这时设即从而有于是这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分例求解方程有两个根设则即于是时方不定积分例求解设或即有欢迎下载当被积函数是最简形式时可用特殊的简单方法计算例求例求例求二三角函数的不定积分三角函数有理式的积分即型的积分其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分计算方法多种多样 欢迎下载 4 解法 3：( 用初等化简, 并凑微 ) xxdxdxdxxxI222sinsincsccos1cos1 .2cscsin1cxtgcctgxxcxctgx 可以看到，三角函数的不定积分的计算方法是比较灵活的，只要我们注意观察被积函数的特征，就能找到一些简便的计算方法。 下面介绍一些特
9、殊的有理三角函数的不定积分的简便计算方法。 1如果)sin,(cos)sin,cos(xxRxxR，那么可设xtsin即可 例 10求dxxxx46sincostan 解：)(sinsin)sin1 (sincossincostan3223546xdxxdxxxdxxxx 可见，在解题时不一定要“设” ，懂得“凑”就行了。 2如果)sin,(cos)sin,(cosxxRxxR，那么设xtcos即可 例 11求dxxx45cossin 解：)(coscos)cos1 (cossin42245xdxxdxxx 3如果)sin,(cos)sin,cos(xxRxxR，那么设xttan即可 例 12
10、求dxxx42cos1sin 解： xdxxxdxxdxxxtantan1tantancos1sincos1sin222242 4被积函数是形如xxmncossin的三角函数，分两种情况： （1）如果 n 与 m至少有一个是奇数，那么 n 是奇数时设xtcos；m是奇数时设xtsin。 例 13求dxxxcostan3 解： xdxxxdxxdxxxdxxxcoscoscos1coscossincossincostan2727272233 （2）如果 n 与 m都是偶数，则通过三角公式 计算是比较麻烦的但对某些特殊情况我们可通过作变量替换将其转化为有理函数的不定积分这样就可以用上述的方法计算下
11、面总假设表示关于变量的有理函数型函数的不定积分其中解法作变量替换即于是转化为有理函数的不定积分作变量替换即则例求解设则所以型函数的不定积分其中即方程无重根分两种情况讨论时方程有两个不等的实数根欢迎下载这时设即从而有于是这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分例求解方程有两个根设则即于是时方不定积分例求解设或即有欢迎下载当被积函数是最简形式时可用特殊的简单方法计算例求例求例求二三角函数的不定积分三角函数有理式的积分即型的积分其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分计算方法多种多样 欢迎下载 5 22cos1sin2xx， 22cos1cos2xx， xxx2sin21cossin
12、 将被积函数降幂、化简。 例 14求xdxx42cossin 解：dxxxxdxxxxdxx2cos2cos2cos1812cos12cos181cossin32242 dxxxx2cos24cos12cos1813 5如果被积函数是形如nxmxsinsin、nxmxcossin、nxmx coscos的函数，那么就用积化和差公式将被积函数化简。 1sinsincos()cos()2mxnxmn xmn x 1sincossin()sin()2mxnxmn xmn x 1coscoscos()cos()2mxnxmn xmn x 例 15求 dxxx32cos15cos 上面介绍的积分都是能积
13、出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。如 dxxxsin，dxxex，dxxln1，dxex2 这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。主要原因他们是不能用初等函数来表示。 （用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。 ） 计算是比较麻烦的但对某些特殊情况我们可通过作变量替换将其转化为有理函数的不定积分这样就可以用上述的方法计算下面总假设表示关于变量的有理函数型函数的不定积分其中解法作变量替换即于是转化为有理函数的不定积分作变量替换即则例求解设则所以型函数的不定积分其中即方程无重根分两种情况讨论时方程有两个不等的实数根欢迎下载这时设即从而有于是这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分例求解方程有两个根设则即于是时方不定积分例求解设或即有欢迎下载当被积函数是最简形式时可用特殊的简单方法计算例求例求例求二三角函数的不定积分三角函数有理式的积分即型的积分其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分计算方法多种多样
