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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 阶段方法技巧训练（一）阶段方法技巧训练（一）专训专训3 3 巧用构造法求几种特巧用构造法求几种特 殊角的三角函数值殊角的三角函数值习题课习题课 对对于于30、45、60角的三角函数角的三角函数值值，我，我们们都都可通可通过过定定义义利用特殊直角三角形三利用特殊直角三角形三边边的关系的关系进进行行计计算；算；而在而在实际应实际应用中，我用中，我们们常常碰到像常常碰到像15、22.5、67.5等一些特殊角的三角函数等一些特殊角的三角函数值值的的计计算，同算，同样样我我们们也可以构造相关也可以构造相关图图形，利用形，利用数形数形结结合思想合思想进
2、进行巧算行巧算如如图图，在，在RtABC中，中，BAC30，C90，延，延长长CA到到D，使，使ADAB，连连接接BD，则则D15，设设BCa，则则AB2a，AC a，AD2a，CD(2 )a.在在RtBCD中，中，BDsin 15sin D cos 15cos Dtan 15tan D1技巧技巧巧构造巧构造1515与与3030角的关系的图形计算角的关系的图形计算1515角的三角函数值角的三角函数值1求求sin 15，cos 15，tan 15的的值值解：解：2巧构造巧构造22.522.5与与4545角的关系的图形计算角的关系的图形计算22.522.5角的三角函数值角的三角函数值技巧技巧2求求
3、tan 22.5的的值值如如图图，在，在RtABC中，中，C90，ACBC，延延长长CA到到D，使，使DAAB，连连接接BD，则则D22.5，设设ACBCa，则则AB a，AD a，DC( 1)a，tan 22.5tan D解：解：3巧用折叠法求巧用折叠法求67.567.5角的三角函数值角的三角函数值技巧技巧3小明在学小明在学习习“锐锐角三角函数角三角函数”中中发现发现，将如，将如图图所示的矩所示的矩 形形纸纸片片ABCD沿沿过过点点B的直的直线线折叠，折叠， 使点使点A落在落在BC边边上的点上的点E处处，还还原原 后，再沿后，再沿过过点点E的直的直线线折叠，使点折叠，使点 A落在落在BC边边
4、上的点上的点F处处，求出，求出67.5 角的正切角的正切值值将矩形将矩形纸纸片片ABCD沿沿过过点点B的直的直线线折叠，使点折叠，使点A落在落在BC边边上的点上的点E处处，ABBE，AEBEAB45.还还原后，再沿原后，再沿过过点点E的直的直线线折叠，使点折叠，使点A落在落在BC边边上上的点的点F处处，AEEF，EAFEFA45222.5，FAB67.5.设设ABx，则则AEEF x，tan FABtan 67.5 1.解：解：4巧用含巧用含3636角的等腰三角形中的相似关系求角的等腰三角形中的相似关系求1818、7272角的三角函数值角的三角函数值技巧技巧4求求sin 18，cos 72的的
5、值值如如图图，作，作ABC，使，使BAC36，ABAC，ABC的平分的平分线线BD交交AC于于D点，点，过过点点A作作AEBC于于E点，点，设设BCa，则则BE a，BDADa，易，易得得ABCBCD，解：解：即即AB2aABa20，AB a(负负根舍去根舍去)，sin 18sin BAE ，cos 72cos ABE .5巧用巧用7575与与3030角的关系构图求角的关系构图求7575角的三角函数值角的三角函数值技巧技巧5求求sin 75，cos 75，tan 75的的值值方法方法一一：利用第：利用第1题题的的图图形求解易知形求解易知CBD75，sin75 ，cos75 ，tan75 .解：解：方法方法二二：如如图图，作，作ABD，使，使ADB90，DAB30，延延长长BD到到C，使，使DCDA，连连接接AC，过过B作作BEAC于于E，则则BAE75，设设ADDCa，则则AC a，BD a，AB a，BCBDCD a.CEBEBCsin 45 a，AEACCE a，sin 75sin BAEcos 75cos BAEtan 75tan BAE
