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1、函数的极限函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2、自变量趋向某一确定值、自变量趋向某一确定值x0时函数的极限时函数的极限播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限问题问题: 如何用数学语言刻画下述过程如何用数学语言刻画下述过程:要点要点:(1)过程过程(2)函数函数与与无限接近无限接近:有有定义定义:设函数设函数当当大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义. .如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小), ,总存在总存在着正数着正数使
2、得对于满足不等式使得对于满足不等式的一切的一切函数函数“无限接近无限接近”确定值确定值)(xfA. .当当时时, ,x 自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小), ,总存在总存在着正数着正数使得对于满足不等式使得对于满足不等式的一切的一切自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小), ,总存在总存在着正数着正数使得对于满足不等式使得对于满足不等式的一切的一切恒有恒有那么常数那么常数就叫函数就叫函数当当时的极限时的极限, ,记作记作或
3、或(当当注注: 根据上述定义根据上述定义, ,可用可用语言语言描述如下描述如下:“使得使得时时, ,恒有恒有”几何解释几何解释:自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限“使得使得时时, ,恒有恒有”单侧极限单侧极限:情形情形:即即使当使当时时, ,恒有恒有情形情形:使当使当时时, ,恒有恒有定理定理且且即即例例 1证明证明证证因为因为于是于是可取可取则当则当时时,恒有恒有故故证毕证毕.例例 2用极限定义证明用极限定义证明证证对于任意给定的对于任意给定的要使要使只要只要即即就可以了就可以了.因此，因此，对于任意给定的对于任意给定的取取则当则当时，时，例例 2用极限定义证明用极限定
4、义证明证证因此，因此，对于任意给定的对于任意给定的取取则当则当时，时，例例 2用极限定义证明用极限定义证明证证 因此，因此，对于任意给定的对于任意给定的取取则当则当时，时，恒成立恒成立.所以所以注注 ： 同理可证：同理可证：而当而当时，时，时，时，当当例例 3证明证明证证由由现在，现在，令令于是，于是，若取若取则当则当时，时，就有就有即即证毕证毕.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限问题问题: 如何用数学语言描述下述过程如何用数学语言描述下述过程:在在的过程中的过程中, ,函数函数无限趋近于确定值无限趋近于确定值要点要点:(1)过程过程体现体现与与的接近程度的接近程度. .
5、(2)函数函数与与无限接近无限接近:有有定义定义若对任意给定的正数若对任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), ,总存总存在正数在正数使当使当时时, ,函数函数都满足都满足不等式不等式设函数设函数在点在点的某一去心领域内有的某一去心领域内有定义定义.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限不等式不等式自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限不等式不等式则常数则常数就称为函数就称为函数当当时的极限时的极限. .记作记作或或(当当d de e- -定义定义使当使当时时, ,恒有恒有注意注意: 1. .无关无关;2. . 与任意给定的正数与任意给定的正数有关有关
6、. .定义的几何解释定义的几何解释:在点在点处是否有定义处是否有定义函数极限与函数极限与几何解释几何解释:例例 4 证明证明证证函数在点函数在点处没有定义处没有定义,任给任给要使要使只要取只要取则当则当时时,就有就有例例 5证明证明: 当当时时,证证任给任给要使要使只要只要且且则当则当时时,就有就有取取,左右极限左右极限左极限左极限使当使当时时, ,恒有恒有记作记作或或右极限右极限使当使当时时, ,恒有恒有记作记作或或注意注意左右极限左右极限或或注意注意左右极限左右极限或或注意注意定理定理例例 7验证验证不存在不存在.证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等.不存在不存在.例例 8 设设求
7、求解解因为因为即有即有所以所以不存在不存在.例例 9设设求求解解在在处没有定义处没有定义,而而故故不存在不存在.在某个过程中，在某个过程中，若若有极限，有极限，无极限，无极限，那么那么是否有极限是否有极限 ？为什么为什么 ？问题思考问题思考函数极限的性质函数极限的性质与收敛数列的性质相比较与收敛数列的性质相比较, ,可得函数极限的一些相可得函数极限的一些相应性质应性质. .下面仅以下面仅以的极限形式为代表给出这的极限形式为代表给出这些性质些性质, ,至于其他形式的极限的性质至于其他形式的极限的性质, ,只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得到. .唯一性定理唯一性定理若若存在存在, ,则极
8、限唯一则极限唯一. .有界性定理有界性定理若若则存在常数则存在常数和和使得当使得当时时, ,有有保号性定理保号性定理若若且且(或或则则使得当使得当时时, ,有有函数极限的性质函数极限的性质则则使得当使得当时时, ,有有函数极限的性质函数极限的性质则则使得当使得当时时, ,有有故若取故若取则则使得当使得当时时, ,有有证毕证毕. .证证只证只证的情形的情形. .因因(或或注注: 由证明可见由证明可见, ,保号性定理的结论可加强为保号性定理的结论可加强为推论推论若若且在且在的某去心邻域内的某去心邻域内(或或则则(或或 如果函数如果函数f(x)、g(x)及及h(x),0|x-x0|r满足下列条件满足
9、下列条件 (1) g(x) f(x) h(x) (2)lim g(x) A lim h(x) A (xx0)那么那么lim f(x)存在存在 且且lim f(x) A (xx0)证明证明),(0, 0, 0101xgAxx， - - - - e ed dd de e时有时有当当按假设按假设.)(0, 0202e ed dd d+ + - - Axhxx时有时有当当故有故有同时成立同时成立时上两不等式与时上两不等式与则当则当令令,)()()(0,min021xhxfxgxx - - d dd dd dd d,)()()(e ee e+ + - -AxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfx
10、x 0,0,1 1 0, ,使使 得当得当0|0|u- -A| 1, ,成立成立| |f( (u)-)-B|0,0,使得当使得当0|x-x0| , ,成立成立|g(x)-A| 1. .根据题设条件知在根据题设条件知在x0 0的的去心邻域内去心邻域内, ,有有0|g(x)-A| 1, ,因此成立因此成立|f(g(x)-B|0,0,1 10,0,使得当使得当| |u- -A| 1, ,成立成立| |f( (u)-)-f(A)|0,0,使得当使得当0|0|x-x0| ,成立成立| |g(x)-A| 1 1. .从而成立从而成立| |f(g(x)-f(A)| 容易证明结论仍成立。请同学自证。容易证明结
11、论仍成立。请同学自证。复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成, ,心邻域心邻域内有定义内有定义, , 若若在点在点的某去的某去当当时时, , 有有则则且存在且存在注注: :(1)将将换成换成或或而把而把换成换成可得到类似定理可得到类似定理; ;定理定理2复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则注注: :(1)将将换成换成或或而把而把换成换成可得到类似定理可得到类似定理; ;复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则注注: : (1)将将换成换成或或而把而把换成换成可得到类似定理可得到类似定理; ;(2)若函数若函数和和满足该定理的条件满足该定理的条件,则作代换则作代换可把求可把求化为求化为求其中其中定理表明定理表明:例例 求极限求极限解一解一令令则当则当时，时，故故原式原式解二解二
