《2.6.2两个随机变量函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.6.2两个随机变量函数的分布（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、我们已讨论了一维随机变量函数我们已讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论的分布，现在我们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分的联合分布已知时，如何求出它们的函数布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的联合分布的联合分布?一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形（一）二维离散型随机变量函数的分布律（一）二维离散型随机变量函数的分布律设设(X,Y)是二维离散型随机变量，
2、其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 PX=xi ,Y=yj= pij , (i, j=1,2,)且二元函数且二元函数z=g(x, y)对于不同的对于不同的(xi, yj)有不同有不同函数值，则随机变量函数值，则随机变量Z=g(X, Y)的的分布律为分布律为PZ=g(xi ,yj)= pij , (i, j=1,2,)（二）离散型随机变量和的分布（二）离散型随机变量和的分布例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解: X+Y =r X=1, X+Y =r X=2, X+Y =
3、r X=r, X+Y =r 且诸且诸X=i, X+Y =r ,i=1,2, ,r互不相互不相容容例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.于是有于是有: =a0br+a1br-1+arb0 由独立性由独立性 此即离散此即离散 卷积公式卷积公式r=0,1,2, 解：解：依题意依题意 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,
4、2,由卷积公式由卷积公式即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r =0,1，例例3 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p. 若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现
5、的次数,每次试验中每次试验中A出现出现的概率都为的概率都为p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现出现的概率为的概率为p，于是于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参为参数的二项随机变量，即数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度. 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面
6、左下方的半平面.一、连续型分布的情形一、连续型分布的情形 化成累次积分化成累次积分,得得 固定固定z和和y,对对方括号内的积分作变量代换方括号内的积分作变量代换, 令令x=u-y,得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率密度为的概率密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式. 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x) , fY
7、(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式 .下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .解解: 由卷积公式由卷积公式也即也即为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 如图示如图示:也即也即于是于是例例2.25 设设X和和Y是两个独立的随机变量，它们是两个独立的随机变量，它们都服从都服从N(0,
8、1),其其概率密度分别为概率密度分别为和和求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解解 由卷积公式知，由卷积公式知，用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: 若若X和和Y 独立独立, 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立个独立正态正态随机变随机变量之和的情形量之和的情形. 即有即有：若：若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2). 常数及有限个独立正态变量的线性组常数及有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布合仍然服从正态分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:定理：定理：设设则则
9、例如，设例如，设X、Y独立，都服从正态分布，独立，都服从正态分布，服从正态分布，且服从正态分布，且则则 3X-4Y+1也也即即或或 从前面例从前面例4可以看出，可以看出， 在求随机向量在求随机向量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法的分布时，关键是设法将其转化为将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布. 若每一个问题都这样求，是很麻烦的若每一个问题都这样求，是很麻烦的. 下面我们介绍一个用来求随机向量下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函的函数的分布的定理数的分布的定
10、理 .对二维情形对二维情形,表述如下：表述如下：2.假定变换和它的逆都是连续的假定变换和它的逆都是连续的;3. 假定偏导数假定偏导数 1. 设设y1=g1(x1,x2), y2=g2 (x1,x2)是是 到自到自身的一对一的映射身的一对一的映射, 即存在定义在该变换的值即存在定义在该变换的值域上的逆变换域上的逆变换: x1=h1(y1, y2), x2=h2(y1, y2) （ i=1,2, j=1,2 ） 存在且连续存在且连续;定理定理 设设(X1,X2)是具有密度函数是具有密度函数 f (x1,x2)的连的连续型二维随机变量续型二维随机变量,4假定逆变换的雅可比行列式假定逆变换的雅可比行列
11、式 则则Y1,Y2具有联合密度具有联合密度 w(y1,y2)=|J | f(h1(y1,y2), h2(y1,y2) （*） 即即 J (y1,y2)对于在变换的值域中的对于在变换的值域中的(y1,y2)是是不为不为0的的.例例6 设设(X1,X2)具有密度函数具有密度函数 f (x1,x2). 令令 Y1= X1+X2，Y2= X1- -X2试用试用f 表示表示Y1和和Y2的联合密度函数的联合密度函数. 故由故由(*)式式,所求密度函数为所求密度函数为解解: 令令y1= x1+x2, y2= x1- -x2，则逆变换为则逆变换为 有时，我们所求的只是一个函数有时，我们所求的只是一个函数Z=
12、g(X,Y)的分布的分布 . 一个办法是：一个办法是： 对任意对任意 z, 找出找出Z z在在(x,y)平面上平面上对应的区域对应的区域g(X,Y) z，记为记为D.求出求出Z的分布函数的分布函数.然后由然后由三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，它是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们我们来求来求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函的分布函数数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为: 即有即有
13、FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都都不大于不大于z，故有故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz) 类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(Yz) 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求
14、我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i =0,1，, n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求是连续型随机变量，在求得得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的的分布函数后，不难求得分布函数后，不难求得M和和N的
15、密度函数的密度函数. 当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函相互独立且具有相同分布函数数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立相互独立且具有相同分布函数且具有相同分布函数F(x)时时, 常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值. 下面我们再举一例，说明当下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散为
16、离散型型r.v时，如何求时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)记记1-p=q例例8 设设随随机机变变量量X1,X2相相互互独独立立,并并且且有有相相同同的的几几何何分分布布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .n=1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)- -P(Yn-1)=P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)- -P(
17、X1 n-1, X2 n-1)n=1,2, 那么要问，若我们需要求那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？的分布，应如何分析？留作课下思考留作课下思考 我们介绍了如何求我们介绍了如何求r.v函数的分布函数的分布.但有时但有时我们无法精确求出此分布我们无法精确求出此分布. 当这个积分无法精确求出时，一个可取的当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟方法是采用计算机模拟. 例如，想求两个独立连续型例如，想求两个独立连续型r.v 之和之和X+Y的的分布函数分布函数. X的分布函数为的分布函数为F，Y的分布函数为的分布函数为G，在理论上，可以求得：在理论上，可以求得：其中其中f (x)是是 X 的密度函数的密度函数. 我们介绍了求随机向量函数的分布的我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：原理和方法，需重点掌握的是：请通过练习熟练掌握请通过练习熟练掌握. 1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的联合概率分布、会根据多个独立随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布求其函数的概率分布
